Skillnad mellan versioner av "1.2 Räkneordning"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 36: | Rad 36: | ||
Är denna regel något vi bara måste acceptera eller finns det någon logisk förklaring för den? För att besvara frågan måste vi fundera på vad vi egentligen gör när vi multiplicerar. | Är denna regel något vi bara måste acceptera eller finns det någon logisk förklaring för den? För att besvara frågan måste vi fundera på vad vi egentligen gör när vi multiplicerar. | ||
| − | </div> <!-- | + | </div> <!-- tolv1 --> |
| Rad 42: | Rad 42: | ||
<div class="tolv"> <!-- tolv2 --> | <div class="tolv"> <!-- tolv2 --> | ||
| − | <math> {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \, </math> kan uppfattas som: | + | <math> {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \, </math> kan uppfattas som<span style="color:black">:</span> |
:::::<math> {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} </math> | :::::<math> {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} </math> | ||
| Rad 48: | Rad 48: | ||
I själva verket är <math> \; {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; </math> en förkortning för <b><span style="color:red">upprepad addition</span></b> av <math> \, 5 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger. | I själva verket är <math> \; {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; </math> en förkortning för <b><span style="color:red">upprepad addition</span></b> av <math> \, 5 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger. | ||
| − | När vi sedan fortsätter genom att lägga till <math> \, 6 \, + \, </math> ser vi att <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> inte längre finns med i räkneprocessen, om vi skriver ut förkortningen <math> \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, </math>: | + | När vi sedan fortsätter genom att lägga till <math> \, 6 \, + \, </math> ser vi att <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> inte längre finns med i räkneprocessen, om vi skriver ut förkortningen <math> \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, </math><span style="color:black">:</span> |
:::<math> 6 \, + \quad {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; 6 \, + \quad \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 </math> | :::<math> 6 \, + \quad {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; 6 \, + \quad \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 </math> | ||
| − | + | <math> {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att <math> \, 5 \, </math> ska adderas <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger med sig själv. | |
Därför det är fel att addera <math> \, 6 \, </math> med <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> när man ska beräkna <math> \; 6 \, + \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, </math>. | Därför det är fel att addera <math> \, 6 \, </math> med <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> när man ska beräkna <math> \; 6 \, + \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, </math>. | ||
| Rad 60: | Rad 60: | ||
På köpet får man insikten om att multiplikation inte är en ny, genuin räkneoperation utan bygger på addition <math>-</math> en tanke som kan vidareföras: | På köpet får man insikten om att multiplikation inte är en ny, genuin räkneoperation utan bygger på addition <math>-</math> en tanke som kan vidareföras: | ||
| − | Samma sak är det nämligen med <b><span style="color:red">division</span></b>. Inte heller division är en ny, genuin räkneoperation utan är endast <b><span style="color:red">upprepad subtraktion</span></b>. När vi t.ex. räknar <math> 30 \, / \, 5 \, </math> görs i själva verket följande: | + | Samma sak är det nämligen med <b><span style="color:red">division</span></b>. Inte heller division är en ny, genuin räkneoperation utan är endast <b><span style="color:red">upprepad subtraktion</span></b>. När vi t.ex. räknar <math> 30 \, / \, 5 \, </math> görs i själva verket följande<span style="color:black">:</span> |
:::::<math> 30 \; \underbrace{- \, 5 \, - \, 5 \, - \, 5 \, - 5 \, - 5 \, - \,5}_{{\color{Red} 6}\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm dvs} \qquad 30 \, / \, 5 \; = \; {\color{Red} 6}\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 </math> | :::::<math> 30 \; \underbrace{- \, 5 \, - \, 5 \, - \, 5 \, - 5 \, - 5 \, - \,5}_{{\color{Red} 6}\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm dvs} \qquad 30 \, / \, 5 \; = \; {\color{Red} 6}\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 </math> | ||
| Rad 90: | Rad 90: | ||
:::<math> 12 \, - \, 2 \cdot 3 \, + \, 6 </math> | :::<math> 12 \, - \, 2 \cdot 3 \, + \, 6 </math> | ||
| − | Som det sades inledningsvis är det vanligaste felet att börja räkna <math> \, 12 \, - \, 2 \, </math>. Istället för att börja räkna är det bättre att först titta på hela uttrycket. Då ser man att operatorerna <math> \, + \, </math> och <math> \, \cdot\;</math> är inblandade vilket innebär att prioritetsreglerna måste användas: | + | Som det sades inledningsvis är det vanligaste felet att börja räkna <math> \, 12 \, - \, 2 \, </math>. Istället för att börja räkna är det bättre att först titta på hela uttrycket. Då ser man att operatorerna <math> \, + \, </math> och <math> \, \cdot\;</math> är inblandade vilket innebär att prioritetsreglerna måste användas<span style="color:black">:</span> |
:::<math> 12 \, - \, 2 \cdot 3 \, + \, 6 \, = \, 12 \, - \, (2 \cdot 3) \, + \, 6 \, = \, 12 \, - \, 6 \, + \, 6 \, = \, 12</math> | :::<math> 12 \, - \, 2 \cdot 3 \, + \, 6 \, = \, 12 \, - \, (2 \cdot 3) \, + \, 6 \, = \, 12 \, - \, 6 \, + \, 6 \, = \, 12</math> | ||
| Rad 102: | Rad 102: | ||
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> == | ||
| − | Här har vi ett lite större uttryck med parenteser: | + | Här har vi ett lite större uttryck med parenteser<span style="color:black">:</span> |
:::<math>(50+14)-8\cdot3+4</math> | :::<math>(50+14)-8\cdot3+4</math> | ||
| − | Om vi endast tillämpar det vi lärt oss i det här avsnittet dvs räknar först multiplikationen blir lösningen följande: | + | Om vi endast tillämpar det vi lärt oss i det här avsnittet dvs räknar först multiplikationen blir lösningen följande<span style="color:black">:</span> |
:::<math>(50+14)-8\cdot3+4 = (50+14)-24+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44</math> | :::<math>(50+14)-8\cdot3+4 = (50+14)-24+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44</math> | ||
| − | Men även följande lösning är helt korrekt: | + | Men även följande lösning är helt korrekt<span style="color:black">:</span> |
:::<math>(50+14)-8\cdot3+4 = 64-8\cdot3+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44</math> | :::<math>(50+14)-8\cdot3+4 = 64-8\cdot3+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44</math> | ||
| Rad 123: | Rad 123: | ||
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> == | ||
| − | '''Problem:''' Beräkna utan miniräknare: | + | '''Problem:''' Beräkna utan miniräknare<span style="color:black">:</span> |
:::<math>24 - (8-4) - 36/6 + 5\cdot4</math> | :::<math>24 - (8-4) - 36/6 + 5\cdot4</math> | ||
| Rad 138: | Rad 138: | ||
== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> == | ||
| − | '''Problem:''' Beräkna utan räknare och kontrollera resultatet med räknaren: | + | '''Problem:''' Beräkna utan räknare och kontrollera resultatet med räknaren<span style="color:black">:</span> |
:::<math>\left({16-4 \over 3} + 7\right) \cdot 2 - 9/3 + 1 </math> | :::<math>\left({16-4 \over 3} + 7\right) \cdot 2 - 9/3 + 1 </math> | ||
| Rad 144: | Rad 144: | ||
'''Lösning:''' | '''Lösning:''' | ||
| − | :::<math> \displaystyle \left({16-4 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,9/3\,+\,1 = \left({12 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = (4+7)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = </math> | + | :::<math> \displaystyle \left({16-4 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,9/3\,+\,1 = \left({12 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 \, = (4+7)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = </math> |
| − | :::<math> = 11\,\cdot\,2 | + | :::<math> = \, 11\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = 22\,-\,3\,+\,1 = 19\,+\,1 = 20 </math> |
Här har vi i det första mellansteget börjat att beräkna parentesen och samtidigt utfört divisionen <math>9/3</math> för att skriva lite mindre. Upplösningen av parentesen fortsätter i det andra mellansteget medan divisionen är avslutad och resultatet tas med i de följande mellanstegen tills parentesen är upplöst och multiplikationen med <math> \, 2 \, </math> genomförd. | Här har vi i det första mellansteget börjat att beräkna parentesen och samtidigt utfört divisionen <math>9/3</math> för att skriva lite mindre. Upplösningen av parentesen fortsätter i det andra mellansteget medan divisionen är avslutad och resultatet tas med i de följande mellanstegen tills parentesen är upplöst och multiplikationen med <math> \, 2 \, </math> genomförd. | ||
| Rad 156: | Rad 156: | ||
Vad händer när parenteser är inblandade? Med parenteser kan man bryta prioritetsordningen och styra själv räknegången. | Vad händer när parenteser är inblandade? Med parenteser kan man bryta prioritetsordningen och styra själv räknegången. | ||
| − | Om vi i det inledande exemplet sätter parenteser kan vi bryta prioritetsordningen och få <math> \, 45 \, </math>: | + | Om vi i det inledande exemplet sätter parenteser kan vi bryta prioritetsordningen och få <math> \, 45 \, </math><span style="color:black">:</span> |
::::<math>(6+3)\cdot5=9\cdot5=45</math> | ::::<math>(6+3)\cdot5=9\cdot5=45</math> | ||
| − | Parentesen tvingar oss här att först räkna <math>6+3</math> och sedan fortsätta med gånger <math> \, 5 \, </math> så att man får <math> \, 45 \, </math>. Uttrycket ovan är ett annat uttryck än det inledande exemplet. För att få det inledande exemplet måste parenteserna sättas så här: | + | Parentesen tvingar oss här att först räkna <math>6+3</math> och sedan fortsätta med gånger <math> \, 5 \, </math> så att man får <math> \, 45 \, </math>. Uttrycket ovan är ett annat uttryck än det inledande exemplet. För att få det inledande exemplet måste parenteserna sättas så här<span style="color:black">:</span> |
::::<math>6+(3\cdot5)=6+15=21</math> | ::::<math>6+(3\cdot5)=6+15=21</math> | ||
| Rad 166: | Rad 166: | ||
Man kan också säga att det i det inledande exemplet fanns "osynliga" parenteser. Det är sådana som ''kan'' utelämnas utan att någon ändring sker. Nu har vi gjort dem synliga. De gör exakt samma sak som prioritetsregeln "multiplikation går före addition". Därför utelämnar man dem vanligtvis och låter prioritetsregeln göra jobbet. Men det är inte heller fel att skriva parenteserna för tydlighetens skull. | Man kan också säga att det i det inledande exemplet fanns "osynliga" parenteser. Det är sådana som ''kan'' utelämnas utan att någon ändring sker. Nu har vi gjort dem synliga. De gör exakt samma sak som prioritetsregeln "multiplikation går före addition". Därför utelämnar man dem vanligtvis och låter prioritetsregeln göra jobbet. Men det är inte heller fel att skriva parenteserna för tydlighetens skull. | ||
| − | Det finns inte bara osynliga parenteser utan även osynliga multiplikationstecken. De kan också utelämnas utan att någon ändring av uttryckets värde förekommer. I exemplet ovan kan man faktiskt utelämna multiplikationstecknet och skriva så här: | + | Det finns inte bara osynliga parenteser utan även osynliga multiplikationstecken. De kan också utelämnas utan att någon ändring av uttryckets värde förekommer. I exemplet ovan kan man faktiskt utelämna multiplikationstecknet och skriva så här<span style="color:black">:</span> |
::::<math>(6+3)\;5</math> | ::::<math>(6+3)\;5</math> | ||
| Rad 176: | Rad 176: | ||
| − | == <b><span style="color:#931136"> | + | == <b><span style="color:#931136">Osynliga parenteser</span></b> == |
| − | <div class=" | + | <div class="ovnE"> |
| − | + | <table> | |
| + | <tr> | ||
| + | <td><big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big> | ||
| − | < | + | </td> |
| − | + | <td><math> \qquad\quad </math></td> | |
| + | <td><math> \displaystyle{2+6 \over 3+1} </math></td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | :<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel\,med\,räknaren:}}} \quad\;\; 2 \, + \, 6 \, / \, 3 \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, 2 \, + \, 1 \, = \, 5 </math> | ||
| − | + | :<math> \qquad\quad\;\, {\rm Rätt\,med\,räknaren:} \qquad\qquad\! (2 + 6) / (3 + 1) \, = \, 8 \, / 4 \, = \, 2 </math> | |
| − | :<math> | + | :<math> \qquad\quad\;\, {\rm Rätt\,på\,papper:} \qquad\qquad\quad\; {2+6 \over 3+1} = {(2+6) \over (3+1)} = {8 \over 4} = 2 </math> |
| + | </div> | ||
| + | <div class="tolv"> <!-- tolv5 --> | ||
| + | Det finns två symboler för division som gör samma sak: Divisionstecknet som t.ex. i <math> \, \displaystyle {6/3} \, </math> och bråkstrecket som i <math> \, \displaystyle {6\over 3} \, </math>. | ||
| − | + | Skillnaden är att <math> \, \displaystyle {6/3} \, </math> är en <b><span style="color:red">operation</span></b>, nämligen att dividera <math> \, 6 \, </math> med <math> \, 3 \, </math>, medan <math> \, \displaystyle {6\over 3} \, </math> är ett <b><span style="color:red">tal</span></b> i bråkform. | |
| − | + | Förklaringen för felet i exemplet ovan är igen vissa "osynliga" parenteser: En av de dolda egenskaperna hos bråkstrecket är nämligen att det grupperar sin täljare <math> \, 6+2 \, </math> och nämnare <math> \, 3+1 \, </math> i osynliga parenteser, dvs i sådana som kan utelämnas. I det rätta svaret på papper (ovan) har vi synliggjort de "osynliga" parenteserna. | |
| − | + | ||
| − | + | Och då ser man att det är parenteserna som måste beräknas först. Det är inte fel att i bråkformen även skriva de osynliga parenteserna kring täljaren <math> \, 2 \, + \, 6 \, </math> och nämnaren <math>3+1</math>, men de är onödiga. Man brukar utelämna dem därför att bråkstrecket själv gör det redan tydligt att det är ''hela'' <math> \, 2 \, + \, 6 \, </math> som ska delas med ''hela'' <math> \, 3 \, + \, 1</math>. | |
| − | + | Vill man därmot skriva om divisionen med bråkstrecket till divisionen med divisionstecknet kan man göra det. Båda former är identiska<span style="color:black">:</span> | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | Vill man därmot skriva om divisionen med bråkstrecket till divisionen med divisionstecknet kan man göra det. Båda former är identiska: | + | |
::::<math> {2+6 \over 3+1} = (2+6) / (3+1) \, = \, 8 \, / 4 \, = \, 2 </math> | ::::<math> {2+6 \over 3+1} = (2+6) / (3+1) \, = \, 8 \, / 4 \, = \, 2 </math> | ||
| − | I divisionsformen får man till skillnad från bråkformen inte utelämna parenteserna. Det blir nämligen ett helt annat uttryck och därmed ett helt annat resultat om man gör det: | + | I divisionsformen får man till skillnad från bråkformen inte utelämna parenteserna. Det blir nämligen ett helt annat uttryck och därmed ett helt annat resultat om man gör det<span style="color:black">:</span> |
::::<math>2 \, + \, 6 \, / \, 3 \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, (6 \, / \, 3) \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, 2 \, + \, 1 \, = \, 5 </math> | ::::<math>2 \, + \, 6 \, / \, 3 \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, (6 \, / \, 3) \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, 2 \, + \, 1 \, = \, 5 </math> | ||
Detta pga prioritetsregeln "Division går före addition". | Detta pga prioritetsregeln "Division går före addition". | ||
| + | |||
| + | '''Slutsats:''' | ||
| + | |||
| + | <div class="border-divblue"><b>Bråkstreck inkluderar parentes.</b></div> | ||
</div> <!-- tolv5 --> | </div> <!-- tolv5 --> | ||
== <b><span style="color:#931136">Sammanfattning</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Sammanfattning</span></b> == | ||
| − | <div class=" | + | <div class="border-divblue"> |
När både parenteser och operatorer är inblandade i ett räkneuttryck använd följande turordningsregler: | När både parenteser och operatorer är inblandade i ett räkneuttryck använd följande turordningsregler: | ||
| Rad 219: | Rad 227: | ||
3. Sist additioner och subtraktioner. | 3. Sist additioner och subtraktioner. | ||
| − | </div | + | </div> |
Versionen från 28 februari 2018 kl. 17.44
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
Hur räknar du?
\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 6 \, + \, 3 \cdot 5 \, = \, 9 \cdot 5 \, = \, 45 \]
\[ \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 6 \, + \, 3 \cdot 5 \, = \, 6 \, + \, (3 \cdot 5) \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 \]
Men varför är \( \, 21 \, \) rätt och \( \, 45 \, \) fel?
Om du lärt dig räkneordning vet du att räkneordningen inte alltid följer skrivordningen utan snarare följande regel:
Denna regel används när båda räkneoperationerna \( \, + \, \) och \( \, \cdot\;\) är inblandade. Man säger: Operationen \( \, \cdot\;\) har högre prioritet än operationen \( \, + \, \) dvs \( \, \cdot\;\) måste alltid räknas före \( \, + \, \) varför \( \, 3 \, \) gånger \( \, 5 \, \) måste räknas först och \( \, 6 \, + \, 15 \, \) sedan.
Är denna regel något vi bara måste acceptera eller finns det någon logisk förklaring för den? För att besvara frågan måste vi fundera på vad vi egentligen gör när vi multiplicerar.
Varför går multiplikation före addition?
\( {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \, \) kan uppfattas som:
- \[ {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} \]
I själva verket är \( \; {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; \) en förkortning för upprepad addition av \( \, 5 \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger.
När vi sedan fortsätter genom att lägga till \( \, 6 \, + \, \) ser vi att \( \, {\color{Red} 3} \, \) inte längre finns med i räkneprocessen, om vi skriver ut förkortningen \( \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, \):
- \[ 6 \, + \quad {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; 6 \, + \quad \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 \]
\( {\color{Red} 3} \, \) är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att \( \, 5 \, \) ska adderas \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger med sig själv.
Därför det är fel att addera \( \, 6 \, \) med \( \, {\color{Red} 3} \, \) när man ska beräkna \( \; 6 \, + \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, \).
Vi förstår prioritetsregeln \( \; \cdot \; \) går före \( \; + \; \) genom att se multiplikationen som vad den egentligen är, nämligen en upprepad addition i förkortad form.
På köpet får man insikten om att multiplikation inte är en ny, genuin räkneoperation utan bygger på addition \(-\) en tanke som kan vidareföras:
Samma sak är det nämligen med division. Inte heller division är en ny, genuin räkneoperation utan är endast upprepad subtraktion. När vi t.ex. räknar \( 30 \, / \, 5 \, \) görs i själva verket följande:
- \[ 30 \; \underbrace{- \, 5 \, - \, 5 \, - \, 5 \, - 5 \, - 5 \, - \,5}_{{\color{Red} 6}\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm dvs} \qquad 30 \, / \, 5 \; = \; {\color{Red} 6}\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 \]
Denna tolkning av division kommer även att hjälpa oss att förstå varför man inte får dividera med 0.
De fyra räknesättens prioritetsregler
Både multiplikation och division har alltså högre prioritet än addition och subtraktion.
Addition har samma prioritet som subtraktion.
Multiplikation har samma prioritet som division.
Exempel 1
Vad ger följande uttryck?
- \[ 12 \, - \, 2 \cdot 3 \, + \, 6 \]
Som det sades inledningsvis är det vanligaste felet att börja räkna \( \, 12 \, - \, 2 \, \). Istället för att börja räkna är det bättre att först titta på hela uttrycket. Då ser man att operatorerna \( \, + \, \) och \( \, \cdot\;\) är inblandade vilket innebär att prioritetsreglerna måste användas:
- \[ 12 \, - \, 2 \cdot 3 \, + \, 6 \, = \, 12 \, - \, (2 \cdot 3) \, + \, 6 \, = \, 12 \, - \, 6 \, + \, 6 \, = \, 12\]
Parentesen är här endast till för att förtydliga hur man tänkt och räknat. Beakta uppgiftens redovisning som en kedja av likheter för att visa alla mellansteg. Likhetstecknets korrekta användning innebär att det verkligen står exakt samma sak på båda sidor av likhetstecknen. Därför måste t.ex. talet \( \, 12 \, \) upprepas i alla mellansteg ända till slutet för att upprätthålla likheterna, även om man inte räknar med \( \, 12 \, \) förrän i det allra sista steget.
Exempel 2
Här har vi ett lite större uttryck med parenteser:
- \[(50+14)-8\cdot3+4\]
Om vi endast tillämpar det vi lärt oss i det här avsnittet dvs räknar först multiplikationen blir lösningen följande:
- \[(50+14)-8\cdot3+4 = (50+14)-24+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44\]
Men även följande lösning är helt korrekt:
- \[(50+14)-8\cdot3+4 = 64-8\cdot3+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44\]
Här har man löst upp parentesen först vilket inte alls står i motsägelse till prioritetsreglerna. Inom parentesen finns ju ingen annan operator än \( \, + \, \) så att det inte uppstår något problem vad gäller operatorprioritet. I nästa steg räknas \( \, 8 \, \) gånger \( \, 3 \, \) först och dras av sedan från \( \, 64 \, \). Viktigt är att man efter första likhetstecknet inte begår felet att räkna \(64-8\) utan tar först \( \, 8 \, \) gånger \( \, 3 \, \).
Frågan som uppstår nu är: Vilken av de två lösningarna ovan är bättre? Just i det här exemplet spelar det ingen roll. Men generellt kommer vi att se att det i större sammanhang är bättre att lösa upp parenteser först, dvs att räkna deras innehåll så att man kan ta bort dem. Sedan kan man följa operatorernas prioritetsregler.
Exempel 3
Problem: Beräkna utan miniräknare:
- \[24 - (8-4) - 36/6 + 5\cdot4\]
Lösning:
- \[24\,-\,(8-4)\,-\,36/6\,+\,5\,\cdot\,4\;=\;24\,-\,4\,-\,6\,+\,20\;=\;20\,-\,6\,+\,20\;=\;14\,+\,20\;=\;34\]
Här har vi förkortat lösningen genom att sammanfatta beräkningen av parentesen, divisionen och multiplikationen i det första mellansteget.
Exempel 4
Problem: Beräkna utan räknare och kontrollera resultatet med räknaren:
- \[\left({16-4 \over 3} + 7\right) \cdot 2 - 9/3 + 1 \]
Lösning:
- \[ \displaystyle \left({16-4 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,9/3\,+\,1 = \left({12 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 \, = (4+7)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = \]
- \[ = \, 11\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = 22\,-\,3\,+\,1 = 19\,+\,1 = 20 \]
Här har vi i det första mellansteget börjat att beräkna parentesen och samtidigt utfört divisionen \(9/3\) för att skriva lite mindre. Upplösningen av parentesen fortsätter i det andra mellansteget medan divisionen är avslutad och resultatet tas med i de följande mellanstegen tills parentesen är upplöst och multiplikationen med \( \, 2 \, \) genomförd.
Parenteser och osynliga multiplikationstecken
Vad händer när parenteser är inblandade? Med parenteser kan man bryta prioritetsordningen och styra själv räknegången.
Om vi i det inledande exemplet sätter parenteser kan vi bryta prioritetsordningen och få \( \, 45 \, \):
- \[(6+3)\cdot5=9\cdot5=45\]
Parentesen tvingar oss här att först räkna \(6+3\) och sedan fortsätta med gånger \( \, 5 \, \) så att man får \( \, 45 \, \). Uttrycket ovan är ett annat uttryck än det inledande exemplet. För att få det inledande exemplet måste parenteserna sättas så här:
- \[6+(3\cdot5)=6+15=21\]
Man kan också säga att det i det inledande exemplet fanns "osynliga" parenteser. Det är sådana som kan utelämnas utan att någon ändring sker. Nu har vi gjort dem synliga. De gör exakt samma sak som prioritetsregeln "multiplikation går före addition". Därför utelämnar man dem vanligtvis och låter prioritetsregeln göra jobbet. Men det är inte heller fel att skriva parenteserna för tydlighetens skull.
Det finns inte bara osynliga parenteser utan även osynliga multiplikationstecken. De kan också utelämnas utan att någon ändring av uttryckets värde förekommer. I exemplet ovan kan man faktiskt utelämna multiplikationstecknet och skriva så här:
- \[(6+3)\;5\]
Detta ger samma värde \( \, 9 \, \) gånger \( \, 5 \, = \, 45 \, \) som ovan.
Självklart kan man inte alltid utelämna multiplikationstecknet, t.ex. inte mellan två rena siffror eller tal som ska multipliceras. Läsligheten får ju inte lida. I uttrycket \( \, (6+3)\;5 \, \) är det parentesen som gör att multiplikationstecknet kan utelämnas.
Osynliga parenteser
| Exempel: | \( \qquad\quad \) | \( \displaystyle{2+6 \over 3+1} \) |
\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel\,med\,räknaren:}}} \quad\;\; 2 \, + \, 6 \, / \, 3 \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, 2 \, + \, 1 \, = \, 5 \]
\[ \qquad\quad\;\, {\rm Rätt\,med\,räknaren:} \qquad\qquad\! (2 + 6) / (3 + 1) \, = \, 8 \, / 4 \, = \, 2 \]
\[ \qquad\quad\;\, {\rm Rätt\,på\,papper:} \qquad\qquad\quad\; {2+6 \over 3+1} = {(2+6) \over (3+1)} = {8 \over 4} = 2 \]
Det finns två symboler för division som gör samma sak: Divisionstecknet som t.ex. i \( \, \displaystyle {6/3} \, \) och bråkstrecket som i \( \, \displaystyle {6\over 3} \, \).
Skillnaden är att \( \, \displaystyle {6/3} \, \) är en operation, nämligen att dividera \( \, 6 \, \) med \( \, 3 \, \), medan \( \, \displaystyle {6\over 3} \, \) är ett tal i bråkform.
Förklaringen för felet i exemplet ovan är igen vissa "osynliga" parenteser: En av de dolda egenskaperna hos bråkstrecket är nämligen att det grupperar sin täljare \( \, 6+2 \, \) och nämnare \( \, 3+1 \, \) i osynliga parenteser, dvs i sådana som kan utelämnas. I det rätta svaret på papper (ovan) har vi synliggjort de "osynliga" parenteserna.
Och då ser man att det är parenteserna som måste beräknas först. Det är inte fel att i bråkformen även skriva de osynliga parenteserna kring täljaren \( \, 2 \, + \, 6 \, \) och nämnaren \(3+1\), men de är onödiga. Man brukar utelämna dem därför att bråkstrecket själv gör det redan tydligt att det är hela \( \, 2 \, + \, 6 \, \) som ska delas med hela \( \, 3 \, + \, 1\).
Vill man därmot skriva om divisionen med bråkstrecket till divisionen med divisionstecknet kan man göra det. Båda former är identiska:
- \[ {2+6 \over 3+1} = (2+6) / (3+1) \, = \, 8 \, / 4 \, = \, 2 \]
I divisionsformen får man till skillnad från bråkformen inte utelämna parenteserna. Det blir nämligen ett helt annat uttryck och därmed ett helt annat resultat om man gör det:
- \[2 \, + \, 6 \, / \, 3 \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, (6 \, / \, 3) \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, 2 \, + \, 1 \, = \, 5 \]
Detta pga prioritetsregeln "Division går före addition".
Slutsats:
Sammanfattning
När både parenteser och operatorer är inblandade i ett räkneuttryck använd följande turordningsregler:
1. Lös upp eventuella parenteser först, dvs räkna deras innehåll.
2. Sedan tar du multiplikationer och divisioner.
3. Sist additioner och subtraktioner.
Internetlänkar
https://www.youtube.com/watch?v=lFxztfJ2bq4
http://matematikvideo.se/lektioner/prioriteringsreglerna/
http://www.matteguiden.se/rakneregler/
http://www.mathgoodies.com/lessons/vol7/order_operations.html
Copyright © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
