Skillnad mellan versioner av "2.3 Fördjupning till Gränsvärde"

Exempel

Funktionen \( y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \) är given.

\( \quad \)

\( \quad \)

Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to \infty \; \)? Gränsvärdet  för \( \, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \, \),  då \( \,x \, \) går mot \( \, \infty \; \),  är \( \, 0\)  : \( \quad\qquad\qquad\qquad\, \displaystyle {\color{Red} {\lim_{x \to \infty}}}\,{10 \over x\,-\,2} {\color{Red} { \; = \; 0}} \) Grafiskt:  Kurvan närmar sig \( \, x \)-axeln när \( \, x \, \) växer, dvs \( \, y\, \) blir allt mindre ju större \( \, x \, \) blir. Men kurvan skär aldrig \( \, x \)-axeln. Funktionen går mot \( \, 0\, \) utan att nå \( \, 0 \).

Analytiskt:  Ekvationen \( \, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \, = \, 0 \, \) saknar lösning, därför att täljaren \( \, 10\, \) är en konstant som aldrig kan bli \( \, 0 \). Så kan inte heller \( \, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \, \) bli \( \, 0 \, \), oavsett \( \, x \). Nämnaren växer däremot obegränsat när \( \, x \, \) växer. Konstant delad med obegränsat växande värden går mot \( \, 0 \, \). Man skriver:

\( \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty \;\; \), bättre uttryckt: \( \, \boxed{ \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, = \, 0} \, \). Av samma anledning är: \( \, \boxed{ \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{1 \over x} \, = \, 0} \, \).

Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to - \infty \; \)?

Något liknande visas när \( \, x \, \) går mot negativa värden, dvs när \( x \to \, {\color{Red} {- \infty}} \):   \( \,y\, \) mot \( \,0\, \) bara att \( \, y\, \) nu närmar sig \( \, 0 \, \) nedifrån, kort: \( \;\; y \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to {\color{Red} {- \infty}} \; \).

Exempel på att gränsvärde saknas

Funktionen \( y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \) är given: \( \qquad\qquad\qquad \) Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to 2 \; \)?

Bestäm \( \quad \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} \) Svar: \( \quad\;\; f(x)\, \) är inte definierad för \( x = 2\, \). \( \qquad\qquad\qquad\qquad\quad \Downarrow \) \( \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} \quad \) existerar inte   : \( \qquad \) Gränsvärde saknas.

\( \qquad \)

Grafen visar att kurvan skjuter upp i höjden å ena sidan och ner i "djupet" å andra sidan av punkten \( \, x = 2 \).

Algebraiskt är \( \, f(x)\, \) inte definierad för \( x = 2\, \), för \( \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \):s nämnare blir \( \, 0\, \) för \( \, x = 2 \).

Dessutom finns det två olika resultat beroende på om \( \, x \) går mot \( \, 2 \) från höger eller från vänster:

\( f(x)\, \) går mot \( +\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från höger och mot \( -\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från vänster.

\( y \;\; {\rm går\;mot} \, +\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;höger:} \; \qquad\quad y \to +\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^+ \)

\( y \;\; {\rm går\;mot} \, -\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;vänster:} \; \qquad\; y \to -\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^- \)

där \( x \to 2^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 2 \) från höger (\( \, x > 2 \)) och \( x \to 2^- \) att närma sig \( \, x = 2 \) från vänster (\( \, x < 2 \)).