Skillnad mellan versioner av "Potenser"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
Rad 12: Rad 12:
 
<big>Potenser är ett repeterande underavsnitt i avsnittet [[1.1 Polynom|<b><span style="color:blue">Polynom</span></b>]]. Övningar till Potenser finns separat i fliken ovan.</big>
 
<big>Potenser är ett repeterande underavsnitt i avsnittet [[1.1 Polynom|<b><span style="color:blue">Polynom</span></b>]]. Övningar till Potenser finns separat i fliken ovan.</big>
  
−
== <b><span style="color:#931136">Vad är en potens?</span></b> ==
+
== <b><span style="color:#931136">Hur räknar du?</span></b> ==
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
 
[[Image: Hur raknar du Potenser 20.jpg]]
 
[[Image: Hur raknar du Potenser 20.jpg]]
 +
<big>
 
:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2\,^3 \; = \; 6 </math>
 
:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2\,^3 \; = \; 6 </math>
  
 
:<math> \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 2\,^3 \; = \; 2 \cdot 2 \cdot 2 \; = \; 4 \cdot 2 \; = \; 8 </math>
 
:<math> \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 2\,^3 \; = \; 2 \cdot 2 \cdot 2 \; = \; 4 \cdot 2 \; = \; 8 </math>
−
</div>  <!-- exempel -->
+
</big></div>  <!-- exempel -->
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
 
−
Felet beror på att man blandar ihop två olika räkneoperationer: multiplikationen med <strong><span style="color:red">upphöjt till</span></strong>.
 
  
−
Hjärnan associerar <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 3 \, </math> blind till multiplikationstabellen vilket ger <math> \, 6 \, </math>.
+
<big>
 +
Felet beror på att man blandar ihop två olika räkneoperationer: multiplikationen med <b><span style="color:red">upphöjt till</span></b>.
  
−
I själva verket betyder <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} \, </math> inte <math> \, 2 \cdot 3 \, </math> utan <math> \, \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, </math> och är en:
+
I själva verket betyder <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} \, </math> inte <math> \, 2 \cdot 3 \, </math> utan <math> \, \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, </math> som sedan förkortas till <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} </math>.
−
</div> <!-- tolv1 -->
+
</big>
  
 +
== <b><span style="color:#931136">Vad är en potens?</span></b> ==
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
Rad 35: Rad 36:
 
::<math> 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} </math>  
 
::<math> 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} </math>  
  
−
<b><span style="color:#931136">Potens</span></b> = upprepad multiplikation
+
<b><span style="color:#931136">Potens</span></b> = upprepad <b><span style="color:red">multiplikation</span></b>
  
 
av <math> \, 2 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.  
 
av <math> \, 2 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.  
Rad 45: Rad 46:
  
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
+
<big>
−
<math> \, 2\,^3 \, </math> läses <math> \, {\color{Red} 2} </math> <strong><span style="color:red">upphöjt till</span></strong><math> \, {\color{Red} 3} \, </math> och kallas för &nbsp;<strong><span style="color:red">potens</span></strong>. <math> \, 2\, </math> heter <strong><span style="color:red">basen</span></strong> och <math> \, 3 \, </math> <strong><span style="color:red">exponenten</span></strong>.
+
<math> \, 2\,^3 \, </math> läses <math> \, {\color{Red} 2} </math> <b><span style="color:red">upphöjt till</span></b><math> \, {\color{Red} 3} \, </math> och kallas för &nbsp;<b><span style="color:red">potens</span></b>. <math> \, 2\, </math> heter <b><span style="color:red">basen</span></b> och <math> \, 3 \, </math> <b><span style="color:red">exponenten</span></b>.
  
−
Exponenten <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal i vanlig bemärkelse utan endast en information om att <math> \, 2 \, </math> ska multipliceras <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger med sig själv (jfr. [[1.2_Räkneordning#Varf.C3.B6r_g.C3.A5r_multiplikation_f.C3.B6re_addition.3F|<strong><span style="color:blue">upprepad addition</span></strong>]]).
+
Exponenten <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att <math> \, 2 \, </math> ska multipliceras <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger med sig själv (jfr. [[1.2_Räkneordning#Varf.C3.B6r_g.C3.A5r_multiplikation_f.C3.B6re_addition.3F|<b><span style="color:blue">upprepad addition</span></b>]]).
−
</div> <!-- tolv2 -->
+
 
 +
Därför det är fel att multiplicera <math> \, 2 \, </math> med <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> när man ska beräkna <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} </math>.
 +
</big>
  
  
 
<div class="exempel"> <!-- exempel1 -->
 
<div class="exempel"> <!-- exempel1 -->
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ==
+
=== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ===
 
<big>
 
<big>
 
Förenkla<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} </math>
 
Förenkla<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} </math>
  
  
−
<strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong> <math> \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math>
+
<b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> <math> \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math>
  
 
:::::::::::::::::OBS! &nbsp; Förenkla alltid först, räkna sedan!
 
:::::::::::::::::OBS! &nbsp; Förenkla alltid först, räkna sedan!
Rad 67: Rad 70:
  
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
+
<big>
−
För att förstå den snabbare lösningen se [[Potenser#Potenslagarna|<strong><span style="color:blue">potenslagarna</span></strong>]].
+
För att förstå den snabbare lösningen måste man känna till:
−
</div> <!-- tolv2 -->
+
</big>
  
 +
== <b><span style="color:#931136">Potenslagarna</span></b> ==
  
−
== <b><span style="color:#931136">Potens med positiva heltalsexponenter</span></b> ==
+
<big>
−
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
+
Följande lagar gäller för potenser där basernna <math> \, a,\,b \, </math> är tal <math> \, \neq 0 \, </math> och exponenterna <math> \, x,\,y \, </math> är godtyckliga tal:
 +
</big>
  
−
Potensen <big><math> \, a\,^{\color{Red} x} \, </math></big> kan, om exponenten <math> \, {\color{Red} x} \, </math> är ett positivt heltal och basen <big><math> \, a \, </math></big> ett tal <math> \neq 0 </math>, definieras som
 
  
−
::::::<b>Upprepad multiplikation av <big><math> \, a \, </math></big> med sig själv, <math> \, {\color{Red} x} \, </math> gånger:</b>
+
<div class="border-divblue">
 +
<b><span style="color:#931136">Första potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad </math></big>
 +
----
 +
<b><span style="color:#931136">Andra potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad </math></big>
 +
----
 +
<b><span style="color:#931136">Tredje potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad </math></big>
 +
----
 +
<b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad </math></big>
 +
----
 +
<b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent:</span></b> <big><math> \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad </math></big>
 +
----
 +
<b><span style="color:#931136">Potens av en produkt:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad </math></big>
 +
----
 +
<b><span style="color:#931136">Potens av en kvot:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad </math></big>
 +
</div> <!-- border-divblue -->
  
−
::::::::<big><math> a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} </math></big>
+
 
−
</div> <!-- tolv1 -->
+
== <b><span style="color:#931136">Potenser med positiva exponenter</span></b> ==
 +
 
 +
<big>
 +
Potensen <big><math> \, a\,^{\color{Red} x} \, </math></big> med <b><span style="color:red">positiv</span></b> exponent (<math> x \, </math> heltal <math> > 0 \, </math> och <math> \, a \, \neq 0 </math>) kan definieras som<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
:::<b>Upprepad multiplikation av <big><math> \, a \, </math></big> med sig själv, <math> \, {\color{Red} x} \, </math> gånger:</b>
 +
 
 +
:::::<big><math> \quad a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} </math></big>
 +
</big>
  
 
<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
 
<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
+
=== <b><span style="color:#931136">Exempel på första potenslagen</span></b> ===
 
<big>
 
<big>
 
Förenkla<span style="color:black">:</span> <big><math> \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 </math></big>
 
Förenkla<span style="color:black">:</span> <big><math> \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 </math></big>
  
  
−
<strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong>  
+
<b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b>  
  
 
::::<big><math> a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}</math></big>
 
::::<big><math> a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}</math></big>
Rad 99: Rad 125:
  
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
+
<big>
−
Den snabbare lösningen är ett exempel på den första potenslagen:
+
Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen.
−
</div> <!-- tolv2 -->
+
</big>
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Potenslagarna</span></b> ==
+
<div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
−
<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
+
=== <b><span style="color:#931136">Exempel på andra potenslagen</span></b> ===
 +
<big>
  
−
Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> godtyckliga tal och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>):
+
::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 </math></big>
−
</div> <!-- tolv3 -->
+
  
 +
Snabbare:
  
−
<div class="border-divblue"><big>
+
::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 </math></big>
−
<b><span style="color:#931136">Första potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad </math></big>
+
</big>
−
----
+
</div> <!-- exempel3 -->
−
<b><span style="color:#931136">Andra potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\quad \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad </math></big>
+
−
----
+
−
<b><span style="color:#931136">Tredje potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad </math></big>
+
−
----
+
−
<b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\! a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad </math></big>
+
−
----
+
−
<b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent:</span></b> <big><math> \qquad\qquad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad </math></big>
+
−
----
+
−
<b><span style="color:#931136">Lagen om rationell exponent:</span></b> <big><math> \qquad\qquad a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \qquad\qquad </math></big>
+
  
−
<b><span style="color:#931136">Specialfall <small><math>m=1</math></small> (högre rötter):</span></b> <big><math> \qquad\quad\;\, a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \qquad\qquad </math></big>
 
−
----
 
−
<b><span style="color:#931136">Potens av en produkt:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\;\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad </math></big>
 
−
----
 
−
<b><span style="color:#931136">Potens av en kvot:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad </math></big>
 
−
</big></div> <!-- border-divblue -->
 
  
 +
<big>
 +
Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva exponenter. Men den definitionen duger inte för negativa exponenter.
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv3a -->
+
Antalet multiplikationer av basen med sig själv kan inte vara negativt. Det behövs en ny definition.
−
För enkelhets skull definierades potensbegreppet inledningsvis endast för positiva heltalsexponenter <math> \, x \, </math> och <math> \, y </math>. Men potenslagarna gäller även för negativa och [[Potenser#Potenser_med_rationella_exponenter|<strong><span style="color:blue">rationella exponenter</span></strong>]]. I formuleringen "negativ exponent" antas <math> \, x > 0 </math>.
+
</big>
−
</div> <!-- tolv3a -->
+
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Bevis(idéer) och exempel för några potenslagar</span></b> ==
+
== <b><span style="color:#931136">Potenser med negativa exponenter</span></b> ==
−
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
+
<div class="border-divblue">
 +
<big>Exempel på potens med negativ exponent<span style="color:black">:</span>
  
−
'''Påstående (Första potenslagen)''':
+
::<math> \;\; \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; 1\,/\,\underbrace{2 \, / \, 2 \, / \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \; = \; \frac{1}{\underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times}} \; = \; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad </math>
  
−
::::<big><math> a\,^x \cdot a\,^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} </math></big>
+
<b><span style="color:#931136">Potens med negativ exponent</span></b> = upprepad <b><span style="color:red">division</span></b> av <math> \, 1 \, </math> med basen <math> \, 2 </math>, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.
  
−
'''Bevisidé''':
+
Eller<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\; </math> upprepad multiplikation med basens <b><span style="color:red">invers</span></b> <math> \displaystyle \frac{1}{2} </math>, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.
  
−
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
+
<b><span style="color:#931136">Negativ exponent</span></b> innebär att <b><span style="color:red">invertera</span></b> potensen med positiv exponent.
 +
</big></div>
  
−
::::<big><math> a\,^{\color{Red} x} \cdot a\,^{\color{Red} y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} x}\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} y}\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} {x\,+\,y}}\;\times} \; = \; a\,^{{\color{Red} {x\,+\,y}}} </math></big>
 
  
−
----
+
<div class="ovnE">
 +
<big>Andra exempel<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad </math> Att <b><span style="color:red">"invertera"</span></b> t.ex. <math> \, 10 \, </math> ger <math> \, \displaystyle {1 \over 10} </math></big>
 +
::<math> \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} </math>
  
 +
::<math> \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} </math>
  
−
'''Påstående (Andra potenslagen)''':
+
::<math> \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} </math>
 +
</div>
  
−
::::<big><math> \displaystyle {a\,^x \over a\,^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} </math></big>
 
−
</div> <!-- tolv1 -->
 
  
 +
<big>Generellt:
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
 
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ==
 
−
<big>
 
  
−
::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 </math></big>
+
Potensen <big><math> \, a\,^{\color{Red} {-x}} \, </math></big> med <b><span style="color:red">negativ</span></b> exponent (<math> x \, </math> heltal <math> > 0 \, </math> och <math> \, a \, \neq 0 </math>) kan definieras som<span style="color:black">:</span>
  
−
Snabbare med andra potenslagen:
+
:::<b>Upprepad <span style="color:red">division</span> av <math> \, 1 \, </math> med basen <big><math> \, a \, </math></big> (eller multiplikation med <math> \, \displaystyle \frac{1}{a} \, </math>), <math> \, {\color{Red} x} \, </math> gånger:</b>
  
−
::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 </math></big>
+
:<big><math> \displaystyle a\,^{\color{Red} {-x}} \; = \; 1 \, / \, \underbrace{a \, / \, a \, / \, a \, / \quad \ \cdots \quad / a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \quad {\color{Red} =} \quad 1 \cdot \underbrace{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdot \quad \cdot \cdots \quad \cdot \frac{1}{a}}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \; = \; {1 \over a^x}</math></big>
 +
 
 +
Övergången från division till multiplikation (den <span style="color:red">röda</span> likheten) kan motiveras så här:
 +
 
 +
Uppfattar man <big><math> \, a \, </math></big> som ett bråk med nämnaren <big><math> \, 1 \, </math></big> dvs <math> \, \displaystyle \frac{a}{1} </math>, kan man ersätta divisionerna med multiplikationer med det inversa <math> \, \displaystyle \frac{1}{a} </math>.
 +
 
 +
I [[1.5_Bråkräkning#Multiplikation_och_division|<b><span style="color:blue">Bråkräkning</span></b>]] hade vi lärt oss att division med ett bråk kan skrivas som en multiplikation med det inversa bråket.
 
</big>
 
</big>
−
</div> <!-- exempel3 -->
 
  
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
+
== <b><span style="color:#931136">Bevis av två potenslagar</span></b> ==
−
'''Påstående (Lagen om nollte potens)''':
+
  
−
::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
+
<div class="ovnC">
 +
'''Påstående''':
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
<b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent</span></b> <math> \quad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \; </math>
 +
</div> <!-- border-divblue -->
 +
 
 +
'''Bevis''':
 +
 
 +
::::<big><math> \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} </math></big>
 +
 
 +
In den första likheten har vi använt lagen om nollte potens baklänges<span style="color:black">:</span> <math> \; 1 = a^0 \; </math>.
 +
 
 +
In den andra likheten har vi använt andra potenslagen<span style="color:black">:</span> <math> \; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \; </math>.
 +
 
 +
Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Potenser med <math> \, 0 \, </math> i exponenten</span></b> ==
 +
 
 +
<div class="ovnC">
 +
'''Påstående''':
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
<b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens</span></b> <math> \quad a^0 \; = \; 1 \; </math>
 +
</div> <!-- border-divblue -->
  
 
'''Bevis''':
 
'''Bevis''':
Rad 190: Rad 234:
  
 
::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
 
::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
−
</div> <!-- tolv4 -->
+
</div>
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Potenser med negativa exponenter</span></b> ==
+
<big>
−
<div class="tolv"> <!-- tolv4a -->
+
Exemplet nedan illustrerar lagen ovan genom att visa att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter och <b><span style="color:red">nollte potensen</span></b> däremellan (Potens <math> \; = \; </math> upprepad multiplikation):
 +
</big>
  
−
'''Påstående (Lagen om negativ exponent, <math> \, x > 0 </math>)''':
+
== <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 \; </math>?</span></b> ==
  
−
::::<big><math> a^{-x} = \displaystyle{1 \over a^x} </math></big>
+
<div class="ovnE">
 +
::<math> \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
  
−
'''Bevis''':
+
::<math> \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
  
−
Påståendet kan bevisas genom att använda den ovan bevisade lagen om nollte potensen (baklänges) samt andra potenslagen:
+
::<math> \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 </math>
  
−
::::<big><math> \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} </math></big>
+
::<math> \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 </math>
  
−
Vi får påståendet, fast baklänges.
+
::<math> \; \boxed{{\color{Red} {5^0 \; = \; 1}}} </math>
−
</div> <!-- tolv4a -->
+
  
 +
::<math> \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} </math>
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
+
::<math> \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} </math>
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel på potenser med negativa exponenter</span></b> ==
+
−
<big>
+
  
−
::::<big><math> \displaystyle{a^{-1} \, = \, {1 \over a^1} \, = \, {1 \over a}} </math></big>
+
::<math> \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} </math>
  
 +
::<math> \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } </math>
  
−
::::<big><math> \displaystyle{a^{-2} \, = \, {1 \over a^2} \, = \, {1 \over a \cdot a}} </math></big>
+
Att <math> \; {\color{Red} 1} </math>-orna följer med hela tiden beror på att <b><span style="color:red">multiplikationens enhet</span></b> är <math> \, {\color{Red} 1} </math>, dvs <math> \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a </math>.
  
 +
Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 1} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5^0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
 +
</div>
  
−
::::<big><math> \displaystyle{a^{-3} \, = \, {1 \over a^3} \, = \, {1 \over a \cdot a \cdot a}} </math></big>
+
 
 +
<big>
 +
Jämför med produkter med negativa faktorer som är en naturlig fortsättning på produkter med positiva faktorer och <b><span style="color:red">nollprodukten</span></b> däremellan (Produkt <math> \; = \; </math> upprepad addition<span style="color:black">:</span> <math> \, {\color{Red} 0} \, </math> tar över rollen av <math> \, {\color{Red} 1} </math>):
 
</big>
 
</big>
−
</div> <!-- exempel4 -->
 
  
 +
== <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; </math>?</span></b> ==
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
+
<div class="ovnC">
−
Att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter med nollte potensen däremellan illustrerar följande exempel:
+
::<math> \;\; 5 \cdot 4 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 + 5 </math>
−
</div> <!-- tolv5 -->
+
  
 +
::<math> \;\; 5 \cdot 3 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 </math>
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
+
::<math> \;\; 5 \cdot 2 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 </math>
−
== <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 \; </math>?</span></b> ==
+
−
<big>
+
  
−
::::<math> \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
+
::<math> \;\; 5 \cdot 1 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 </math>
  
−
::::<math> \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
+
::<math> \; \boxed{{\color{Red} {5 \cdot 0 \; = \; 0}}} </math>
  
−
::::<math> \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 </math>
+
::<math> \;\; 5 \cdot (-1) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 </math>
  
−
::::<math> \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 </math>
+
::<math> \;\; 5 \cdot (-2) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 </math>
  
−
::::<math> \;\; {\color{Red} {5^0 \; = \; 1}} </math>
+
::<math> \;\; 5 \cdot (-3) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 </math>
  
−
::::<math> \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} </math>
+
::<math> \;\; 5 \cdot (-4) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 - 5 </math>
  
−
::::<math> \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} </math>
+
Att <math> \; {\color{Red} 0} </math>-orna följer med hela tiden beror på att <b><span style="color:red">additionens enhet</span></b> är <math> \, {\color{Red} 0} </math>, dvs <math> \, a + {\color{Red} 0} \, = \, a </math>.
  
−
::::<math> \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} </math>
+
Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 0} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5 \cdot 0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
 +
</div>
  
−
::::<math> \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } </math>
 
  
−
Att <math> \; {\color{Red} 1} </math>-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens ''enhet'' är <math> \, {\color{Red} 1} </math>, dvs <math> \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a </math>. Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 1} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5^0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
+
== <b><span style="color:#931136">Potenser med rationella exponenter</span></b> ==
−
</big>
+
<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
−
</div> <!-- exempel4 -->
+
Potenser med exponenter som är [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|rationella tal]] (bråktal) kan användas för att beräkna (högre) rötter.
  
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
+
'''Påstående (högre rötter)''':
−
Jämför med:
+
−
</div> <!-- tolv5 -->
+
  
 +
:::<big><math> a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \; </math></big> <math> , \qquad n\neq 0 </math>
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel5 -->
+
'''Bevisidé''':
−
== <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; </math>?</span></b> ==
+
−
<big>
+
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot 4 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 + 5 </math>
+
Vi tar specialfallet <math> n=3 </math>, multiplicerar <math> a </math><big><math>^{1 \over 3} </math></big> tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot 3 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 </math>
+
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot 2 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 </math>
+
Definitionen för 3:e roten ur <math> a </math> är<span style="color:black">:</span>
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot 1 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 </math>
+
<big><math> \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; </math></big> Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger <math> a </math>.
  
−
::::<math> \;\; {\color{Red} {5 \cdot 0 \; = \; 0}} </math>
+
Men enligt ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger <math> a </math>, just <math> a </math> <big><math>^{1 \over 3} </math></big>. Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur <math> a </math>:
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot (-1) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 </math>
+
:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math></big>
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot (-2) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 </math>
+
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal <math> m\, </math> och <math> n\neq 0 \, </math> '''(Lagen om rationell exponent)''':
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot (-3) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 </math>
+
:::<big><math> a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} </math></big>
 +
</div> <!-- tolv6 -->
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot (-4) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 - 5 </math>
 
  
−
Att <math> \; {\color{Red} 0} </math>-orna följer med hela tiden beror på att additionens ''enhet'' är <math> \, {\color{Red} 0} </math>, dvs <math> \, a + {\color{Red} 0} \, = \, a </math>. Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 0} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5 \cdot 0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
+
== <b><span style="color:#931136">Potensekvationer</span></b> ==
−
</big>
+
<div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
−
</div> <!-- exempel5 -->
+
 
 +
Anta i fortsättningen att <math> \, x \, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> .
 +
 
 +
::Funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> kallas <strong><span style="color:red">potensfunktioner</span></strong>, generellt <math> \; y = c \cdot x^b\, </math>.
 +
 
 +
::Ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> kallas <strong><span style="color:red">potensekvationer</span></strong>, generellt <math> \; x^b\, = c </math>.
 +
 
 +
I potensfunktioner och -ekvationer förekommer <math> \, x \, </math> i basen. Potensekvationer löses genom <strong><span style="color:red">rotdragning</span></strong>. För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
 +
 
 +
:::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
 +
                      \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8}                    \\
 +
                                  x  & = 2                              \\
 +
                  \end{align}</math>
 +
 
 +
Alternativt (med rationell exponent):
 +
 
 +
:::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\
 +
                  (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3}                  \\
 +
              x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3}                  \\
 +
                                  x  & = 2                              \\
 +
                  \end{align}</math>
 +
 
 +
Det alternativa sättet att lösa ekvationen ovan visar att rötter även kan uppfattas och skrivas som [[Potenser#Potenser_med_rationella_exponenter|<strong><span style="color:blue">potenser med rationella exponenter</span></strong>]].
 +
</div> <!-- tolv7 -->
 +
 
 +
 
 +
== Blandade exempel ==
 +
[[Image: Potens_Ex_1.jpg]]
 +
 
 +
----
 +
 
 +
[[Image: Potens_Ex_2.jpg]]
 +
 
 +
----
 +
 
 +
[[Image: Potens_Ex_3.jpg]]
  
  

Versionen från 17 oktober 2016 kl. 10.14

        \( \pmb{\gets} \) Tillbaka till Polynom          Genomgång          Övningar      


Potenser är ett repeterande underavsnitt i avsnittet Polynom. Övningar till Potenser finns separat i fliken ovan.

Hur räknar du?

Hur raknar du Potenser 20.jpg \[ {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2\,^3 \; = \; 6 \]

\[ \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 2\,^3 \; = \; 2 \cdot 2 \cdot 2 \; = \; 4 \cdot 2 \; = \; 8 \]


Felet beror på att man blandar ihop två olika räkneoperationer: multiplikationen med upphöjt till.

I själva verket betyder \( \, 2\,^{\color{Red} 3} \, \) inte \( \, 2 \cdot 3 \, \) utan \( \, \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, \) som sedan förkortas till \( \, 2\,^{\color{Red} 3} \).

Vad är en potens?

Exempel på potens:

\[ 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \]

Potens = upprepad multiplikation

av \( \, 2 \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger.

           Potens Bas Exponent 80.jpg


\( \, 2\,^3 \, \) läses \( \, {\color{Red} 2} \) upphöjt till\( \, {\color{Red} 3} \, \) och kallas för  potens. \( \, 2\, \) heter basen och \( \, 3 \, \) exponenten.

Exponenten \( \, {\color{Red} 3} \, \) är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att \( \, 2 \, \) ska multipliceras \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger med sig själv (jfr. upprepad addition).

Därför det är fel att multiplicera \( \, 2 \, \) med \( \, {\color{Red} 3} \, \) när man ska beräkna \( \, 2\,^{\color{Red} 3} \).


Exempel

Förenkla: \( \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \)


Lösning: \( \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)

OBS!   Förenkla alltid först, räkna sedan!

Snabbare: \( \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)


För att förstå den snabbare lösningen måste man känna till:

Potenslagarna

Följande lagar gäller för potenser där basernna \( \, a,\,b \, \) är tal \( \, \neq 0 \, \) och exponenterna \( \, x,\,y \, \) är godtyckliga tal:


Första potenslagen: \( \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad \)

Andra potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad \)

Tredje potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad \)

Lagen om nollte potens: \( \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad \)

Lagen om negativ exponent: \( \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad \)

Potens av en produkt: \( \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad \)

Potens av en kvot: \( \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad \)


Potenser med positiva exponenter

Potensen \( \, a\,^{\color{Red} x} \, \) med positiv exponent (\( x \, \) heltal \( > 0 \, \) och \( \, a \, \neq 0 \)) kan definieras som:

Upprepad multiplikation av \( \, a \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} x} \, \) gånger:
\( \quad a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \)

Exempel på första potenslagen

Förenkla: \( \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 \)


Lösning:

\( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}\)

Snabbare:

\( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; a\,^{2\,+\,3} = \; a\,^{\color{Red} 5} \)


Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen.


Exempel på andra potenslagen

\( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 \)

Snabbare:

\( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 \)


Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva exponenter. Men den definitionen duger inte för negativa exponenter.

Antalet multiplikationer av basen med sig själv kan inte vara negativt. Det behövs en ny definition.


Potenser med negativa exponenter

Exempel på potens med negativ exponent:

\[ \;\; \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; 1\,/\,\underbrace{2 \, / \, 2 \, / \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \; = \; \frac{1}{\underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times}} \; = \; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad \]

Potens med negativ exponent = upprepad division av \( \, 1 \, \) med basen \( \, 2 \), \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger.

Eller: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\; \) upprepad multiplikation med basens invers \( \displaystyle \frac{1}{2} \), \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger.

Negativ exponent innebär att invertera potensen med positiv exponent.


Andra exempel: \( \qquad\qquad\qquad \) Att "invertera" t.ex. \( \, 10 \, \) ger \( \, \displaystyle {1 \over 10} \)

\[ \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} \]
\[ \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} \]
\[ \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} \]


Generellt:


Potensen \( \, a\,^{\color{Red} {-x}} \, \) med negativ exponent (\( x \, \) heltal \( > 0 \, \) och \( \, a \, \neq 0 \)) kan definieras som:

Upprepad division av \( \, 1 \, \) med basen \( \, a \, \) (eller multiplikation med \( \, \displaystyle \frac{1}{a} \, \)), \( \, {\color{Red} x} \, \) gånger:
\( \displaystyle a\,^{\color{Red} {-x}} \; = \; 1 \, / \, \underbrace{a \, / \, a \, / \, a \, / \quad \ \cdots \quad / a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \quad {\color{Red} =} \quad 1 \cdot \underbrace{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdot \quad \cdot \cdots \quad \cdot \frac{1}{a}}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \; = \; {1 \over a^x}\)

Övergången från division till multiplikation (den röda likheten) kan motiveras så här:

Uppfattar man \( \, a \, \) som ett bråk med nämnaren \( \, 1 \, \) dvs \( \, \displaystyle \frac{a}{1} \), kan man ersätta divisionerna med multiplikationer med det inversa \( \, \displaystyle \frac{1}{a} \).

I Bråkräkning hade vi lärt oss att division med ett bråk kan skrivas som en multiplikation med det inversa bråket.


Bevis av två potenslagar

Påstående:

Lagen om negativ exponent \( \quad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \; \)

Bevis:

\( \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} \)

In den första likheten har vi använt lagen om nollte potens baklänges: \( \; 1 = a^0 \; \).

In den andra likheten har vi använt andra potenslagen: \( \; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \; \).

Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges.


Potenser med \( \, 0 \, \) i exponenten

Påstående:

Lagen om nollte potens \( \quad a^0 \; = \; 1 \; \)

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 \)

Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet \( \, 1 \):

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 \)

Av raderna ovan följer påståendet:

\( a^0 \; = \; 1 \)


Exemplet nedan illustrerar lagen ovan genom att visa att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter och nollte potensen däremellan (Potens \( \; = \; \) upprepad multiplikation):

Varför är \( \; 5\,^0 \, = \, 1 \; \)?

\[ \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
\[ \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
\[ \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \]
\[ \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \]
\[ \; \boxed{{\color{Red} {5^0 \; = \; 1}}} \]
\[ \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} \]
\[ \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} \]
\[ \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} \]
\[ \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } \]

Att \( \; {\color{Red} 1} \)-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens enhet är \( \, {\color{Red} 1} \), dvs \( \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a \).

Därför blir endast \( \, {\color{Red} 1} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5^0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.


Jämför med produkter med negativa faktorer som är en naturlig fortsättning på produkter med positiva faktorer och nollprodukten däremellan (Produkt \( \; = \; \) upprepad addition: \( \, {\color{Red} 0} \, \) tar över rollen av \( \, {\color{Red} 1} \)):

Varför är \( \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; \)?

\[ \;\; 5 \cdot 4 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 + 5 \]
\[ \;\; 5 \cdot 3 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 \]
\[ \;\; 5 \cdot 2 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 \]
\[ \;\; 5 \cdot 1 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 \]
\[ \; \boxed{{\color{Red} {5 \cdot 0 \; = \; 0}}} \]
\[ \;\; 5 \cdot (-1) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 \]
\[ \;\; 5 \cdot (-2) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 \]
\[ \;\; 5 \cdot (-3) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 \]
\[ \;\; 5 \cdot (-4) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 - 5 \]

Att \( \; {\color{Red} 0} \)-orna följer med hela tiden beror på att additionens enhet är \( \, {\color{Red} 0} \), dvs \( \, a + {\color{Red} 0} \, = \, a \).

Därför blir endast \( \, {\color{Red} 0} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5 \cdot 0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.


Potenser med rationella exponenter

Potenser med exponenter som är rationella tal (bråktal) kan användas för att beräkna (högre) rötter.


Påstående (högre rötter):

\( a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \; \) \( , \qquad n\neq 0 \)

Bevisidé:

Vi tar specialfallet \( n=3 \), multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \)

Definitionen för 3:e roten ur \( a \) är:

\( \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; \) Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger \( a \).

Men enligt ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger \( a \), just \( a \) \(^{1 \over 3} \). Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur \( a \):

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \)

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal \( m\, \) och \( n\neq 0 \, \) (Lagen om rationell exponent):

\( a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \)


Potensekvationer

Anta i fortsättningen att \( \, x \, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Funktioner av typ \( y = x^3\, \) kallas potensfunktioner, generellt \( \; y = c \cdot x^b\, \).
Ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) kallas potensekvationer, generellt \( \; x^b\, = c \).

I potensfunktioner och -ekvationer förekommer \( \, x \, \) i basen. Potensekvationer löses genom rotdragning. För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

Alternativt (med rationell exponent):

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

Det alternativa sättet att lösa ekvationen ovan visar att rötter även kan uppfattas och skrivas som potenser med rationella exponenter.


Blandade exempel

Potens Ex 1.jpg

Potens Ex 2.jpg

Potens Ex 3.jpg


Potenser med rationella exponenter

Potenser med exponenter som är rationella tal (bråktal) kan användas för att beräkna (högre) rötter.


Påstående (högre rötter):

\( a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \; \) \( , \qquad n\neq 0 \)

Bevisidé:

Vi tar specialfallet \( n=3 \), multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \)

Definitionen för 3:e roten ur \( a \) är:

\( \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; \) Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger \( a \).

Men enligt ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger \( a \), just \( a \) \(^{1 \over 3} \). Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur \( a \):

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \)

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal \( m\, \) och \( n\neq 0 \, \) (Lagen om rationell exponent):

\( a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \)


Potensekvationer

Anta i fortsättningen att \( \, x \, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Funktioner av typ \( y = x^3\, \) kallas potensfunktioner, generellt \( \; y = c \cdot x^b\, \).
Ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) kallas potensekvationer, generellt \( \; x^b\, = c \).

I potensfunktioner och -ekvationer förekommer \( \, x \, \) i basen. Potensekvationer löses genom rotdragning. För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

Alternativt (med rationell exponent):

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

Det alternativa sättet att lösa ekvationen ovan visar att rötter även kan uppfattas och skrivas som potenser med rationella exponenter.


Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html

http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar





Copyright © 2010-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=Potenser&oldid=27198"