Skillnad mellan versioner av "1.7 Potenser"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 35: | Rad 35: | ||
::<math> 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} </math> | ::<math> 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} </math> | ||
| − | <b><span style="color:#931136">Potens</span></b> = upprepad multiplikation | + | <b><span style="color:#931136">Potens</span></b> = upprepad <b><span style="color:red">multiplikation</span></b> |
av <math> \, 2 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger. | av <math> \, 2 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger. | ||
| Rad 55: | Rad 55: | ||
<div class="exempel"> <!-- exempel1 --> | <div class="exempel"> <!-- exempel1 --> | ||
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel | + | === <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> === |
<big> | <big> | ||
Förenkla<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} </math> | Förenkla<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} </math> | ||
| Rad 97: | Rad 97: | ||
| − | == <b><span style="color:#931136">Potenser med positiva | + | == <b><span style="color:#931136">Potenser med positiva exponenter</span></b> == |
| − | + | ||
| − | Potensen <big><math> \, a\,^{\color{Red} x} \, </math></big> kan, om exponenten <math> \, {\color{Red} x} \, </math> är ett positivt heltal och basen <big><math> \, a \, </math></big> ett tal <math> \neq 0 </math>, definieras som | + | <big> |
| + | Potensen <big><math> \, a\,^{\color{Red} x} \, </math></big> kan, om exponenten <math> \, {\color{Red} x} \, </math> är ett positivt heltal och basen <big><math> \, a \, </math></big> ett tal <math> \neq 0 </math>, definieras som<span style="color:black">:</span> | ||
::::::<b>Upprepad multiplikation av <big><math> \, a \, </math></big> med sig själv, <math> \, {\color{Red} x} \, </math> gånger:</b> | ::::::<b>Upprepad multiplikation av <big><math> \, a \, </math></big> med sig själv, <math> \, {\color{Red} x} \, </math> gånger:</b> | ||
::::::::<big><math> a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} </math></big> | ::::::::<big><math> a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} </math></big> | ||
| − | </ | + | </big> |
<div class="exempel"> <!-- exempel2 --> | <div class="exempel"> <!-- exempel2 --> | ||
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel | + | === <b><span style="color:#931136">Exempel på första potenslagen</span></b> === |
<big> | <big> | ||
Förenkla<span style="color:black">:</span> <big><math> \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 </math></big> | Förenkla<span style="color:black">:</span> <big><math> \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 </math></big> | ||
| Rad 130: | Rad 130: | ||
<div class="exempel"> <!-- exempel3 --> | <div class="exempel"> <!-- exempel3 --> | ||
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel | + | === <b><span style="color:#931136">Exempel på andra potenslagen</span></b> === |
<big> | <big> | ||
::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 </math></big> | ::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 </math></big> | ||
| − | Snabbare | + | Snabbare: |
::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 </math></big> | ::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 </math></big> | ||
| Rad 143: | Rad 143: | ||
<big> | <big> | ||
| − | Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva | + | Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva exponenter. Men den definitionen duger inte för negativa exponenter. |
| + | |||
| + | Antalet multiplikationer av basen med sig själv kan inte vara negativt. Det behövs en ny definition. | ||
</big> | </big> | ||
| − | == <b><span style="color:#931136"> | + | == <b><span style="color:#931136">Potenser med negativa exponenter</span></b> == |
| − | <div class=" | + | <div class="border-divblue"> |
| − | + | <big>Exempel på potens med negativ exponent<span style="color:black">:</span> | |
| + | ::<math> \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; 1\,/\,\underbrace{2 \, / \, 2 \, / \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \; = \; \frac{1}{\underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times}} \; = \; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad </math> | ||
| − | + | <b><span style="color:#931136">Potens med negativ exponent</span></b> = upprepad <b><span style="color:red">division</span></b> av <math> \, 1 \, </math> med <math> \, 2 </math>, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger. | |
| − | ''' | + | <b><span style="color:#931136">Negativ exponent</span></b> innebär att <b><span style="color:red">invertera potensen med positiv exponent</span></b>. |
| + | </big></div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovnE"> | ||
| + | '''Ytterligare exempel:''' <math> \qquad\qquad\qquad </math> Att <b><span style="color:red">"invertera"</span></b> t.ex. <math> \, 10 \, </math> ger <math> \, \displaystyle {1 \over 10} </math> | ||
::<math> \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} </math> | ::<math> \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} </math> | ||
| Rad 164: | Rad 172: | ||
<big> | <big> | ||
| − | Från basen <math> \, 10 \, </math> | + | Från exemplet ovan med basen <math> \, 10 \, </math> går vi nu över till den allmänna basen <big><math> \, a \, </math></big>: |
| − | </big> | + | |
| + | |||
| + | Potensen <big><math> \, a\,^{\color{Red} {-x}} \, </math></big> med <b><span style="color:red">negativ</span></b> exponent kan definieras som<span style="color:black">:</span> | ||
| + | |||
| + | ::::<b>Upprepad <span style="color:red">division</span> av <math> \, 1 \, </math> med <big><math> \, a \, </math></big> eller multiplikation med <math> \, \displaystyle \frac{1}{a} \, </math>, <math> \, {\color{Red} x} \, </math> gånger:</b> | ||
| + | |||
| + | :<big><math> \displaystyle a\,^{\color{Red} {-x}} \; = \; 1 \, / \, \underbrace{a \, / \, a \, / \, a \, / \quad \ \cdots \quad / a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \quad {\color{Red} =} \quad 1 \cdot \underbrace{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdot \quad \cdot \cdots \quad \cdot \frac{1}{a}}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \; = \; {1 \over a^x}</math></big> | ||
| + | |||
| + | Övergången från division till multiplikation (den <span style="color:red">röda</span> likheten) kan motiveras så här: | ||
| + | Uppfattar man <big><math> \, a \, </math></big> som ett bråk med nämnaren <big><math> \, 1 \, </math></big> dvs <math> \, \displaystyle \frac{a}{1} </math>, kan man ersätta divisionerna med multiplikationer med det inversa <math> \, \displaystyle \frac{1}{a} </math>. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| + | == <b><span style="color:#931136">Bevis av två potenslagar</span></b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
Versionen från 5 oktober 2016 kl. 22.06
| \( \pmb{\gets} \) Förra demoavsnitt | Genomgång | Grundpotensform | Övningar | Diagnosprov kap 1 |
Hur räknar du?
\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2\,^3 \; = \; 6 \]
\[ \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 2\,^3 \; = \; 2 \cdot 2 \cdot 2 \; = \; 4 \cdot 2 \; = \; 8 \]
Felet beror på att man blandar ihop två olika räkneoperationer: multiplikationen med upphöjt till.
I själva verket betyder \( \, 2\,^{\color{Red} 3} \, \) inte \( \, 2 \cdot 3 \, \) utan \( \, \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, \) som sedan förkortas till \( \, 2\,^{\color{Red} 3} \).
Vad är en potens?
Exempel på potens:
Potens = upprepad multiplikation av \( \, 2 \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger. |
 |
\( \, 2\,^3 \, \) läses \( \, {\color{Red} 2} \) upphöjt till\( \, {\color{Red} 3} \, \) och kallas för potens. \( \, 2\, \) heter basen och \( \, 3 \, \) exponenten.
Exponenten \( \, {\color{Red} 3} \, \) är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att \( \, 2 \, \) ska multipliceras \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger med sig själv (jfr. upprepad addition).
Därför det är fel att multiplicera \( \, 2 \, \) med \( \, {\color{Red} 3} \, \) när man ska beräkna \( \, 2\,^{\color{Red} 3} \).
Exempel
Förenkla: \( \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \)
Lösning: \( \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)
- OBS! Förenkla alltid först, räkna sedan!
Snabbare: \( \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)
För att förstå den snabbare lösningen måste man känna till:
Potenslagarna
Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( \, x \, \) och \( \, y \, \) godtyckliga tal och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)):
Första potenslagen: \( \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad \)
Andra potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad \)
Tredje potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad \)
Lagen om nollte potens: \( \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad \)
Lagen om negativ exponent: \( \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad \)
Potens av en produkt: \( \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad \)
Potens av en kvot: \( \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad \)
Potenser med positiva exponenter
Potensen \( \, a\,^{\color{Red} x} \, \) kan, om exponenten \( \, {\color{Red} x} \, \) är ett positivt heltal och basen \( \, a \, \) ett tal \( \neq 0 \), definieras som:
- Upprepad multiplikation av \( \, a \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} x} \, \) gånger:
- \( a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \)
Exempel på första potenslagen
Förenkla: \( \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 \)
Lösning:
- \( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}\)
Snabbare:
- \( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; a\,^{2\,+\,3} = \; a\,^{\color{Red} 5} \)
Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen.
Exempel på andra potenslagen
- \( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 \)
Snabbare:
- \( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 \)
Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva exponenter. Men den definitionen duger inte för negativa exponenter.
Antalet multiplikationer av basen med sig själv kan inte vara negativt. Det behövs en ny definition.
Potenser med negativa exponenter
Exempel på potens med negativ exponent:
- \[ \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; 1\,/\,\underbrace{2 \, / \, 2 \, / \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \; = \; \frac{1}{\underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times}} \; = \; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad \]
Potens med negativ exponent = upprepad division av \( \, 1 \, \) med \( \, 2 \), \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger.
Negativ exponent innebär att invertera potensen med positiv exponent.
Ytterligare exempel: \( \qquad\qquad\qquad \) Att "invertera" t.ex. \( \, 10 \, \) ger \( \, \displaystyle {1 \over 10} \)
- \[ \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} \]
- \[ \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} \]
- \[ \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} \]
Från exemplet ovan med basen \( \, 10 \, \) går vi nu över till den allmänna basen \( \, a \, \):
Potensen \( \, a\,^{\color{Red} {-x}} \, \) med negativ exponent kan definieras som:
- Upprepad division av \( \, 1 \, \) med \( \, a \, \) eller multiplikation med \( \, \displaystyle \frac{1}{a} \, \), \( \, {\color{Red} x} \, \) gånger:
- \( \displaystyle a\,^{\color{Red} {-x}} \; = \; 1 \, / \, \underbrace{a \, / \, a \, / \, a \, / \quad \ \cdots \quad / a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \quad {\color{Red} =} \quad 1 \cdot \underbrace{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdot \quad \cdot \cdots \quad \cdot \frac{1}{a}}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \; = \; {1 \over a^x}\)
Övergången från division till multiplikation (den röda likheten) kan motiveras så här:
Uppfattar man \( \, a \, \) som ett bråk med nämnaren \( \, 1 \, \) dvs \( \, \displaystyle \frac{a}{1} \), kan man ersätta divisionerna med multiplikationer med det inversa \( \, \displaystyle \frac{1}{a} \).
Bevis av två potenslagar
Påstående:
Lagen om negativ exponent \( \quad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \; \)
Bevis:
- \( \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} \)
In den första likheten har vi använt lagen om nollte potens baklänges: \( \; 1 = a^0 \; \).
In den andra likheten har vi använt andra potenslagen: \( \; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \; \).
Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges.
Potenser med \( \, 0 \, \) i exponenten
Påstående:
Lagen om nollte potens \( \quad a^0 \; = \; 1 \; \)
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:
- \( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 \)
Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet \( \, 1 \):
- \( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 \)
Av raderna ovan följer påståendet:
- \( a^0 \; = \; 1 \)
Exemplet nedan illustrerar lagen ovan genom att visa att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter och nollte potensen däremellan (Potens \( \; = \; \) upprepad multiplikation):
Varför är \( \; 5\,^0 \, = \, 1 \; \)?
- \[ \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
- \[ \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
- \[ \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \]
- \[ \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \]
- \[ \; \boxed{{\color{Red} {5^0 \; = \; 1}}} \]
- \[ \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} \]
- \[ \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} \]
- \[ \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} \]
- \[ \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } \]
Att \( \; {\color{Red} 1} \)-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens enhet är \( \, {\color{Red} 1} \), dvs \( \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a \).
Därför blir endast \( \, {\color{Red} 1} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5^0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.
Jämför med produkter med negativa faktorer som är en naturlig fortsättning på produkter med positiva faktorer och nollprodukten däremellan (Produkt \( \; = \; \) upprepad addition: \( \, {\color{Red} 0} \, \) tar över rollen av \( \, {\color{Red} 1} \)):
Varför är \( \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; \)?
- \[ \;\; 5 \cdot 4 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 + 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot 3 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot 2 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot 1 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 \]
- \[ \; \boxed{{\color{Red} {5 \cdot 0 \; = \; 0}}} \]
- \[ \;\; 5 \cdot (-1) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot (-2) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot (-3) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot (-4) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 - 5 \]
Att \( \; {\color{Red} 0} \)-orna följer med hela tiden beror på att additionens enhet är \( \, {\color{Red} 0} \), dvs \( \, a + {\color{Red} 0} \, = \, a \).
Därför blir endast \( \, {\color{Red} 0} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5 \cdot 0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.
Internetlänkar
https://www.youtube.com/watch?v=BMEOkzq3Xo4
http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
Copyright © 2010-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
