Skillnad mellan versioner av "2.5 Deriveringsregler"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(44 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|<-- Förra demoavsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.3 Gränsvärde| <<&nbsp;&nbsp;Förra demoavsnitt]]}}
 
{{Selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.5 Övningar till Deriveringsregler|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.5 Övningar till Deriveringsregler|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|Fördjupning]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|Fördjupning]]}}
−
{{Not selected tab|[[Diagnosprov i Matte 3 kap 2 Derivata|Diagnosprov kap 2 -->]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|Nästa demoavsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
[[Media: Lektion 19 Deriveringsregler I Rutaa.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 19 Deriveringsregler I</span></strong>]]
+
<!-- [[Media: Lektion 17 Deriveringsregler I Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 17 Deriveringsregler I</span></b>]]
  
−
[[Media: Lektion 20 Deriveringsregler II Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 20 Deriveringsregler II</span></strong>]]
+
[[Media: Lektion 18 Deriveringsregler II Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 18 Deriveringsregler II</span></b>]] -->
−
__NOTOC__  <!-- __TOC__ -->
+
 
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
 
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
−
Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis behandlas i fliken [[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]].
+
Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis hittar man i fliken [[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|<b><span style="color:blue">Fördjupning</span></b>]].
 
</div> <!-- tolv1 -->
 
</div> <!-- tolv1 -->
  
 
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en konstant</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en konstant</span></b> ==
 +
<br>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>'''Regel:''' &nbsp;&nbsp; Derivatan av en konstant är 0.</b>
  
−
'''Regel:'''
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Om <math> \;\; f(x) \; = \: c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
−
<div class="border-div2"><big>
+
−
<b>Derivatan av en konstant är 0.</b>
+
  
−
Om <math> \;\; f(x) \; = \: c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;då <math> \;\; f\,'(x) \; = \: 0 </math>.
  
−
då <math> \;\; f\,'(x) \; = \: 0 </math>.
+
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<b><span style="color:blue">Fördjupning: Derivatan av en konstant</span></b>]].
−
</big></div>
+
</div>
  
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel1 -->
+
 
−
'''Exempel:'''
+
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
  
 
För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \: -5 \; </math> blir derivatan:
 
För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \: -5 \; </math> blir derivatan:
  
−
:::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \: 0 </math>
+
:::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \: 0 </math></div></td>
−
 
+
</tr>
−
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]].
+
</table>
−
</div> <!-- exempel1 -->
+
−
 
+
  
 
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en linjär funktion</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en linjär funktion</span></b> ==
 +
<br>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>'''Regel:''' &nbsp;&nbsp; Derivatan av en linjär funktion är konstant.</b>
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Om <math> \;\; f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } </math>
  
−
'''Regel:'''
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; k </math>
−
<div class="border-div2"><big>
+
−
<b>Derivatan av en linjär funktion är konstant.</b>
+
  
−
Om <math> \;\; f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } </math>
+
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_linjär_funktion|<b><span style="color:blue">Fördjupning: Derivatan av en linjär funktion</span></b>]].
 +
</div>
  
−
då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; k </math>
 
−
</big></div>
 
  
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
+
</td>
−
'''Exempel:'''
+
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
  
 
För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \; -8\,x + 9 \; </math> blir derivatan:
 
För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \; -8\,x + 9 \; </math> blir derivatan:
  
 
:::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \; -8 </math>
 
:::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \; -8 </math>
−
 
+
</div></td>
−
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_linjär_funktion|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]].
+
</tr>
−
</div> <!-- exempel2 -->
+
</table>
−
 
+
  
 
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en kvadratisk funktion</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en kvadratisk funktion</span></b> ==
 +
<br>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>'''Regel:'''
  
−
'''Regel:'''
+
Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion:</b>
−
<div class="border-div2"><big>
+
−
<b>Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.</b>
+
  
 
Om <math> \;\; f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } </math>
 
Om <math> \;\; f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } </math>
  
 
då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b </math>
 
då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b </math>
−
</big></div>
 
  
 +
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_kvadratisk_funktion|<b><span style="color:blue">Fördjupning: Derivatan av en kvadratisk funktion</span></b>]].
 +
</div>
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
 
−
* '''Exempel 1:'''
 
  
−
:För funktionen <math> \;\, f(x) = 5\,x^2 - 3\,x + 6 </math> blir derivatan:
 
  
−
::::::<math> \;\, f\,'(x) = 10\,x - 3 </math>
 
  
−
* '''Exempel 2:'''
+
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel 1'''
  
−
:För funktionen &nbsp; <math> f(x) = -25\,x^2 + 16\,x - 90</math> blir derivatan:
+
För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \; 5\,x^2 - 3\,x + 6 \; </math> blir derivatan:
  
−
::::::<math> f\,'(x) \, = 2\cdot (-25)\,x + 16 = - 50\,x + 16 </math>
+
:::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \; 10\,x - 3 </math>
  
−
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_kvadratisk_funktion|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]].
+
'''Exempel 2'''
−
</div>  <!-- exempel3 -->
+
  
 +
För funktionen &nbsp; <math> f(x) \; = \; -25\,x^2 + 16\,x - 90 \; </math> blir derivatan:
  
−
== Derivatan av en potensfunktion ==
+
:::::<math> f\,'(x) \; = \; 2\cdot (-25)\,x + 16 \; = \; - 50\,x + 16 </math>
 +
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en potens</span></b> ==
 +
<br>
 +
<!-- '''Viktigt specialfall:''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <big><math> {\color{Red} {a \,=\, }} </math></big><math> {\color{Red} 1}\, </math> -->
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue"><big>
 +
<b>Regeln om derivatan av en potens:</b>
  
−
'''Regel:'''
+
Om <math> \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} </math>
−
<div class="border-div2"><big>
+
−
<b>Derivatan av en potensfunktion är en annan potensfunktion med en grad lägre.</b>
+
  
−
::::::Om <math> f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } </math>
+
då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} </math>
  
−
::::::då <math> f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} </math>
+
</big></div></td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td>
  
−
</big></div>
+
<div class="ovnE">
 +
'''Exempel 1''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> positivt heltal:
  
−
Denna regel gäller för <strong><span style="color:red">ALLA exponenter</span></strong> <big><math> {\color{Red} n} </math></big>, dvs inte bara för positiva utan även för negativa heltalsexponenter och t.o.m. för bråktal i exponenten.
+
För funktionen <math> f(x) = x^5 \; </math> blir derivatan:
  
−
<strong><span style="color:red">Konstanten</span></strong> <big><math> {\color{Red} a} </math></big> tas oförändrad över till derivatan. Regeln om att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> får ingen tillämpning här, därför att konstanten <math> a\, </math> inte står ensam utan bildar i kombination med potensen <math> x\,^n </math> produkten <math> a \cdot x\,^n </math>. Konstanten <math> a\, </math> står som en faktor framför potensen, se regeln för  [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_funktion_med_en_konstant_faktor|<strong><span style="color:blue">derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></strong>]].
+
:::::<math> f\,'(x) = 5\,x^4 </math>
 +
</div>
  
−
'''Exempel:'''
+
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
För funktionen <math> f(x) = 12\,x^4\, </math> blir derivatan:
 
  
−
:::::<math> f\,'(x) = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 </math>
+
<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
 +
Denna regel är den <b><span style="color:red">viktigaste formeln</span></b> för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel.
  
−
'''Specialfall''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <big><math> a \,=\, </math></big><math> 1\, </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; ger oss följande regel som kan anses som den viktigaste formel för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel:
+
Regeln gäller för <b><span style="color:red">ALLA exponenter</span></b> <big><math> {\color{Red} n} </math></big>, dvs inte bara för positiva (ex. 1) utan även för negativa heltalsexponenter (ex. 2) och t.o.m. för bråktal i exponenten (ex. 3).
 +
</div> <!-- tolv3 -->
  
  
−
<div class="border-div2"><big>
+
<div class="ovnE">
−
<b>Derivatan av en potens:</b>
+
'''Exempel 2''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> negativt heltal:
  
−
Om <math> f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} </math>
+
Derivera funktionen <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> med hjälp av regeln om derivatan av en potens.
  
−
då <math> f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} </math>
+
Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \displaystyle {1 \over x} </math> till en potens med hjälp av [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]]<span style="color:black">:</span>
  
−
</big></div>
+
<math> \qquad \displaystyle f(x) = {1 \over x} = x^{-1} \; </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;, se [[Potenser#Lagen_om_negativ_exponent_.5C.28_.5Cquad_a.5C.2C.5E.7B-x.7D_.5C.3B_.3D_.5C.3B_.5Cdisplaystyle_.7B1_.5Cover_a.5C.2C.5Ex.7D_.5C.29|<b><span style="color:blue">Lagen om negativ exponent</span></b>]].
  
 +
Därmed är <math> \,n = -1 </math> och vi kan sätta in <math> \, n = -1 </math> i regeln om derivatan av en potens och får<span style="color:black">:</span>
  
−
* '''Exempel 1''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> positivt heltal:
+
<math> \qquad \displaystyle f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = \boxed{\,- \, {1 \over x^2}\,} </math>
 +
</div>
  
−
:För funktionen <math> f(x) = x^5\, </math> blir derivatan:
 
  
−
::::::<math> f\,'(x) = 5\,x^4 </math>
+
<big>
 +
Även i den sista likheten i raden ovan har [[Potenser#Lagen_om_negativ_exponent_.5C.28_.5Cquad_a.5C.2C.5E.7B-x.7D_.5C.3B_.3D_.5C.3B_.5Cdisplaystyle_.7B1_.5Cover_a.5C.2C.5Ex.7D_.5C.29|<b><span style="color:blue">Lagen om negativ exponent</span></b>]] använts.
 +
</big>
  
−
* '''Exempel 2''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> negativt heltal:
 
  
−
:Derivera funktionen <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
+
<div class="ovnE">
 +
'''Exempel 3''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> bråktal:
  
−
:Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \displaystyle {1 \over x} </math> till en potens:
+
Derivera funktionen <math> f(x) = \sqrt{x} </math> med hjälp av regeln om derivatan av en potens.
  
−
:::<math> f(x) = {1 \over x} = x^{-1} </math>
+
Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \sqrt{x} </math> till en potens<span style="color:black">:</span>
  
−
:Därmed är <math> \,n = -1 </math> och vi kan sätta in <math> \, n = -1 </math> i regeln för derivatan av en potens och får:
+
<math> \qquad \displaystyle f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} \; </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;, se [[Potenser#Lagen_om_kvadratroten_.5C.28_.5Cquad_a.5E.7B1_.5Cover_2.7D_.5C.3B_.3D_.5C.3B_.5Csqrt.7Ba.7D_.5C.29|<b><span style="color:blue">Lagen om kvadratroten</span></b>]].
  
−
:::<math> f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} </math>
+
Därmed är <math> n = {1 \over 2} </math> och vi kan sätta in <math> n = {1 \over 2} </math> i regeln om derivatan av en potens och får<span style="color:black">:</span>
  
−
* '''Exempel 3''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> bråktal:
+
<math> \qquad \displaystyle f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = \boxed{\,{1 \over 2\, \sqrt{x}}\,} </math>
 +
</div>
  
−
:Derivera funktionen <math> f(x) = \sqrt{x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
 
  
−
:Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \sqrt{x} </math> till en potens:
+
<big>
 +
Även i den näst sista likheten i raden ovan har [[Potenser#Lagen_om_kvadratroten_.5C.28_.5Cquad_a.5E.7B1_.5Cover_2.7D_.5C.3B_.3D_.5C.3B_.5Csqrt.7Ba.7D_.5C.29|<b><span style="color:blue">Lagen om kvadratroten</span></b>]] använts.
 +
</big>
  
−
:::<math> f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} </math>
 
  
−
:Därmed är <math> n = {1 \over 2} </math> och vi kan sätta in <math> n = {1 \over 2} </math> i regeln för derivatan av en potens och får:
+
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></b> ==
 +
<br>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>'''Regel:'''
  
−
:::<math> f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
+
En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:</b>
  
−
:Eftersom beviset av regeln för derivatan av en potens kräver att man utvecklar uttrycket <math> (x\,+\,h)\,^n </math> för alla rationella tal <math> n\, </math> kan vi inte genomföra beviset, eftersom våra matematiska kunskaper inte räcker till för det.
+
::Om <math> y    =  a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} </math>
  
 +
::då <math> y\,'  =  a\cdot f\,'(x) </math>
  
−
== Derivatan av en summa av funktioner ==
+
</div>
  
−
'''Regel:'''
 
−
<div class="border-div2"><big>
 
−
<b>En summa av funktioner kan deriveras termvis:</b>
 
  
−
:::Om <math> y    =  f(x) + g(x)\, </math>
+
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
  
−
:::då <math> y\,'  = f\,'(x) + g\,'(x) </math>
+
För funktionen <math> y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} \; </math> blir derivatan:
  
−
</big></div>
+
:::<math> y\,' \, = \,\, 6\cdot (\sqrt{x})\,' \,= \, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,= \, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} </math>
  
 +
Här har resultatet från Exempel 3 på [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potens|<b><span style="color:blue">Derivatan av en potens</span></b>]] använts:
  
−
'''Exempel 1''':
+
::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
 +
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
För funktionen <math> \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} </math> blir derivatan:
 
  
−
:::::<math> y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math>
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
'''Tillämpning av regeln ovan på en potensfunktion:'''
  
−
Här har vi använt de resultat vi fick i Exempel 2 och 3 från regeln för derivatan av en potens, nämligen att:
+
::Om <math> \;\; y \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } </math>
  
−
:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> &nbsp; och
+
::då <math> \;\; y\,' \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} </math>
  
−
:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
+
</div></td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
  
−
Regeln ovan kan användas för att derivera polynom termvis.
+
För funktionen <math> y = 12\,x^4 \; </math> blir derivatan:
  
−
'''Exempel 2:'''
+
:::::<math> y\,' = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 </math>
 +
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
 +
<b><span style="color:red">OBS! &nbsp; Konstanten</span></b> <big><math> {\color{Red} a} </math></big> tas oförändrad över till derivatan.
  
−
För polynomfunktionen <math> f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 </math> blir derivatan:
+
Regeln om att [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<b><span style="color:blue">derivatan av en konstant</span></b>]] är <math> \, 0\, </math> får ingen tillämpning här, därför att konstanten <math> a\, </math> inte är en additiv term här utan bunden till produkten <math> a \cdot x\,^n </math> som en <b><span style="color:red">faktor</span></b> framför potensen och därför inte kan separeras från den:
 +
</div> <!-- tolv2 -->
  
−
:::::::<math> f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 </math>
 
  
−
Se även [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_ett_polynom|<strong><span style="color:blue">Derivatan av ett polynom</span></strong>]].
+
== <b><span style="color:#931136">Konstant faktor vs. additiv konstant</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
 +
I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> &nbsp; en <b><span style="color:red">konstant faktor</span></b> i funktionsuttrycket.
  
 +
Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln ovan: "En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering".
  
−
== Derivatan av en funktion med en konstant faktor ==
+
I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> en <b><span style="color:red">additiv konstant</span></b> i funktionsuttrycket.
  
−
'''Regel:'''
+
Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 0 \,+\,  \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln om att derivatan av en konstant är <math> \, 0\, </math>.
−
<div class="border-div2"><big>
+
−
<b>En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:</b>
+
  
−
::Om <math> y    = a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} </math>
+
Att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> innebär <b><span style="color:red">inte</span></b> att derivatan av &nbsp; <math> a\cdot f(x) </math> &nbsp; blir &nbsp; <math> 0\cdot f\,'(x) </math> &nbsp; och därmed <math> 0\, </math>. Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se [[2.5_Deriveringsregler#Produkt_och_kvot_av_funktioner|<b><span style="color:blue">Produkt och kvot av funktioner</span></b>]].
  
−
::då <math> y\,'  =  a\cdot f\,'(x) </math>
+
[[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<b><span style="color:blue">Regeln om derivatan av en konstant</span></b>]] innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är <math> 0\, </math>. Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:
 +
</div> <!-- tolv5 -->
  
−
</big></div>
 
  
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>'''Regel:'''
  
−
'''Exempel''':
+
Derivatan av en additiv konstant är <math> 0\, </math>.</b>
  
−
För funktionen <math> y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} </math> blir derivatan:
+
Om <math> \; y \; = \; c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
  
−
:::::<math> y\,' \, = \,\, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} </math>
+
då <math> \; y' \; = \; 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) </math>.
  
−
Även här har vi använt resultatet från [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 3</span></strong>]], nämligen:
+
</div>
  
−
::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
 
  
 +
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
  
−
== Konstant faktor vs. additiv konstant ==
+
För funktionen <math> \; f(x) \; = \; -5 + \displaystyle {1\over x} \; </math> blir derivatan:
  
−
I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> &nbsp; en <strong><span style="color:red">konstant faktor</span></strong> i funktionsuttrycket.
+
:::::<math> \; f\,'(x) \; = \; 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} </math>
  
−
Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_funktion_med_en_konstant_faktor|<strong><span style="color:blue">derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></strong>]].
+
Här har resultatet från Exempel 2 på [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potens|<b><span style="color:blue">Derivatan av en potens</span></b>]] använts:
  
−
I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> en <strong><span style="color:red">additiv konstant</span></strong> i funktionsuttrycket.
+
:::Derivatan av &nbsp; <math> y = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
 +
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 0 \,+\,  \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<strong><span style="color:blue">derivatan av en konstant</span></strong>]].
+
<big>I exemplet ovan användes redan följande regel:</big>
  
−
Att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> innebär <strong><span style="color:red">inte</span></strong> att derivatan av &nbsp; <math> a\cdot f(x) </math> &nbsp; blir &nbsp; <math> 0\cdot f\,'(x) </math> &nbsp; och därmed <math> 0\, </math>. Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se [[2.5_Deriveringsregler#Produkt_och_kvot_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">Produkt och kvot av funktioner</span></strong>]].
 
  
−
Regeln för derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är <math> 0\, </math>. Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:
+
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en summa av funktioner</span></b> ==
 +
<br>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>'''Regel:'''
  
−
'''Regel:'''
+
En summa av funktioner kan deriveras termvis.</b>
−
<div class="border-div2"><big>
+
−
<b>Derivatan av en additiv konstant är <math> 0\, </math>.</b>
+
  
−
Om <math> {\color{White} x} y = c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
+
:::Om <math> \;\; y     = f(x) + g(x)\, </math>
  
−
då <math> {\color{White} x} y' = 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) </math>.
+
:::då <math> \;\; y\,' = f\,'(x) + g\,'(x) </math>
−
</big></div>
+
  
 +
</div>
  
−
'''Exempel:'''
 
  
−
För funktionen <math> {\color{White} x} f(x) = -5 + \displaystyle {1\over x} {\color{White} x} </math> blir derivatan:
+
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel 1'''
  
−
:::::<math> {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} </math>
+
För polynomfunktionen
  
−
Här har vi använt resultatet från [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 2</span></strong>]], nämligen:
+
<math> \quad f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \; </math> blir derivatan<span style="color:back">:</span>
  
−
:::Derivatan av &nbsp; <math> y = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
+
<math> \quad f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 </math>
  
 +
Se även [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_ett_polynom|<b><span style="color:blue">Derivatan av ett polynom</span></b>]].
 +
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
== Produkt och kvot av funktioner ==
 
  
−
Regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_summa_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en summa av funktioner</span></strong>]] säger: En summa av funktioner kan deriveras termvis.
+
<div class="ovnE">
 +
'''Exempel 2'''
  
−
Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner:
+
För funktionen <math> \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} \; </math> blir derivatan:
−
+
−
'''1)''' &nbsp; En <strong><span style="color:red">produkt</span></strong> av funktioner kan <strong><span style="color:red">inte</span></strong> deriveras faktorvis.
+
  
−
:'''Exempel:'''
+
:::::<math> y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math>
  
−
:::<math> y = x \cdot \sqrt x </math>
+
Här har resultaten från Exempel 2 och 3 på [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potens|<b><span style="color:blue">Regeln om derivatan av en potens</span></b>]] använts:
  
−
:::<math> y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
+
:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> &nbsp; och
  
−
:'''Rätt:'''
+
:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Produkt och kvot av funktioner</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
 +
Regeln ovan tillåter att derivera en summa av funktioner termvis.
 +
 
 +
Av detta får inte dras slutsatsen att samma sak kan göras i en produkt eller i en kvot av funktioner:
 +
</div> <!-- tolv7 -->
 +
 
 +
 
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>
 +
<div class="border-divblue"><big>En&nbsp;produkt&nbsp;av&nbsp;funktioner&nbsp;kan&nbsp;inte&nbsp;deriveras&nbsp;faktorvis.</big></div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
 +
 
 +
::<math> y = x \cdot \sqrt x </math>
 +
 
 +
::<math> y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} \,=\, {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
 +
 
 +
'''Rätt:'''
 
 
 
 
−
:::<math> y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} </math>  
+
::<math> y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} </math>  
 +
 
 +
::<math> y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x </math>
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
</td>
 +
  <td><math> \qquad\qquad </math></td>
 +
  <td>
 +
<div class="border-divblue"><big>Inte heller i en kvot av funktioner kan täljaren<br>deriveras för sig och nämnaren för sig.</big></div>
 +
 
  
−
:::<math> y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x </math>
+
<div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
  
−
'''2)''' &nbsp; Inte heller en <strong><span style="color:red">kvot</span></strong> av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig.
+
::<math> y \,=\, \displaystyle {x+1 \over x} </math>
  
−
:'''Exempel:'''
+
::<math> y\,' \,\neq\, {1 + 0 \over 1} \,=\, {1 \over 1} \,=\, 1 </math>
  
−
:::<math> y \,=\, \displaystyle {1 \over x} </math>
+
'''Rätt:'''
  
−
:::<math> y\,' \,\neq\, {0 \over 1} \,=\, 0 </math>
+
::<math> y = {x+1 \over x} = {x \over x} + {1 \over x} = 1 + {1 \over x}  = 1 + x^{-1} </math>
  
−
:'''Rätt:'''
+
::<math> y\,' = 0 + (-1)\cdot x^{-1-1} = - x^{-2} = - {1 \over x^2} </math>
 +
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
:::<math> y\,' \,=\, \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
 
  
−
Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. <strong><span style="color:red">produkt-</span></strong> resp. <strong><span style="color:red">kvotregeln</span></strong>. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan.
+
<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
 +
Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. <b><span style="color:red">produkt-</span></b> resp. <b><span style="color:red">kvotregeln</span></b>. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan.
 +
</div> <!-- tolv6 -->
  
  
−
== Tabell över deriveringsregler ==
+
== <b><span style="color:#931136">Tabell över deriveringsregler</span></b> ==
  
−
Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där <math> c,\,a,\,k,\,m,\,n </math> är konstanter medan <math> x\, </math> och <math> y\, </math> är variabler:
+
<div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
 +
Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där <math> c,\,a,\,k,\,m,\,n </math> är konstanter medan <math> \, x\, </math> och <math> \, y\, = \, f(x) </math> är variabler:
  
−
:::::{| class="wikitable"
+
<div class="border-divblue">
 +
{| class="wikitable"
 
|-
 
|-
 
! <math> y\, </math> || <math> y\,' </math>  
 
! <math> y\, </math> || <math> y\,' </math>  
Rad 318: Rad 430:
 
|-
 
|-
 
| align=center| <math> \sqrt{x} </math> ||align=center| <math> \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>  
 
| align=center| <math> \sqrt{x} </math> ||align=center| <math> \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>  
 +
|-
 +
| align=center| <math> a\cdot f(x) </math> ||align=center| <math> a\cdot f\,'(x) </math>
 
|-
 
|-
 
| align=center| <math> f(x) + g(x)\, </math> ||align=center| <math> f\,'(x) + g\,'(x) </math>  
 
| align=center| <math> f(x) + g(x)\, </math> ||align=center| <math> f\,'(x) + g\,'(x) </math>  
−
|-
 
−
| align=center| <math> a\cdot f(x) </math> ||align=center| <math> a\cdot f\,'(x) </math>
 
 
|}
 
|}
 +
</div>
  
 
De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.  
 
De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.  
  
−
Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om [[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av exponentialfunktioner</span></strong>]].
+
Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">Derivatan av exponentialfunktioner</span></b>]].
−
 
+
</div> <!-- tolv7 -->
  
  
 +
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
  
−
== Internetlänkar ==
 
 
http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw
 
http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw
  
Rad 347: Rad 460:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2020 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 2 maj 2020 kl. 20.28

        <<  Förra demoavsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa demoavsnitt  >>      


Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis hittar man i fliken Fördjupning.

Derivatan av en konstant


Regel:    Derivatan av en konstant är 0.

               Om \( \;\; f(x) \; = \: c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)

               då \( \;\; f\,'(x) \; = \: 0 \).

Bevis:    Se Fördjupning: Derivatan av en konstant.


\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( \;\, f(x) \; = \: -5 \; \) blir derivatan:

\[ \;\, f\,'(x) \; = \: 0 \]

Derivatan av en linjär funktion


Regel:    Derivatan av en linjär funktion är konstant.

               Om \( \;\; f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } \)

               då \( \;\; f\,'(x) \; = \; k \)

Bevis:    Se Fördjupning: Derivatan av en linjär funktion.


\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( \;\, f(x) \; = \; -8\,x + 9 \; \) blir derivatan:

\[ \;\, f\,'(x) \; = \; -8 \]

Derivatan av en kvadratisk funktion


Regel:

Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion:

Om \( \;\; f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } \)

då \( \;\; f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b \)

Bevis:    Se Fördjupning: Derivatan av en kvadratisk funktion.



\( \qquad \)

Exempel 1

För funktionen \( \;\, f(x) \; = \; 5\,x^2 - 3\,x + 6 \; \) blir derivatan:

\[ \;\, f\,'(x) \; = \; 10\,x - 3 \]

Exempel 2

För funktionen   \( f(x) \; = \; -25\,x^2 + 16\,x - 90 \; \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) \; = \; 2\cdot (-25)\,x + 16 \; = \; - 50\,x + 16 \]

Derivatan av en potens


Regeln om derivatan av en potens:

Om \( \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} \)

då \( \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} \)

\( \qquad \)

Exempel 1     \( n \,=\, \) positivt heltal:

För funktionen \( f(x) = x^5 \; \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = 5\,x^4 \]


Denna regel är den viktigaste formeln för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel.

Regeln gäller för ALLA exponenter \( {\color{Red} n} \), dvs inte bara för positiva (ex. 1) utan även för negativa heltalsexponenter (ex. 2) och t.o.m. för bråktal i exponenten (ex. 3).


Exempel 2     \( n \,=\, \) negativt heltal:

Derivera funktionen \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) med hjälp av regeln om derivatan av en potens.

Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \displaystyle {1 \over x} \) till en potens med hjälp av Potenslagarna:

\( \qquad \displaystyle f(x) = {1 \over x} = x^{-1} \; \)              , se Lagen om negativ exponent.

Därmed är \( \,n = -1 \) och vi kan sätta in \( \, n = -1 \) i regeln om derivatan av en potens och får:

\( \qquad \displaystyle f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = \boxed{\,- \, {1 \over x^2}\,} \)


Även i den sista likheten i raden ovan har Lagen om negativ exponent använts.


Exempel 3     \( n \,=\, \) bråktal:

Derivera funktionen \( f(x) = \sqrt{x} \) med hjälp av regeln om derivatan av en potens.

Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \sqrt{x} \) till en potens:

\( \qquad \displaystyle f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} \; \)              , se Lagen om kvadratroten.

Därmed är \( n = {1 \over 2} \) och vi kan sätta in \( n = {1 \over 2} \) i regeln om derivatan av en potens och får:

\( \qquad \displaystyle f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = \boxed{\,{1 \over 2\, \sqrt{x}}\,} \)


Även i den näst sista likheten i raden ovan har Lagen om kvadratroten använts.


Derivatan av en funktion med en konstant faktor


Regel:

En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:

Om \( y = a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} \)
då \( y\,' = a\cdot f\,'(x) \)


\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} \; \) blir derivatan:

\[ y\,' \, = \,\, 6\cdot (\sqrt{x})\,' \,= \, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,= \, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} \]

Här har resultatet från Exempel 3 på Derivatan av en potens använts:

Derivatan av   \( f(x) = \sqrt{x} \)   är \(   f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)


Tillämpning av regeln ovan på en potensfunktion:

Om \( \;\; y \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } \)
då \( \;\; y\,' \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} \)
\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( y = 12\,x^4 \; \) blir derivatan:

\[ y\,' = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 \]

OBS!   Konstanten \( {\color{Red} a} \) tas oförändrad över till derivatan.

Regeln om att derivatan av en konstant är \( \, 0\, \) får ingen tillämpning här, därför att konstanten \( a\, \) inte är en additiv term här utan bunden till produkten \( a \cdot x\,^n \) som en faktor framför potensen och därför inte kan separeras från den:


Konstant faktor vs. additiv konstant

I funktionen     \( y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} \)   är   \( \, 6 \)   en konstant faktor i funktionsuttrycket.

Derivatan blir   \( y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} \)   enligt regeln ovan: "En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering".

I funktionen     \( y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} \)   är   \( \, 6 \) en additiv konstant i funktionsuttrycket.

Derivatan blir   \( y' = 0 \,+\, \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} \)   enligt regeln om att derivatan av en konstant är \( \, 0\, \).

Att derivatan av en konstant är \( 0\, \) innebär inte att derivatan av   \( a\cdot f(x) \)   blir   \( 0\cdot f\,'(x) \)   och därmed \( 0\, \). Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se Produkt och kvot av funktioner.

Regeln om derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är \( 0\, \). Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:


Regel:

Derivatan av en additiv konstant är \( 0\, \).

Om \( \; y \; = \; c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)

då \( \; y' \; = \; 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) \).


\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( \; f(x) \; = \; -5 + \displaystyle {1\over x} \; \) blir derivatan:

\[ \; f\,'(x) \; = \; 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} \]

Här har resultatet från Exempel 2 på Derivatan av en potens använts:

Derivatan av   \( y = \displaystyle {1 \over x} \)   är   \( y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \)

I exemplet ovan användes redan följande regel:


Derivatan av en summa av funktioner


Regel:

En summa av funktioner kan deriveras termvis.

Om \( \;\; y = f(x) + g(x)\, \)
då \( \;\; y\,' = f\,'(x) + g\,'(x) \)


\( \qquad \)

Exempel 1

För polynomfunktionen

\( \quad f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \; \) blir derivatan:

\( \quad f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 \)

Se även Derivatan av ett polynom.


Exempel 2

För funktionen \( \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} \; \) blir derivatan:

\[ y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} \]

Här har resultaten från Exempel 2 och 3 på Regeln om derivatan av en potens använts:

Derivatan av   \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \)   är   \( f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \)   och
Derivatan av   \( f(x) = \sqrt{x} \)   är \(   f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \).


Produkt och kvot av funktioner

Regeln ovan tillåter att derivera en summa av funktioner termvis.

Av detta får inte dras slutsatsen att samma sak kan göras i en produkt eller i en kvot av funktioner:


En produkt av funktioner kan inte deriveras faktorvis.


Exempel

\[ y = x \cdot \sqrt x \]
\[ y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} \,=\, {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]

Rätt:

\[ y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} \]
\[ y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x \]


\( \qquad\qquad \)
Inte heller i en kvot av funktioner kan täljaren
deriveras för sig och nämnaren för sig.


Exempel

\[ y \,=\, \displaystyle {x+1 \over x} \]
\[ y\,' \,\neq\, {1 + 0 \over 1} \,=\, {1 \over 1} \,=\, 1 \]

Rätt:

\[ y = {x+1 \over x} = {x \over x} + {1 \over x} = 1 + {1 \over x} = 1 + x^{-1} \]
\[ y\,' = 0 + (-1)\cdot x^{-1-1} = - x^{-2} = - {1 \over x^2} \]


Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. produkt- resp. kvotregeln. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan.


Tabell över deriveringsregler

Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där \( c,\,a,\,k,\,m,\,n \) är konstanter medan \( \, x\, \) och \( \, y\, = \, f(x) \) är variabler:

\( y\, \) \( y\,' \)
\( c\, \) \( 0\, \)
\( x\, \) \( 1\, \)
\( a\; x \) \( a\, \)
\( k\; x \, + \, m \) \( k\, \)
\( x^2\, \) \( 2\,x \)
\( a\,x^2 \) \( 2\,a\,x \)
\( x^n\, \) \( n\cdot x\,^{n-1} \)
\( a\,x\,^n \) \( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \)
\( \displaystyle {1 \over x} \) \( \displaystyle - {1 \over x^2} \)
\( \sqrt{x} \) \( \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)
\( a\cdot f(x) \) \( a\cdot f\,'(x) \)
\( f(x) + g(x)\, \) \( f\,'(x) + g\,'(x) \)

De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.

Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om Derivatan av exponentialfunktioner.


Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw

https://www.youtube.com/watch?v=ekESj2A5IiY

https://www.youtube.com/watch?v=hZXusMjayZk

http://www.youtube.com/watch?v=hYKiTPB7jnQ&feature=related





Copyright © 2020 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=2.5_Deriveringsregler&oldid=28813"