Skillnad mellan versioner av "1.6 Fördjupning till Absolutbelopp"

Falska rötter

Ekvationer med absolutbelopp kan ha falska rötter (som rotekvationer). Här följer ett exempel:

Ekvationens och lösningens grafiska tolkning:

Vi skriver om ekvationen till \( \; | \, x - 3 \, | \, = \, 2\,x \, + \, 1 \; \) och ritar i samma koordinatsystem graferna till de två funktionerna:

\( \qquad\qquad \begin{align} y_1 & = | \, x - 3 \, | \\ \\ y_2 & = 2\,x + 1 \end{align}\)

\( \qquad\qquad \)

Graferna visar att det finns endast en lösning och deras skärningspunkt \( \displaystyle \, x \approx 0,67 \, = \, {2 \over 3} \, \) bekräftar den lösning vi fått för ekvationen \( \; \, | \, x - 3 \, | - 2\,x \, = \, 1 \; \).

Olikheter med absolutbelopp

Lös olikheten \( \; \, | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \, \) och tolka den grafiskt.

Vad blir olikhetens lösningsmängd?

Fall 1 \( \quad x + 2 \geq 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x \geq -2 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x + 2 \, | = x + 2\, \) och olikheten blir:

\[\begin{align} x + 2 & < 4 \\ x & < 4 -2 \\ x & < 2 \\ \end{align}\]

Kombinerad med Fall 1:s förutsättning \( \; x \geq -2 \; \) ger detta:

Svar för fall 1: \( \quad \;\; -2 \leq x < 2\, \)

Fall 2 \( \quad x + 2 < 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x < -2 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x + 2 \, | = -(x + 2) = -x - 2\, \) och olikheten blir:

\[\begin{align} -\,x - 2 & < 4 \\ -\,4 - 2 & < x \\ -\,6 & < x \\ x & > -\,6 \\ \end{align}\]

Kombinerad med Fall 2:s förutsättning \( \; x < -2 \; \) ger detta:

Svar för fall 2: \( \quad \;\; -6 < x < -2\, \)

Om vi nu sammanfogar Svar för fall 1 med Svar för fall 2 får vi:

Svar:

\( -6 < x < 2 \)

Grafisk tolkning:    Vi ritar graferna till olikhetens två funktioner (på varje led) i samma koordinatsystem:

\( \qquad\qquad \begin{align} y & = | \, x + 2 \, | \\ \\ y & = 4 \end{align}\)

\( \qquad\qquad \)

Olikhetens lösning är markerad med rött. Den består av alla \( \, x \, \) för vilka grafen till \( y = | \, x + 2 \, | \)

befinner sig under grafen till \( y = 4\, \) dvs alla \( x \, \) för vilka \( | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \).

Lösningsmängd:

Olikheten \( | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \) har lösningsmängden \( \, -6 < x < 2 \, \) som är ett intervall.

I denna uppgift har vi visat:

\[ | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \quad \Longrightarrow \quad -6 < x < 2 \]

I nästa uppgift visas att även det omvända gäller:

\[ | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \quad \Longleftarrow \quad -6 < x < 2 \]

Dvs vi har ekvivalens mellan olikheten och intervallet:

\[ | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \quad \Longleftrightarrow \quad -6 < x < 2 \]

Intervall med absolutbelopp

Med de beteckningar som infördes i sista uppgiftens lösning kan vi nu generellt formulera ekvivalensen mellan olikhet och intervall:

där \( {\rm M } \) är intervallets mittpunkt och \( {\rm r } \) intervallets halva längd eller "radie".

För att beskriva en (sammanhängande) talmängd på talaxeln kan man antingen använda en olikhet med absolutbelopp eller ett intervall.

Intervall och cirkel

Lämnar man den endimensionella talaxeln och går över till det tvådimensionella punktplanet blir intervallet en cirkel.

Cirkelns inre punkter \( \, x \, \) kan beskrivas med samma olikhet som intervallet:

där \( \, {\rm M } \, \) är cirkelns mittpunkt, \( \, {\rm r } \, \) cirkelns radie och \( \, x \, \) alla punkter som har mindre avstånd från mittpunkten än radien.

Härifrån är det enkelt att ställa upp cirkelns ekvation:

\[ | \, x - {\rm M } \, | \, = \, {\rm r } \]

där \( \, x \, \) är alla punkter som har samma avstånd \( \, {\rm r } \, \) från medelpunkten \( \, {\rm M } \).

På så sätt bibehåller absolutbeloppet sin tolkning som avstånd och kan samtidigt generaliseras till avstånd mellan två punkter.

Mera precis borde man tolka punkterna \( \, x \, \) och \( \, {\rm M } \, \) som vektorer från koordinatsystemets origo till resp. punkt och absolutbeloppet som differensvektorn \( \,( \vec{x} - {\rm \vec{M}})\):s längd \( | \, \vec{x} - {\rm \vec{M}} \, | \). Om vektorer repetera Matte 1, där vi hade betecknat en vektor \( \, \vec{x}\,\):s längd med \( \, | \, \vec{x} \, | \).

På liknande sätt kan man gå över till det tredimensionella rummet och betrakta klotet istället för cirkeln. Analogin fortsätter och den matematiska notationen är den samma, även i högre dimensioner än tre. Då ersätts absolutbeloppet av något som kallas för normen och betecknas med \( \; || \, \quad \, || \; \). Även normen kan fortfarande tolkas som en slags abstrakt "längd" eller "avstånd", beroende på sammanhanget.

Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=cmAoY6RaKGU

http://www.youtube.com/watch?v=Ox55mE8N0qY

http://people.su.se/~matamm/undervisning/pdf/Introduktionskurs/Dag%203.pdf