Skillnad mellan versioner av "2.3 Gränsvärde"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 24: | Rad 24: | ||
<small>En fallskärmshoppare faller fritt med hastigheten | <small>En fallskärmshoppare faller fritt med hastigheten | ||
| − | <math> \qquad\quad | + | <math> \qquad\quad\;\; </math> <div class="smallBoxVariant"><math> v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math></div> |
där <math> \, t = \, </math> tiden i sek. Finns det en maximal hastighet | där <math> \, t = \, </math> tiden i sek. Finns det en maximal hastighet | ||
| Rad 30: | Rad 30: | ||
<math> \, v_{max} \, </math> som hopparen inte kan överskrida? | <math> \, v_{max} \, </math> som hopparen inte kan överskrida? | ||
| − | Om ja, bestäm den.</small> | + | Om ja, bestäm den. Tips: Rita grafen till <math> v(t) </math>.</small> |
</div> | </div> | ||
</td> | </td> | ||
| Rad 38: | Rad 38: | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| − | <b> | + | <b>Fysikalisk tolkning:</b> |
Grafen till <math> \, v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet som hopparen inte kan överskrida: | Grafen till <math> \, v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet som hopparen inte kan överskrida: | ||
| Rad 44: | Rad 44: | ||
Efter ca. 40 sek blir hopparens hastighet konstant<span style="color:black">:</span> <math> \;\; v \, \approx \, v_{max} = 80 </math> m/s. <math> \;\; </math> [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ <b><span style="color:blue">Newtons fösta lag</span></b>]: | Efter ca. 40 sek blir hopparens hastighet konstant<span style="color:black">:</span> <math> \;\; v \, \approx \, v_{max} = 80 </math> m/s. <math> \;\; </math> [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ <b><span style="color:blue">Newtons fösta lag</span></b>]: | ||
| − | När ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet är summan av alla krafter <math> \, = 0 \, </math> (och omvänt). | + | <i>När ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet är summan av alla krafter <math> \, = 0 \, </math> (och omvänt).</i> |
| − | Därav följer<span style="color:black">:</span> <math> \qquad </math> Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> gravitation <math> \ | + | Därav följer<span style="color:black">:</span> <math> \qquad </math> Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> gravitation <math> \quad </math> dvs <math> \quad </math> rörelsen är ett fritt fall med luftmotstånd. |
<b>Matematisk beskrivning:</b> | <b>Matematisk beskrivning:</b> | ||
Versionen från 3 november 2017 kl. 14.48
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Nästa demoavsnitt >> |
Vårt mål i detta kapitel är att förstå begreppet derivata. Men eftersom derivata är ett gränsvärde, måste vi först behandla begreppet gränsvärde.
Introduktion till gränsvärde
En fallskärmshoppare faller fritt med hastigheten \( \qquad\quad\;\; \)\( v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) \)
där \( \, t = \, \) tiden i sek. Finns det en maximal hastighet \( \, v_{max} \, \) som hopparen inte kan överskrida? Om ja, bestäm den. Tips: Rita grafen till \( v(t) \). |
\( \quad \) | 
|
Fysikalisk tolkning:
Grafen till \( \, v(t) \, \) visar att det finns en maximal hastighet som hopparen inte kan överskrida:
Efter ca. 40 sek blir hopparens hastighet konstant: \( \;\; v \, \approx \, v_{max} = 80 \) m/s. \( \;\; \) Newtons fösta lag:
När ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet är summan av alla krafter \( \, = 0 \, \) (och omvänt).
Därav följer: \( \qquad \) Luftmotstånd \( \, \approx \, \) gravitation \( \quad \) dvs \( \quad \) rörelsen är ett fritt fall med luftmotstånd.
Matematisk beskrivning:
Man skriver: \( \quad \)
\( \qquad\;\; \) Limes av \( \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, \), då \( t \) går mot \( \infty \, \), är \( 80 \).
\( \quad\;\;\, {\color{Red} {\lim}} \, \) står för det latinska ordet \( \, {\color{Red} {\rm limes}} \, \) som betyder gräns.
Limes kan beräknas:
\( v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} - \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, - \, 0 \, = \, \color{Red} {80} \, \),
eftersom \( \qquad\;\; \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} \cdot \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 80 \cdot 0 \, = \, 0 \quad \) pga \( \quad 0,88 \, < \, 1 \; \).
Gränsvärde för en funktion
Vi förutsätter att alla funktioner \( \, y = f(x) \, \) i detta avsnitt är kontinuerliga för alla \( \, x \, \) i det betraktade området.
Exempel
Funktionen \( y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \) är given: \( \qquad\qquad \) Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to \infty \; \)?
\( \quad \) |
\( \quad \) | Gränsvärdet för \( \, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \, \), då \( \,x \, \) går mot \( \, \infty \; \), är \( \, 0\) :
Men kurvan skär aldrig \( \, x \)-axeln. Funktionen går mot \( \, 0\, \) utan att nå \( \, 0 \). |
Analytiskt: Ekvationen \( \, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \, = \, 0 \, \) saknar lösning, därför att täljaren \( \, 10\, \) är en konstant som aldrig kan bli \( \, 0 \). Så kan inte heller hela uttrycket i vänsterled bli \( \, 0 \, \) oavsett \( \, x \). Nämnaren växer däremot obegränsat när \( \, x \, \) växer. Därför går hela uttrycket i vänsterled mot \( \, 0 \).
Man säger: \( \; \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \; {\rm går\;mot} \, 0 \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \, \), kort: \( \;\; \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty \;\; \), bättre uttryckt: \( \, \boxed{ \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, = \, 0} \, \).
Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to - \infty \; \)?
Något liknande visas när \( \, x \, \) går mot negativa värden, dvs när \( x \to \, {\color{Red} {- \infty}} \): \( \,y\, \) mot \( \,0\, \) bara att \( \, y\, \) nu närmar sig \( \, 0 \, \) nedifrån, kort: \( \;\; y \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to {\color{Red} {- \infty}} \; \).
"Paradoxen" att funktionen allt mer närmar sig \( \, 0 \, \) utan att någonsin bli \( \, 0 \), löses upp och kan därmed hanteras analytiskt med hjälp av limes som generellt beskriver fenomenet att närma sig ett värde allt mer utan att nå det någonsin.
Limesbegreppet är centralt inom Analys\(-\) den gren av matematiken som Newton och Leibniz på 1700-talet la grunden till, även kallad Differential- och Integralkalkyl, på engelska Calculus. Det är därför vi numera använder begreppet "analytiskt" istället för "algebraiskt".
I detta kapitel kommer vi att använda limes för att definiera derivatan analytiskt som ett gränsvärde. För att kunna göra det måste vi lära oss att beräkna gränsvärden.
Beräkning av gränsvärden
I princip kan limes av en funktion beräknas genom att sätta in i funktionsuttrycket det värde som \( \,x \, \) ska gå emot. Men ofta ger detta odefinierade uttryck.
Därför måste man först förenkla uttrycket, ev. flera gånger. Sedan sätts in det värde som \( \,x \, \) ska gå emot, i funktionsuttrycket.
Exempel 1
Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \)
Lösning:
För \( \, x = 0 \, \) är uttrycket \( \, \displaystyle{x^2 + 7\,x \over x} \, \) inte definierat därför att nämnaren blir \( \, 0 \).
Därför måste vi förenkla uttrycket.
Vi faktoriserar uttryckets täljare för att kolla om man ev. kan förkorta.
Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut \( x \, \):
- \[ \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \, = \, \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\:(x + 7) \over {\color{Red} x}} \, = \, \lim_{x \to 0}\, (x + 7) \, = \, 0 + 7 \, = \, 7 \]
Exempel 2
Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \)
Lösning:
Vi förenklar uttrycket i limes genom att separera summan i uttrycket:
- \[ {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} \]
\( \displaystyle{5 \over x} \) går mot \( 0 \): \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 \)
Därför kan vi bestämma limes för hela uttrycket:
- \[ \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, 4\,+\,0 \,= \, 4 \;\, \]
Exempel 3
Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \)
Lösning:
Insättningen av \( \, x = 2 \, \) i uttrycket ger det odefinierade uttrycket \( \, \displaystyle{0 \over 0} \).
Vi faktoriserar både täljaren och nämnaren för att kolla om man ev. kan förkorta.
Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:
- \[ x^2\,-\,4 = (x\,+\,2)\cdot(x\,-\,2) \]
- \[ 5\,x - 10 = 5\,(x\,-\,2) \]
Nu kan vi förkorta uttrycket och beräkna limes:
- \[ \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} \, = \, 0,8 \]
Exempel 4
Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \)
Lösning:
Insättningen av \( \, x = 3 \, \) i uttrycket ger det odefinierade uttrycket \( \, \displaystyle{0 \over 0} \).
För att kunna se om man ev. kan förkorta uttrycket faktoriserar vi täljaren:
- \[ x^2 - x - 6 = 0 \, \]
\(p\)-\( q\)-formeln kan användas, men enligt Vieta gäller för lösningarna \( \, x_1\,\) och \( \, x_2 \, \) (går snabbare) :
- \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-1) = 1 \\ x_1 \cdot x_2 & = - 6 \end{align}\]
Två tal vars produkt är \( \, -6 \, \) är t.ex. \( \, 3 \, \) och \( \, -2 \). Men även deras summa är \( \, 1 \). Därför:
- \[ \begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = - 2 \end{align}\]
Täljarens faktorisering blir då:
- \[ x^2 - x - 6 = (x - 3) \cdot (x + 2) \]
Nu kan vi förkorta uttrycket mot nämnaren och beräkna limes:
- \[ \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, 3 + 2 \, = \, 5 \]
Exempel 5
Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \)
Lösning:
För att förenkla uttrycket i limes divideras uttryckets täljare och nämnare med den högsta \( \,x\)-potensen, nämligen med \( \,x^3 \):
- \[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3/x^3\,-\,2/x^3 \over 2\,x^3/x^3\,+\,3\,x/x^3\,-\,4/x^3} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \]
För att förenkla sista uttrycket använder vi:
- \[ \lim_{x \to \infty}\, {\color{Red} {2 \over x^3}} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, {\color{Blue} {3 \over x^2}} \, = \, \lim_{x \to \infty} \, {\color{ForestGreen} {4 \over x^3}} \, = \, 0 \]
Insatt i det sista uttrycket blir det:
- \[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\quad \cdots \quad = \, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \,=\, {1\,-\,{\color{Red} 0} \over 2\,+\,{\color{Blue} 0}\,-\,{\color{ForestGreen} 0}} \,=\, {1 \over 2} \]
Exempel 6
Funktionen \( \; f(x) = x^2 \; \) är given. Bestäm gränsvärdet \( \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \; \).
Lösning:
- \[ f(2+h) \, = \, (2+h)\,^2 \, = \, {\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}} \]
- \[ f(2) \, = \, 2\,^2 \, = \, {\color{Blue} 4} \]
- \[ \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}}\,\,-\,\,{\color{Blue} 4} \over h} = \lim_{h \to 0} {4\,h + h^2 \over h} = \]
- \[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(4 + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (4 + h) = 4 \]
Exempel 7
Funktionen \( \; f(x) = x^2 \; \) är given. Bestäm gränsvärdet \( \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \; \).
Lösning:
Eftersom uttrycket i limes involverar två variabler \( \, x \, \) och \( \, h \, \) kommer limes inte längre vara ett tal utan ett uttryck i \( \, x \).
\( \displaystyle \lim_{\color{Red} {h \to 0}} \, \) innebär att gränsvärdet ska bildas för \( \, {\color{Red} {h \to 0}} \). Därför borde \( \, x\, \) under gränsprocessen anses som en konstant.
- \[ {\color{Red} {f(x+h)}} \, = \, (x+h)^2 \, = \, {\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \]
- \[ {\color{Blue} {f(x)}} \, = \, {\color{Blue} {x\,^2}} \]
- \[ \lim_{h \to 0}\,\,{{\color{Red} {f(x+h)}} - {\color{Blue} {f(x)}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \, - \, {\color{Blue} {x\,^2}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = \]
- \[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) = \boxed{2\,x} \]
Observera att Exempel 6 ovan är ett specialfall av detta exempel för \( x = 2 \, \).
Jämför även med förra avsnittets Exempel 2 Kvadratisk funktion:
\( y \, = \, \boxed{2\,x} \, \) är derivatan av \( \, y \, = \, x^2 \, \), se derivatan som en ny funktion.
Internetlänkar
https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs
https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA
https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0
Copyright © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
