Skillnad mellan versioner av "Potenser"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(16 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom| <math> \pmb{\gets} </math> Tillbaka till Polynom]]}}
+
{{Not selected tab|[[Repetitioner från Matte 2| <<&nbsp;&nbsp;Repetitioner]]}}
 
{{Selected tab|[[Potenser|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[Potenser|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[Övningar till Potenser|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[Övningar till Potenser|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|1:a avsnitt: Polynom&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
Rad 12: Rad 13:
 
<big>Potenser är ett repeterande underavsnitt i avsnittet [[1.1 Polynom|<b><span style="color:blue">Polynom</span></b>]]. Övningar till Potenser finns separat i fliken ovan.</big>
 
<big>Potenser är ett repeterande underavsnitt i avsnittet [[1.1 Polynom|<b><span style="color:blue">Polynom</span></b>]]. Övningar till Potenser finns separat i fliken ovan.</big>
  
−
== <b><span style="color:#931136">Vad är en potens?</span></b> ==
+
== <b><span style="color:#931136">Repetition om potenser</span></b> ==
−
<div class="exempel">
+
−
[[Image: Hur raknar du Potenser 20.jpg]]
+
−
:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2\,^3 \; = \; 6 </math>
+
−
 
+
−
:<math> \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 2\,^3 \; = \; 2 \cdot 2 \cdot 2 \; = \; 4 \cdot 2 \; = \; 8 </math>
+
−
</div>  <!-- exempel -->
+
−
 
+
−
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
+
−
Felet beror på att man blandar ihop två olika räkneoperationer: multiplikationen med <strong><span style="color:red">upphöjt till</span></strong>.
+
−
 
+
−
Hjärnan associerar <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 3 \, </math> blind till multiplikationstabellen vilket ger <math> \, 6 \, </math>.
+
−
 
+
−
I själva verket betyder <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} \, </math> inte <math> \, 2 \cdot 3 \, </math> utan <math> \, \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, </math> och är en:
+
−
</div> <!-- tolv1 -->
+
−
 
+
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
−
   <td><div class="border-divblue">
+
   <td>[[Image: Potens Bas Exponent_80.jpg]]</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<div class="border-divblue">
 
<big>Exempel på potens:
 
<big>Exempel på potens:
  
−
::<math> 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} </math>  
+
::<math> 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 8</math>  
  
−
<b><span style="color:#931136">Potens</span></b> = upprepad multiplikation
+
<b><span style="color:#931136">Potens</span></b> = upprepad <b><span style="color:red">multiplikation</span></b>
  
 
av <math> \, 2 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.  
 
av <math> \, 2 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.  
−
</big></div>
+
</big></div></td>
−
</td>
+
−
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Potens Bas Exponent_80.jpg]]</td>
+
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
  
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
+
<big>
−
<math> \, 2\,^3 \, </math> läses <math> \, {\color{Red} 2} </math> <strong><span style="color:red">upphöjt till</span></strong><math> \, {\color{Red} 3} \, </math> och kallas för &nbsp;<strong><span style="color:red">potens</span></strong>. <math> \, 2\, </math> heter <strong><span style="color:red">basen</span></strong> och <math> \, 3 \, </math> <strong><span style="color:red">exponenten</span></strong>.
+
<b><span style="color:red">OBS!</span></b>&nbsp;&nbsp; Förväxla inte begreppen<span style="color:black">:</span> <math> \, 2\,^3 \, </math> är själva potensen, medan <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är <b><span style="color:red">exponenten</span></b> och <math> \, {\color{green} 2}\, </math> förstås <b><span style="color:green">basen</span></b>.
  
−
Exponenten <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal i vanlig bemärkelse utan endast en information om att <math> \, 2 \, </math> ska multipliceras <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger med sig själv (jfr. [[1.2_Räkneordning#Varf.C3.B6r_g.C3.A5r_multiplikation_f.C3.B6re_addition.3F|<strong><span style="color:blue">upprepad addition</span></strong>]]).
+
Exponenten <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att<span style="color:black">:</span>
−
</div> <!-- tolv2 -->
+
 
 +
<math> \, 2 \, </math> ska multipliceras <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger med sig själv, en förkortning för upprepad multiplikation (jfr. [http://mathonline.se:1800/index.php?title=1.2_R%C3%A4kneordning#Varf.C3.B6r_g.C3.A5r_multiplikation_f.C3.B6re_addition.3F <b><span style="color:blue">upprepad addition</span></b>]).
 +
</big>
  
  
 
<div class="exempel"> <!-- exempel1 -->
 
<div class="exempel"> <!-- exempel1 -->
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ==
+
=== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ===
 
<big>
 
<big>
 
Förenkla<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} </math>
 
Förenkla<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} </math>
  
  
−
<strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong> <math> \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math>
+
<b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> <math> \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math>
  
 
:::::::::::::::::OBS! &nbsp; Förenkla alltid först, räkna sedan!
 
:::::::::::::::::OBS! &nbsp; Förenkla alltid först, räkna sedan!
  
 
Snabbare<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math>
 
Snabbare<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math>
 +
 +
För att förstå den snabbare lösningen se [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]].
 
</big>
 
</big>
 
</div>  <!-- exempel1 -->
 
</div>  <!-- exempel1 -->
  
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
+
<big>Generellt:</big>
−
För att förstå den snabbare lösningen se [[Potenser#Potenslagarna|<strong><span style="color:blue">potenslagarna</span></strong>]].
+
−
</div> <!-- tolv2 -->
+
  
 +
== <b><span style="color:#931136">Potenser med positiva exponenter</span></b> ==
  
−
== <b><span style="color:#931136">Potens med positiva heltalsexponenter</span></b> ==
+
<div class="ovnE">
−
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
+
Potensen <big><math> \, a\,^{\color{Red} x} \, </math></big> med <b><span style="color:red">positiv</span></b> exponent (<math> x \, </math> heltal <math> > 0 \, </math> och <math> \, a \, \neq 0 </math>) kan definieras som<span style="color:black">:</span>
  
−
Potensen <big><math> \, a\,^{\color{Red} x} \, </math></big> kan, om exponenten <math> \, {\color{Red} x} \, </math> är ett positivt heltal och basen <big><math> \, a \, </math></big> ett tal <math> \neq 0 </math>, definieras som
+
:::<b>Upprepad multiplikation av <big><math> \, a \, </math></big> med sig själv, <math> \, {\color{Red} x} \, </math> gånger:</b>
  
−
::::::<b>Upprepad multiplikation av <big><math> \, a \, </math></big> med sig själv, <math> \, {\color{Red} x} \, </math> gånger:</b>
+
:::::<big><math> \quad a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} </math></big>
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Potenslagarna</span></b> ==
 +
 
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
<b><span style="color:#931136">Första potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad </math></big>
 +
----
 +
<b><span style="color:#931136">Andra potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad </math></big>
 +
----
 +
<b><span style="color:#931136">Tredje potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad </math></big>
 +
----
 +
<b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad </math></big>
 +
----
 +
<b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent:</span></b> <big><math> \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad </math></big>
 +
----
 +
<b><span style="color:#931136">Potens av en produkt:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad </math></big>
 +
----
 +
<b><span style="color:#931136">Potens av en kvot:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad </math></big>
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<big>
 +
Dessa lagar gäller för potenser där baserna <math> \, a,\,b \, </math> är tal <math> \, \neq 0 \, </math> och exponenterna <math> \, x,\,y \, </math> är godtyckliga tal.
 +
</big>
  
−
::::::::<big><math> a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} </math></big>
 
−
</div> <!-- tolv1 -->
 
  
 
<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
 
<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
+
=== <b><span style="color:#931136">Exempel på första potenslagen</span></b> ===
 
<big>
 
<big>
 
Förenkla<span style="color:black">:</span> <big><math> \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 </math></big>
 
Förenkla<span style="color:black">:</span> <big><math> \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 </math></big>
  
  
−
<strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong>  
+
<b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b>  
  
 
::::<big><math> a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}</math></big>
 
::::<big><math> a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}</math></big>
Rad 99: Rad 111:
  
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
+
<big>
−
Den snabbare lösningen är ett exempel på den första potenslagen:
+
Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen.
−
</div> <!-- tolv2 -->
+
</big>
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Potenslagarna</span></b> ==
+
<div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
−
<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
+
=== <b><span style="color:#931136">Exempel på andra potenslagen</span></b> ===
 +
<big>
  
−
Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> godtyckliga tal och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>):
+
::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 </math></big>
−
</div> <!-- tolv3 -->
+
  
 +
Snabbare:
  
−
<div class="border-divblue"><big>
+
::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 </math></big>
−
<b><span style="color:#931136">Första potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad </math></big>
+
</big>
−
----
+
</div> <!-- exempel3 -->
−
<b><span style="color:#931136">Andra potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\quad \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad </math></big>
+
−
----
+
−
<b><span style="color:#931136">Tredje potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad </math></big>
+
−
----
+
−
<b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\! a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad </math></big>
+
−
----
+
−
<b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent:</span></b> <big><math> \qquad\qquad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad </math></big>
+
−
----
+
−
<b><span style="color:#931136">Lagen om rationell exponent:</span></b> <big><math> \qquad\qquad a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \qquad\qquad </math></big>
+
  
−
<b><span style="color:#931136">Specialfall <small><math>m=1</math></small> (högre rötter):</span></b> <big><math> \qquad\quad\;\, a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \qquad\qquad </math></big>
 
−
----
 
−
<b><span style="color:#931136">Potens av en produkt:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\;\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad </math></big>
 
−
----
 
−
<b><span style="color:#931136">Potens av en kvot:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad </math></big>
 
−
</big></div> <!-- border-divblue -->
 
  
 +
<big>
 +
Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva exponenter. Men den definitionen duger varken för negativa exponenter eller för exponenten <math> \, 0 \, </math>:
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv3a -->
+
Antalet multiplikationer av basen med sig själv kan inte vara negativt eller <math> \, 0 \, </math>. Det behövs nya definitioner resp. slutsatser.
−
För enkelhets skull definierades potensbegreppet inledningsvis endast för positiva heltalsexponenter <math> \, x \, </math> och <math> \, y </math>. Men potenslagarna gäller även för negativa och [[Potenser#Potenser_med_rationella_exponenter|<strong><span style="color:blue">rationella exponenter</span></strong>]]. I formuleringen "negativ exponent" antas <math> \, x > 0 </math>.
+
</big>
−
</div> <!-- tolv3a -->
+
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Bevis(idéer) och exempel för några potenslagar</span></b> ==
+
== <b><span style="color:#931136">Potenser med negativa exponenter</span></b> ==
−
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
+
<div class="exempel">
 +
[[Image: Hur raknar du negativa exponenter 20.jpg]]
 +
</div>
  
−
'''Påstående (Första potenslagen)''':
 
  
−
::::<big><math> a\,^x \cdot a\,^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} </math></big>
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="ovnC">
 +
<big>Potens med negativ exponent<span style="color:black">:</span>
  
−
'''Bevisidé''':
+
<math> \qquad \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad </math>
  
−
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
+
<b><span style="color:red">Invertera</span></b> potensen med positiv exponent.
−
 
+
−
::::<big><math> a\,^{\color{Red} x} \cdot a\,^{\color{Red} y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} x}\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} y}\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} {x\,+\,y}}\;\times} \; = \; a\,^{{\color{Red} {x\,+\,y}}} </math></big>
+
  
 
----
 
----
  
 +
Att <b><span style="color:red">"invertera"</span></b> t.ex. <math> \, 10 \, </math> ger <math> \, \displaystyle {1 \over 10} \; </math>.
 +
</big></div>
  
−
'''Påstående (Andra potenslagen)''':
 
  
−
::::<big><math> \displaystyle {a\,^x \over a\,^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} </math></big>
+
</td>
−
</div> <!-- tolv1 -->
+
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<div class="ovnE">
 +
<big>Andra exempel<span style="color:black">:</span></big>
 +
::<math> \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} </math>
  
 +
::<math> \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} </math>
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
+
::<math> \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} </math>
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ==
+
</div>
−
<big>
+
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 </math></big>
+
<big>Generellt:</big>
  
−
Snabbare med andra potenslagen:
+
<div class="ovnC">
 +
'''Påstående''':
  
−
::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 </math></big>
+
<div class="border-divblue">
−
</big>
+
===== <b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent</span></b> <math> \quad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} </math> =====
−
</div> <!-- exempel3 -->
+
</div> <!-- border-divblue -->
  
 +
'''Bevis''':
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
+
::::<big><math> \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} </math></big>
−
'''Påstående (Lagen om nollte potens)''':
+
  
−
::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
+
In den första likheten har vi använt lagen om nollte potens baklänges<span style="color:black">:</span> <math> \; 1 = a^0 \; </math>.
  
−
'''Bevis''':
+
In den andra likheten har vi använt andra potenslagen<span style="color:black">:</span> <math> \; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \; </math>.
  
−
Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:
+
Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges.
 +
</div>
  
−
::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 </math></big>
 
  
−
Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet <math> \, 1 </math>:
+
== <b><span style="color:#931136">Potenser med exponenten <math> \, 0 \, </math></span></b> ==
  
−
::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 </math></big>
+
<big>Exempel:</big>
  
−
Av raderna ovan följer påståendet:
+
<div class="ovnE">
 +
<big><math> \quad \displaystyle 2\,^{\color{Red} 0} \;\; = \;\; 1 \quad </math>
 +
</big></div>
  
−
::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
 
−
</div> <!-- tolv4 -->
 
  
 +
<big>Generellt:</big>
  
−
== <b><span style="color:#931136">Potenser med negativa exponenter</span></b> ==
+
<div class="ovnC">
−
<div class="tolv"> <!-- tolv4a -->
+
'''Påstående''':
  
−
'''Påstående (Lagen om negativ exponent, <math> \, x > 0 </math>)''':
+
<div class="border-divblue">
−
 
+
===== <b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens</span></b> <math> \quad a^0 \; = \; 1 \; </math> =====
−
::::<big><math> a^{-x} = \displaystyle{1 \over a^x} </math></big>
+
</div> <!-- border-divblue -->
  
 
'''Bevis''':
 
'''Bevis''':
  
−
Påståendet kan bevisas genom att använda den ovan bevisade lagen om nollte potensen (baklänges) samt andra potenslagen:
+
Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:
  
−
::::<big><math> \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} </math></big>
+
::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 </math></big>
  
−
Vi får påståendet, fast baklänges.
+
Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet <math> \, 1 </math>:
−
</div> <!-- tolv4a -->
+
  
 +
::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 </math></big>
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
+
Av raderna ovan följer påståendet:
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel på potenser med negativa exponenter</span></b> ==
+
−
<big>
+
  
−
::::<big><math> \displaystyle{a^{-1} \, = \, {1 \over a^1} \, = \, {1 \over a}} </math></big>
+
::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
 +
</div>
  
  
−
::::<big><math> \displaystyle{a^{-2} \, = \, {1 \over a^2} \, = \, {1 \over a \cdot a}} </math></big>
+
<big>I båda föregående påståenden ska alltid gälla<span style="color:black">:</span> <math> \quad x \, </math> heltal <math> > 0 \, </math> och <math> \, a \, \neq 0 \quad </math>.
  
  
−
::::<big><math> \displaystyle{a^{-3} \, = \, {1 \over a^3} \, = \, {1 \over a \cdot a \cdot a}} </math></big>
+
Exemplet nedan ska illustrera lagen ovan genom att visa följande:
−
</big>
+
−
</div> <!-- exempel4 -->
+
  
 +
Potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter.
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
+
<b><span style="color:red">Nollte potensen</span></b> bildar övergången mellan positiva och negativa exponenter, precis som <math> \, 0 \, </math> är övergången mellan positiva och negativa tal:
−
Att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter med nollte potensen däremellan illustrerar följande exempel:
+
</big>
−
</div> <!-- tolv5 -->
+
  
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
 
 
== <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 \; </math>?</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 \; </math>?</span></b> ==
−
<big>
 
  
−
::::<math> \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
+
<div class="ovnE">
 +
::<math> \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
  
−
::::<math> \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
+
::<math> \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
  
−
::::<math> \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 </math>
+
::<math> \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 </math>
  
−
::::<math> \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 </math>
+
::<math> \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 </math>
  
−
::::<math> \;\; {\color{Red} {5^0 \; = \; 1}} </math>
+
::<math> \; \boxed{{\color{Red} {5^0 \; = \; 1}}} </math>
  
−
::::<math> \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} </math>
+
::<math> \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} </math>
  
−
::::<math> \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} </math>
+
::<math> \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} </math>
  
−
::::<math> \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} </math>
+
::<math> \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} </math>
  
−
::::<math> \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } </math>
+
::<math> \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } </math>
  
−
Att <math> \; {\color{Red} 1} </math>-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens ''enhet'' är <math> \, {\color{Red} 1} </math>, dvs <math> \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a </math>. Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 1} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5^0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
+
Att <math> \; {\color{Red} 1} </math>-orna följer med hela tiden beror på att <b><span style="color:red">multiplikationens enhet</span></b> är <math> \, {\color{Red} 1} </math>, dvs <math> \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a </math>.
−
</big>
+
−
</div> <!-- exempel4 -->
+
  
 +
Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 1} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5^0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
 +
</div>
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
 
−
Jämför med:
 
−
</div> <!-- tolv5 -->
 
  
 +
== <b><span style="color:#931136">Potenser med rationella exponenter</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
 +
Potenser med [[1.1_Talbegreppet#Olika_typer_av_tal|<b><span style="color:blue">rationella</span></b>]] exponenter (bråktal) är ett annat sätt att skriva rötter.
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel5 -->
+
Följande samband råder mellan potenser med rationella exponenter och rötter:
−
== <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; </math>?</span></b> ==
+
−
<big>
+
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot 4 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 + 5 </math>
+
'''Påstående''':
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot 3 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 </math>
+
<div class="border-divblue">
 +
===== <b><span style="color:#931136">Lagen om kvadratroten</span></b> <math> \quad a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} </math> =====
 +
</div> <!-- border-divblue -->
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot 2 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 </math>
+
'''Bevis''':
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot 1 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 </math>
+
Vi multiplicerar <math> a </math><big><math>^{1 \over 2} </math></big> två gånger med sig själv och använder första potenslagen:
  
−
::::<math> \;\; {\color{Red} {5 \cdot 0 \; = \; 0}} </math>
+
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot (-1) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 </math>
+
Å andra sidan är definitionen för kvadratroten ur <math> \, a </math><span style="color:black">:</span>
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot (-2) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 </math>
+
<big><math> \qquad\quad \displaystyle \sqrt{a} \; = \; </math></big> Tal som 2 gånger multiplicerat med sig själv ger <math> \, a </math>.
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot (-3) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 </math>
+
Av raderna ovan följer<span style="color:black">:</span>
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot (-4) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 - 5 </math>
+
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} </math></big>
  
−
Att <math> \; {\color{Red} 0} </math>-orna följer med hela tiden beror på att additionens ''enhet'' är <math> \, {\color{Red} 0} </math>, dvs <math> \, a + {\color{Red} 0} \, = \, a </math>. Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 0} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5 \cdot 0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
 
−
</big>
 
−
</div> <!-- exempel5 -->
 
  
 +
I följande ska alltid gälla<span style="color:black">:</span> <math> \quad m, n \, </math> heltal och <math> \, n \, \neq 0 \quad </math>.
  
−
== <b><span style="color:#931136">Potenser med rationella exponenter</span></b> ==
+
'''Påstående''':
−
<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
+
−
Potenser med exponenter som är [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|rationella tal]] (bråktal) kan användas för att beräkna (högre) rötter.
+
  
 +
<div class="border-divblue">
 +
===== <b><span style="color:#931136">Lagen om högre rötter</span></b> <math> \quad a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} </math> =====
 +
</div> <!-- border-divblue -->
  
−
'''Påstående (högre rötter)''':
+
'''Bevisidé''':
  
−
:::<big><math> a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \; </math></big> <math> , \qquad n\neq 0 </math>
+
Vi visar påståendet för specialfallet <math> \, n=3 </math>:
−
 
+
−
'''Bevisidé''':
+
  
−
Vi tar specialfallet <math> n=3 </math>, multiplicerar <math> a </math><big><math>^{1 \over 3} </math></big> tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:
+
Vi multiplicerar <math> a </math><big><math>^{1 \over 3} </math></big> tre gånger med sig själv och använder första potenslagen:
  
 
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
 
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
  
−
Definitionen för 3:e roten ur <math> a </math> är<span style="color:black">:</span>
+
Å andra sidan är definitionen för 3:e roten ur <math> \, a </math><span style="color:black">:</span>
  
−
<big><math> \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; </math></big> Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger <math> a </math>.
+
<big><math> \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; </math></big> Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger <math> \, a </math>.
  
−
Men enligt ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger <math> a </math>, just <math> a </math> <big><math>^{1 \over 3} </math></big>. Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur <math> a </math>:
+
Av raderna ovan följer<span style="color:black">:</span>
  
 
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math></big>
 
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math></big>
  
−
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal <math> m\, </math> och <math> n\neq 0 \, </math> '''(Lagen om rationell exponent)''':
+
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet:
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
===== <b><span style="color:#931136">Lagen om rationell exponent</span></b> <math> \quad \displaystyle a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} </math> =====
 +
</div> <!-- border-divblue -->
 +
 
 +
Tabellen över [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]] borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.
  
−
:::<big><math> a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} </math></big>
 
 
</div> <!-- tolv6 -->
 
</div> <!-- tolv6 -->
  
Rad 323: Rad 330:
 
Anta i fortsättningen att <math> \, x \, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> .  
 
Anta i fortsättningen att <math> \, x \, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> .  
  
−
::Funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> kallas <strong><span style="color:red">potensfunktioner</span></strong>, generellt <math> \; y = c \cdot x^b\, </math>.
+
::Funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> kallas för <b><span style="color:red">potensfunktioner</span></b>, generellt <math> \; y = c \cdot x^b\, </math>.
  
−
::Ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> kallas <strong><span style="color:red">potensekvationer</span></strong>, generellt <math> \; x^b\, = c </math>.
+
::Ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> kallas för <b><span style="color:red">potensekvationer</span></b>, generellt <math> \; x^b\, = c </math>.
  
−
I potensfunktioner och -ekvationer förekommer <math> \, x \, </math> i basen. Potensekvationer löses genom <strong><span style="color:red">rotdragning</span></strong>. För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
+
I potensfunktioner och -ekvationer förekommer <math> \, x \, </math> i <b><span style="color:red">basen</span></b>.
 +
 
 +
<div class="border-divblue">Potensekvationer löses genom <b><span style="color:red">rotdragning</span></b>.</div>
 +
 
 +
Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.
 +
 
 +
För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
  
 
:::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
 
:::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
Rad 334: Rad 347:
 
                   \end{align}</math>
 
                   \end{align}</math>
  
−
Alternativt (med rationell exponent):
+
Alternativt med potens med rationell exponent:
  
 
:::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\
 
:::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\
−
                   (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3}                 \\
+
                   (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \qquad  & | \; \text{3:e potenslagen på VL}  \\
 
               x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3}                  \\
 
               x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3}                  \\
 
                                   x  & = 2                              \\
 
                                   x  & = 2                              \\
 
                   \end{align}</math>
 
                   \end{align}</math>
  
−
Det alternativa sättet att lösa ekvationen ovan visar att rötter även kan uppfattas och skrivas som [[Potenser#Potenser_med_rationella_exponenter|<strong><span style="color:blue">potenser med rationella exponenter</span></strong>]].
+
De alternativa lösningarna av ekvationen ovan är ett exempel på att rötter alltid kan skrivas som [[Potenser#Potenser_med_rationella_exponenter|<b><span style="color:blue">potenser med rationella exponenter</span></b>]].
 
</div> <!-- tolv7 -->
 
</div> <!-- tolv7 -->
 +
 +
  
  
Rad 363: Rad 378:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 22 januari 2019 kl. 11.15

        <<  Repetitioner          Genomgång          Övningar          1:a avsnitt: Polynom  >>      


Potenser är ett repeterande underavsnitt i avsnittet Polynom. Övningar till Potenser finns separat i fliken ovan.

Repetition om potenser

Potens Bas Exponent 80.jpg            

Exempel på potens:

\[ 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 8\]

Potens = upprepad multiplikation

av \( \, 2 \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger.


OBS!   Förväxla inte begreppen: \( \, 2\,^3 \, \) är själva potensen, medan \( \, {\color{Red} 3} \, \) är exponenten och \( \, {\color{green} 2}\, \) förstås basen.

Exponenten \( \, {\color{Red} 3} \, \) är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att:

\( \, 2 \, \) ska multipliceras \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger med sig själv, en förkortning för upprepad multiplikation (jfr. upprepad addition).


Exempel

Förenkla: \( \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \)


Lösning: \( \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)

OBS!   Förenkla alltid först, räkna sedan!

Snabbare: \( \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)

För att förstå den snabbare lösningen se Potenslagarna.


Generellt:

Potenser med positiva exponenter

Potensen \( \, a\,^{\color{Red} x} \, \) med positiv exponent (\( x \, \) heltal \( > 0 \, \) och \( \, a \, \neq 0 \)) kan definieras som:

Upprepad multiplikation av \( \, a \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} x} \, \) gånger:
\( \quad a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \)


Potenslagarna

Första potenslagen: \( \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad \)

Andra potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad \)

Tredje potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad \)

Lagen om nollte potens: \( \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad \)

Lagen om negativ exponent: \( \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad \)

Potens av en produkt: \( \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad \)

Potens av en kvot: \( \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad \)


Dessa lagar gäller för potenser där baserna \( \, a,\,b \, \) är tal \( \, \neq 0 \, \) och exponenterna \( \, x,\,y \, \) är godtyckliga tal.


Exempel på första potenslagen

Förenkla: \( \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 \)


Lösning:

\( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}\)

Snabbare:

\( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; a\,^{2\,+\,3} = \; a\,^{\color{Red} 5} \)


Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen.


Exempel på andra potenslagen

\( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 \)

Snabbare:

\( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 \)


Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva exponenter. Men den definitionen duger varken för negativa exponenter eller för exponenten \( \, 0 \, \):

Antalet multiplikationer av basen med sig själv kan inte vara negativt eller \( \, 0 \, \). Det behövs nya definitioner resp. slutsatser.


Potenser med negativa exponenter

Hur raknar du negativa exponenter 20.jpg


Potens med negativ exponent:

\( \qquad \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad \)

Invertera potensen med positiv exponent.

Att "invertera" t.ex. \( \, 10 \, \) ger \( \, \displaystyle {1 \over 10} \; \).


      

Andra exempel:

\[ \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} \]
\[ \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} \]
\[ \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} \]

Generellt:

Påstående:

Lagen om negativ exponent \( \quad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \)

Bevis:

\( \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} \)

In den första likheten har vi använt lagen om nollte potens baklänges: \( \; 1 = a^0 \; \).

In den andra likheten har vi använt andra potenslagen: \( \; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \; \).

Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges.


Potenser med exponenten \( \, 0 \, \)

Exempel:

\( \quad \displaystyle 2\,^{\color{Red} 0} \;\; = \;\; 1 \quad \)


Generellt:

Påstående:

Lagen om nollte potens \( \quad a^0 \; = \; 1 \; \)

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 \)

Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet \( \, 1 \):

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 \)

Av raderna ovan följer påståendet:

\( a^0 \; = \; 1 \)


I båda föregående påståenden ska alltid gälla: \( \quad x \, \) heltal \( > 0 \, \) och \( \, a \, \neq 0 \quad \).


Exemplet nedan ska illustrera lagen ovan genom att visa följande:

Potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter.

Nollte potensen bildar övergången mellan positiva och negativa exponenter, precis som \( \, 0 \, \) är övergången mellan positiva och negativa tal:


Varför är \( \; 5\,^0 \, = \, 1 \; \)?

\[ \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
\[ \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
\[ \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \]
\[ \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \]
\[ \; \boxed{{\color{Red} {5^0 \; = \; 1}}} \]
\[ \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} \]
\[ \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} \]
\[ \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} \]
\[ \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } \]

Att \( \; {\color{Red} 1} \)-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens enhet är \( \, {\color{Red} 1} \), dvs \( \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a \).

Därför blir endast \( \, {\color{Red} 1} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5^0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.


Potenser med rationella exponenter

Potenser med rationella exponenter (bråktal) är ett annat sätt att skriva rötter.

Följande samband råder mellan potenser med rationella exponenter och rötter:

Påstående:

Lagen om kvadratroten \( \quad a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} \)

Bevis:

Vi multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 2} \) två gånger med sig själv och använder första potenslagen:

\( \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a \)

Å andra sidan är definitionen för kvadratroten ur \( \, a \):

\( \qquad\quad \displaystyle \sqrt{a} \; = \; \) Tal som 2 gånger multiplicerat med sig själv ger \( \, a \).

Av raderna ovan följer:

\( \displaystyle a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} \)


I följande ska alltid gälla: \( \quad m, n \, \) heltal och \( \, n \, \neq 0 \quad \).

Påstående:

Lagen om högre rötter \( \quad a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \)

Bevisidé:

Vi visar påståendet för specialfallet \( \, n=3 \):

Vi multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder första potenslagen:

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \)

Å andra sidan är definitionen för 3:e roten ur \( \, a \):

\( \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; \) Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger \( \, a \).

Av raderna ovan följer:

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \)

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet:

Lagen om rationell exponent \( \quad \displaystyle a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \)

Tabellen över Potenslagarna borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.


Potensekvationer

Anta i fortsättningen att \( \, x \, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Funktioner av typ \( y = x^3\, \) kallas för potensfunktioner, generellt \( \; y = c \cdot x^b\, \).
Ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) kallas för potensekvationer, generellt \( \; x^b\, = c \).

I potensfunktioner och -ekvationer förekommer \( \, x \, \) i basen.

Potensekvationer löses genom rotdragning.

Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.

För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

Alternativt med potens med rationell exponent:

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \qquad & | \; \text{3:e potenslagen på VL} \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

De alternativa lösningarna av ekvationen ovan är ett exempel på att rötter alltid kan skrivas som potenser med rationella exponenter.



Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html

http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar





Copyright © 2010-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=Potenser&oldid=28263"