Skillnad mellan versioner av "Potenser"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 12: | Rad 12: | ||
<big>Potenser är ett repeterande underavsnitt i avsnittet [[1.1 Polynom|<b><span style="color:blue">Polynom</span></b>]]. Övningar till Potenser finns separat i fliken ovan.</big> | <big>Potenser är ett repeterande underavsnitt i avsnittet [[1.1 Polynom|<b><span style="color:blue">Polynom</span></b>]]. Övningar till Potenser finns separat i fliken ovan.</big> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | == <b><span style="color:#931136"> | + | == <b><span style="color:#931136">Repetition om potenser</span></b> == |
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td><div class="border-divblue"> | + | <td>[[Image: Potens Bas Exponent_80.jpg]]</td> |
| + | <td> <div class="border-divblue"> | ||
<big>Exempel på potens: | <big>Exempel på potens: | ||
| − | ::<math> 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} </math> | + | ::<math> 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 8</math> |
<b><span style="color:#931136">Potens</span></b> = upprepad <b><span style="color:red">multiplikation</span></b> | <b><span style="color:#931136">Potens</span></b> = upprepad <b><span style="color:red">multiplikation</span></b> | ||
av <math> \, 2 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger. | av <math> \, 2 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger. | ||
| − | </big></div> | + | </big></div></td> |
| − | + | ||
| − | + | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| Rad 47: | Rad 31: | ||
<big> | <big> | ||
| − | + | <b><span style="color:red">OBS!</span></b> Förväxla inte begreppen<span style="color:black">:</span> <math> \, 2\,^3 \, </math> är själva potensen, medan <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är <b><span style="color:red">exponenten</span></b> och <math> \, {\color{green} 2}\, </math> förstås <b><span style="color:green">basen</span></b>. | |
| − | Exponenten <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att | + | Exponenten <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att<span style="color:black">:</span> |
| − | + | <math> \, 2 \, </math> ska multipliceras <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger med sig själv, en förkortning för upprepad multiplikation (jfr. [http://mathonline.se:1800/index.php?title=1.2_R%C3%A4kneordning#Varf.C3.B6r_g.C3.A5r_multiplikation_f.C3.B6re_addition.3F <b><span style="color:blue">upprepad addition</span></b>]). | |
</big> | </big> | ||
| Rad 150: | Rad 134: | ||
| − | == <b><span style="color:#931136">Potenser med negativa exponenter</span></b> == | + | == <b><span style="color:#931136">Potenser med negativa exponenter: Hur räknar du?</span></b> == |
| − | <div class=" | + | <div class="exempel"> |
| − | < | + | [[Image: Hur raknar du negativa exponenter 20.jpg]] |
| + | </div> <!-- exempel --> | ||
| + | <big> | ||
| + | Felet beror på att två olika räkneoperationer blandas ihop: multiplikation med "upphöjt till" eller att man inte vet vad minustecknet i exponenten betyder. | ||
| + | |||
| + | <math> \, 2\,^{\color{Red} {-3}} \, </math> betyder inte <math> \, 2 \cdot (-3) \, </math> och inte heller <math> \, {\color{Red} -} 2\,^{\color{Red} 3} \, </math> utan: | ||
| + | </big> | ||
| + | |||
| + | <div class="border-divblue"> | ||
| + | <big> | ||
::<math> \;\; \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; 1\,/\,\underbrace{2 \, / \, 2 \, / \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \; = \; \frac{1}{\underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times}} \; = \; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad </math> | ::<math> \;\; \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; 1\,/\,\underbrace{2 \, / \, 2 \, / \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \; = \; \frac{1}{\underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times}} \; = \; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad </math> | ||
| Rad 187: | Rad 180: | ||
Uppfattar man <big><math> \, a \, </math></big> som ett bråk med nämnaren <big><math> \, 1 \, </math></big> dvs <math> \, \displaystyle \frac{a}{1} </math>, kan man ersätta divisionerna med multiplikationer med det inversa <math> \, \displaystyle \frac{1}{a} </math>. | Uppfattar man <big><math> \, a \, </math></big> som ett bråk med nämnaren <big><math> \, 1 \, </math></big> dvs <math> \, \displaystyle \frac{a}{1} </math>, kan man ersätta divisionerna med multiplikationer med det inversa <math> \, \displaystyle \frac{1}{a} </math>. | ||
| − | I [ | + | I [http://mathonline.se:1800/index.php?title=1.5_Br%C3%A5kr%C3%A4kning#Multiplikation_och_division <b><span style="color:blue">Bråkräkning</span></b>] hade vi lärt oss att division med ett bråk kan skrivas som en multiplikation med det inversa bråket. |
| Rad 238: | Rad 231: | ||
Exemplet nedan illustrerar lagen ovan genom att visa att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter och <b><span style="color:red">nollte potensen</span></b> däremellan (Potens <math> \; = \; </math> upprepad multiplikation): | Exemplet nedan illustrerar lagen ovan genom att visa att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter och <b><span style="color:red">nollte potensen</span></b> däremellan (Potens <math> \; = \; </math> upprepad multiplikation): | ||
</big> | </big> | ||
| + | |||
== <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 \; </math>?</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 \; </math>?</span></b> == | ||
| Rad 266: | Rad 260: | ||
| − | + | == <b><span style="color:#931136">Potenser med rationella exponenter</span></b> == | |
| − | + | <div class="tolv"> <!-- tolv6 --> | |
| − | + | Potenser med exponenter som är [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<b><span style="color:red">rationella tal</span></b>]] (bråktal) är ett annat sätt att skriva rötter. | |
| − | + | Därför kan de användas för att beräkna både kvadratrötter och högre rötter. | |
| − | + | Följande samband råder mellan potenser med rationella exponenter och rötter: | |
| − | : | + | |
| − | : | + | '''Påstående''': |
| − | : | + | <div class="border-divblue"> |
| + | ===== <b><span style="color:#931136">Lagen om kvadratroten</span></b> <math> \quad a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} </math> ===== | ||
| + | </div> <!-- border-divblue --> | ||
| − | : | + | '''Bevis''': |
| − | + | Vi multiplicerar <math> a </math><big><math>^{1 \over 2} </math></big> två gånger med sig själv och använder första potenslagen: | |
| − | ::<math> \ | + | :::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big> |
| − | + | Å andra sidan är definitionen för kvadratroten ur <math> \, a </math><span style="color:black">:</span> | |
| − | + | <big><math> \qquad\quad \displaystyle \sqrt{a} \; = \; </math></big> Tal som 2 gånger multiplicerat med sig själv ger <math> \, a </math>. | |
| − | + | Av raderna ovan följer<span style="color:black">:</span> | |
| − | + | :::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} </math></big> | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
I följande ska alltid gälla<span style="color:black">:</span> <math> \quad m, n \, </math> heltal och <math> \, n \, \neq 0 \quad </math>. | I följande ska alltid gälla<span style="color:black">:</span> <math> \quad m, n \, </math> heltal och <math> \, n \, \neq 0 \quad </math>. | ||
| Rad 319: | Rad 299: | ||
'''Bevisidé''': | '''Bevisidé''': | ||
| − | Vi | + | Vi visar påståendet för specialfallet <math> \, n=3 </math>: |
| + | |||
| + | Vi multiplicerar <math> a </math><big><math>^{1 \over 3} </math></big> tre gånger med sig själv och använder första potenslagen: | ||
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big> | :::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big> | ||
| − | + | Å andra sidan är definitionen för 3:e roten ur <math> \, a </math><span style="color:black">:</span> | |
| − | <big><math> \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; </math></big> Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger <math> a </math>. | + | <big><math> \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; </math></big> Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger <math> \, a </math>. |
| − | + | Av raderna ovan följer<span style="color:black">:</span> | |
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math></big> | :::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math></big> | ||
| Rad 347: | Rad 329: | ||
Anta i fortsättningen att <math> \, x \, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> . | Anta i fortsättningen att <math> \, x \, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> . | ||
| − | ::Funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> kallas < | + | ::Funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> kallas för <b><span style="color:red">potensfunktioner</span></b>, generellt <math> \; y = c \cdot x^b\, </math>. |
| − | ::Ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> kallas < | + | ::Ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> kallas för <b><span style="color:red">potensekvationer</span></b>, generellt <math> \; x^b\, = c </math>. |
| − | I potensfunktioner och -ekvationer förekommer <math> \, x \, </math> i basen. Potensekvationer löses genom < | + | I potensfunktioner och -ekvationer förekommer <math> \, x \, </math> i <b><span style="color:red">basen</span></b>. |
| + | |||
| + | <div class="border-divblue">Potensekvationer löses genom <b><span style="color:red">rotdragning</span></b>.</div> | ||
| + | |||
| + | Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter. | ||
| + | |||
| + | För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning: | ||
:::<math>\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ | :::<math>\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ | ||
| Rad 358: | Rad 346: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | Alternativt | + | Alternativt med potens med rationell exponent: |
:::<math>\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\ | :::<math>\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\ | ||
| − | (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} | + | (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \qquad & | \; \text{3:e potenslagen på VL} \\ |
x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ | x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ | ||
x & = 2 \\ | x & = 2 \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | + | De alternativa lösningarna av ekvationen ovan är ett exempel på att rötter alltid kan skrivas som [[Potenser#Potenser_med_rationella_exponenter|<b><span style="color:blue">potenser med rationella exponenter</span></b>]]. | |
</div> <!-- tolv7 --> | </div> <!-- tolv7 --> | ||
| + | |||
| + | == <b><span style="color:#931136">Blandade exempel</span></b> == | ||
| + | [[Image: Potens_Ex_1.jpg]] | ||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | |||
| + | [[Image: Potens_Ex_2.jpg]] | ||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | |||
| + | [[Image: Potens_Ex_3.jpg]] | ||
| Rad 389: | Rad 388: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010- | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved. |
Versionen från 17 april 2017 kl. 16.32
| << Tillbaka till Polynom | Genomgång | Övningar |
Potenser är ett repeterande underavsnitt i avsnittet Polynom. Övningar till Potenser finns separat i fliken ovan.
Repetition om potenser
 |
Exempel på potens:
Potens = upprepad multiplikation av \( \, 2 \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger. |
OBS! Förväxla inte begreppen: \( \, 2\,^3 \, \) är själva potensen, medan \( \, {\color{Red} 3} \, \) är exponenten och \( \, {\color{green} 2}\, \) förstås basen.
Exponenten \( \, {\color{Red} 3} \, \) är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att:
\( \, 2 \, \) ska multipliceras \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger med sig själv, en förkortning för upprepad multiplikation (jfr. upprepad addition).
Exempel
Förenkla: \( \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \)
Lösning: \( \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)
- OBS! Förenkla alltid först, räkna sedan!
Snabbare: \( \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)
För att förstå den snabbare lösningen måste man känna till:
Potenslagarna
Följande lagar gäller för potenser där basernna \( \, a,\,b \, \) är tal \( \, \neq 0 \, \) och exponenterna \( \, x,\,y \, \) är godtyckliga tal:
Första potenslagen: \( \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad \)
Andra potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad \)
Tredje potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad \)
Lagen om nollte potens: \( \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad \)
Lagen om negativ exponent: \( \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad \)
Potens av en produkt: \( \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad \)
Potens av en kvot: \( \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad \)
Potenser med positiva exponenter
Potensen \( \, a\,^{\color{Red} x} \, \) med positiv exponent (\( x \, \) heltal \( > 0 \, \) och \( \, a \, \neq 0 \)) kan definieras som:
- Upprepad multiplikation av \( \, a \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} x} \, \) gånger:
- \( \quad a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \)
Exempel på första potenslagen
Förenkla: \( \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 \)
Lösning:
- \( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}\)
Snabbare:
- \( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; a\,^{2\,+\,3} = \; a\,^{\color{Red} 5} \)
Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen.
Exempel på andra potenslagen
- \( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 \)
Snabbare:
- \( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 \)
Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva exponenter. Men den definitionen duger inte för negativa exponenter.
Antalet multiplikationer av basen med sig själv kan inte vara negativt. Det behövs en ny definition.
Potenser med negativa exponenter: Hur räknar du?
Felet beror på att två olika räkneoperationer blandas ihop: multiplikation med "upphöjt till" eller att man inte vet vad minustecknet i exponenten betyder.
\( \, 2\,^{\color{Red} {-3}} \, \) betyder inte \( \, 2 \cdot (-3) \, \) och inte heller \( \, {\color{Red} -} 2\,^{\color{Red} 3} \, \) utan:
- \[ \;\; \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; 1\,/\,\underbrace{2 \, / \, 2 \, / \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \; = \; \frac{1}{\underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times}} \; = \; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad \]
Potens med negativ exponent = upprepad division av \( \, 1 \, \) med basen \( \, 2 \), \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger.
Eller: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\; \) upprepad multiplikation med basens invers \( \displaystyle \frac{1}{2} \), \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger.
Negativ exponent innebär att invertera potensen med positiv exponent.
Andra exempel: \( \qquad\qquad\qquad \) Att "invertera" t.ex. \( \, 10 \, \) ger \( \, \displaystyle {1 \over 10} \)
- \[ \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} \]
- \[ \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} \]
- \[ \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} \]
Generellt:
Potensen \( \, a\,^{\color{Red} {-x}} \, \) med negativ exponent (\( x \, \) heltal \( > 0 \, \) och \( \, a \, \neq 0 \)) kan definieras som:
- Upprepad division av \( \, 1 \, \) med basen \( \, a \, \) (eller multiplikation med \( \, \displaystyle \frac{1}{a} \, \)), \( \, {\color{Red} x} \, \) gånger:
- \( \displaystyle a\,^{\color{Red} {-x}} \; = \; 1 \, / \, \underbrace{a \, / \, a \, / \, a \, / \quad \ \cdots \quad / a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \quad {\color{Red} =} \quad 1 \cdot \underbrace{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdot \quad \cdot \cdots \quad \cdot \frac{1}{a}}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \; = \; {1 \over a^x}\)
Övergången från division till multiplikation (den röda likheten) kan motiveras så här:
Uppfattar man \( \, a \, \) som ett bråk med nämnaren \( \, 1 \, \) dvs \( \, \displaystyle \frac{a}{1} \), kan man ersätta divisionerna med multiplikationer med det inversa \( \, \displaystyle \frac{1}{a} \).
I Bråkräkning hade vi lärt oss att division med ett bråk kan skrivas som en multiplikation med det inversa bråket.
I de följande två påståendena ska gälla: \( \quad x \, \) heltal \( > 0 \, \) och \( \, a \, \neq 0 \quad \).
Påstående:
Lagen om negativ exponent \( \quad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \)
Bevis:
- \( \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} \)
In den första likheten har vi använt lagen om nollte potens baklänges: \( \; 1 = a^0 \; \).
In den andra likheten har vi använt andra potenslagen: \( \; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \; \).
Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges.
Påstående:
Lagen om nollte potens \( \quad a^0 \; = \; 1 \; \)
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:
- \( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 \)
Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet \( \, 1 \):
- \( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 \)
Av raderna ovan följer påståendet:
- \( a^0 \; = \; 1 \)
Exemplet nedan illustrerar lagen ovan genom att visa att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter och nollte potensen däremellan (Potens \( \; = \; \) upprepad multiplikation):
Varför är \( \; 5\,^0 \, = \, 1 \; \)?
- \[ \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
- \[ \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
- \[ \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \]
- \[ \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \]
- \[ \; \boxed{{\color{Red} {5^0 \; = \; 1}}} \]
- \[ \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} \]
- \[ \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} \]
- \[ \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} \]
- \[ \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } \]
Att \( \; {\color{Red} 1} \)-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens enhet är \( \, {\color{Red} 1} \), dvs \( \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a \).
Därför blir endast \( \, {\color{Red} 1} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5^0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.
Potenser med rationella exponenter
Potenser med exponenter som är rationella tal (bråktal) är ett annat sätt att skriva rötter.
Därför kan de användas för att beräkna både kvadratrötter och högre rötter.
Följande samband råder mellan potenser med rationella exponenter och rötter:
Påstående:
Lagen om kvadratroten \( \quad a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} \)
Bevis:
Vi multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 2} \) två gånger med sig själv och använder första potenslagen:
- \( \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a \)
Å andra sidan är definitionen för kvadratroten ur \( \, a \):
\( \qquad\quad \displaystyle \sqrt{a} \; = \; \) Tal som 2 gånger multiplicerat med sig själv ger \( \, a \).
Av raderna ovan följer:
- \( \displaystyle a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} \)
I följande ska alltid gälla: \( \quad m, n \, \) heltal och \( \, n \, \neq 0 \quad \).
Påstående:
Lagen om högre rötter \( \quad a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \)
Bevisidé:
Vi visar påståendet för specialfallet \( \, n=3 \):
Vi multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder första potenslagen:
- \( \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \)
Å andra sidan är definitionen för 3:e roten ur \( \, a \):
\( \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; \) Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger \( \, a \).
Av raderna ovan följer:
- \( \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \)
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet:
Lagen om rationell exponent \( \quad \displaystyle a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \)
Tabellen över Potenslagarna borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.
Potensekvationer
Anta i fortsättningen att \( \, x \, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .
- Funktioner av typ \( y = x^3\, \) kallas för potensfunktioner, generellt \( \; y = c \cdot x^b\, \).
- Ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) kallas för potensekvationer, generellt \( \; x^b\, = c \).
I potensfunktioner och -ekvationer förekommer \( \, x \, \) i basen.
Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.
För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
- \[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]
Alternativt med potens med rationell exponent:
- \[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \qquad & | \; \text{3:e potenslagen på VL} \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]
De alternativa lösningarna av ekvationen ovan är ett exempel på att rötter alltid kan skrivas som potenser med rationella exponenter.
Blandade exempel
Internetlänkar
http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar
Copyright © 2010-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
