Skillnad mellan versioner av "1.1 Om tal"

Vad är ett tal egentligen?

Titta på bilderna till höger.

 </td>
 <td> \( \qquad \) </td>
 <td>  \(\qquad\)  </td>

</table> \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \) Vad är det gemensamma hos tre katter och tre hundar? Om vi bortser från själva katter och hundar så är det antalet tre som är gemensamt för båda mängder. Vi kan generalisera:

Vi kan också säga: Talet \( \, {\color{Red} n} \, \) är det gemensamma hos mängder som innehåller precis \( \, {\color{Red} n} \, \) element (objekt).

Men är detta inte bara att byta ut ordet tal mot ett annat: antal? Det löser väl inget problem. Vi kan lika bra fortsätta och fråga: Vad är antal?

Det är snarare tankeprocessen bakom räknandet som är det viktiga: Det vi gör. Att räkna antalet saker och ting har vi lärt oss som barn.

Men hur det gick till?

Vi bortser från skillnaderna mellan två mängder av objekt (katter och hundar). Kvar blir det gemensamma (talet tre) hos dem. Så bildas ett begrepp. Att bortse från skillnaderna och bibehålla det gemensamma hos objekt kallas för abstraktion. Läs mer detta: </div>

Abstraktion

Olika typer av tal

\( \qquad \)

Vi brukar räkna antalet saker och ting i vår omgivning med den enklaste typen av tal, de positiva heltalen:\(\qquad\qquad\qquad\qquad\) Så räknar vi antal objekt i en mängd, t.ex. fingrarna i våra händer. Alla dessa tal är \( \, > 0 \), medan själva \( \, 0 \, \) får man först genom att dra av två lika stora positiva tal från varandra, t.ex. \( \, 4 - 4 = 0 \, \). Detta leder till en ny talmängd med de positiva heltalen och \( 0 \), kallad: Naturliga tal:        Drar man av ett större naturligt tal från ett mindre kommer man till negativa tal, t.ex. \( \, 4 - 5 = -1 \). Så uppstår ytterligare en ny talmängd: Heltal:        Division av två heltal med varandra, t.ex. \( \, 1 / 3 = \displaystyle{1 \over 3} \, \) leder till tal i bråkform, även kallade:

De olika taltyperna är delmängder av varandra:

Alla rationella tal kan skrivas i bråkform och därmed som decimaltal. Dock finns decimaltal som inte kan skrivas i bråkform.

Exempel:   Drar man roten ur \( \, 2 \, \) kommer man till: \( \qquad\qquad \sqrt{2} = 1,4142135623730950488016887\ldots \)

\( \sqrt{2} \, \) kan inte anges i bråkform \(-\) är inget rationellt tal \(-\) därför att det har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period).

Sådana tal kallas irrationella och består av decimaltal med en icke-periodisk decimalutveckling. \( \sqrt{2} \, \), \( \sqrt{3} \, \) och talet \( \, \pi \, \) är exempel på irrationella tal.

Följande ny taltyp uppstår:

Men det finns ytterligare en talmängd som är ännu mer omfattande än de reella talen.

Löser man t.ex. ekvationen \( x^2 + 1 = 0 \) får man \( \; x = \sqrt{-1} \) som inte är något reellt tal därför att det inte finns något reellt tal som multiplicerat med sig själv ger \( \, -1 \). Vi säger: ekvationen saknar reell lösning.

För att lösa detta dilemma införs en ny symbol \( \; {\color{Red} i} \, = \, \sqrt{-1} \; \) med egenskapen \( \; {\color{Red} i}\,^2 \, = \, -1 \; \) med vars hjälp den nya talmängden definieras:

Alla talmängder bygger sin konstruktion på och är resultat av abstraktioner, i princip av samma typ som inledningsvis introducerades med talbegreppet \(-\) fast på högre nivå. Symbolen \( \, {\color{Red} i} \, \) är ett exempel på en sådan abstraktion.

Att räkna med tal är en sak, att skriva upp och visa tal en helt annan. För att kunna kommunicera tal måste vi ge talen, som ju är resultat av abstraktion, ändå en konkret form som alla förstår.

Man pratar om representation av tal. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att skriva eller representera tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över är det s.k. decimala positionssystemet. Så kallas vårt talsystem som vi dagligen använder.

Det har visat sig genom historien att detta är det enklaste sättet att representera tal. Det känns naturligt att ta sina \( \, 10 \, \) fingrar till hjälp när man räknar i huvudet, vilket endast är möjligt om talsystemet är decimalt:

Decimalt heter vårt talsystem därför att det bygger på basen \( \, 10 \, \) (på latin: deci). Det finns andra talsystem som bygger på andra baser vilket tas upp i avsnittet Talsystem med olika baser.

Så kan alla tal större än \( \, 9 \, \), alla negativa tal samt alla decimaltal skrivas med hjälp av de första \( \, 10 \, \) naturliga talen (med minustecknet och decimalkommat). Detta blir möjligt genom att ge siffrorna \( \, 0\)-\( \, 9\):s position i talen ett visst värde.

Positionssystem heter vårt talsystem därför att det är positionen eller placeringen av siffrorna \( \, 0\)-\(9 \, \) i talet som bestämmer siffrornas värde.

När vi behandlar decimaltal kommer samma regel att dyka upp i en annan skepnad.

De olika positioner som bestämmer siffrornas värde har följande beteckningar: Följande exempel visar hur en siffras position bestämmer dess värde:

ental tiotal hundratal

tusental tiotusental hundratusental osv.

Om du har svårigheter att förstå skrivsättet med \( \, 10\)-potenser läs avsnittet om Potenser. Kom speciellt ihåg att \( \, 10^0 \, = \, 1 \, \) enligt potenslagarna.

Siffran \( \, 2 \, \) i talet \( \, 7\,142 \, \) är talets ental och har det minsta värdet, nämligen \( \, 2 \cdot 1 = 2 \). Sedan följer de andra med stigande värden.

Nästa siffra \( \, 4 \, \) till vänster är talets tiotal och har värdet \( \, 4 \cdot 10 = 40 \).

Nästa siffra \( \, 1 \, \) till vänster är talets hundratal och har värdet \( \, 1 \cdot 100 = 100 \).

Siffran \( \, 7 \, \) längst till vänster är talets tusental och har det högsta värdet, nämligen \( \, 7 \cdot 1\,000 = 7\,000 \).

Man säger att \( \, {\color{Red} {312}} \, \) är ett sätt \(-\) det decimala positionssystemets sätt \(-\) att representera dvs visa talets värde.

I beräkningen av talets värde i Exempel 2 har vi istället för \( \, 100 \, \) skrivit \( \, 10^2 \, \), vilket betyder \( \, 10 \cdot 10 \, \), istället för \( \, 10 \, \) skrivit \( \, 10^1 \, \) och istället för \( \, 1 \, \) skrivit \( \, 10^0 \, \). Detta för att visa att det bildas en summa av termer där varje term har formen "(siffra \( \, 0\)-\(9 \, \)) gånger \( \, 10\)-potenser". Denna summa är en generell form för representation av tal i det decimala positionssystemet som har basen \( \, 10 \). På samma sätt kan i andra talsystem med andra baser talens värde beräknas \(-\) bara att basen \( \, 10 \, \) byts ut mot andra baser.

Uppgifter av typ Exempel 2 brukar formuleras kort så här:

De fyra räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division har vi lärt oss i grundskolan. De är räkneoperationer. Deras resultat kallas för: