Skillnad mellan versioner av "1.7 Potenser"

Versionen från 5 oktober 2016 kl. 01.21

\( \pmb{\gets} \) Förra demoavsnitt

Genomgång

Grundpotensform

Övningar

Diagnosprov kap 1

Hur räknar du?

\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2\,^3 \; = \; 6 \]

\[ \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 2\,^3 \; = \; 2 \cdot 2 \cdot 2 \; = \; 4 \cdot 2 \; = \; 8 \]

Felet beror på att man blandar ihop två olika räkneoperationer: multiplikationen med upphöjt till.

I själva verket betyder \( \, 2\,^{\color{Red} 3} \, \) inte \( \, 2 \cdot 3 \, \) utan \( \, \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, \) som sedan förkortas till \( \, 2\,^{\color{Red} 3} \).

Vad är en potens?

Exempel på potens:

\[ 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \]

Potens = upprepad multiplikation

av \( \, 2 \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger.

\( \, 2\,^3 \, \) läses \( \, {\color{Red} 2} \) upphöjt till\( \, {\color{Red} 3} \, \) och kallas för potens. \( \, 2\, \) heter basen och \( \, 3 \, \) exponenten.

Exponenten \( \, {\color{Red} 3} \, \) är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att \( \, 2 \, \) ska multipliceras \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger med sig själv (jfr. upprepad addition).

Därför det är fel att multiplicera \( \, 2 \, \) med \( \, {\color{Red} 3} \, \) när man ska beräkna \( \, 2\,^{\color{Red} 3} \).

Exempel 1

Förenkla: \( \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \)

Lösning: \( \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)

OBS! Förenkla alltid först, räkna sedan!

Snabbare: \( \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)

För att förstå den snabbare lösningen måste man känna till:

Potenslagarna

Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( \, x \, \) och \( \, y \, \) godtyckliga tal och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)):

Första potenslagen: \( \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad \)

Andra potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad \)

Tredje potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad \)

Lagen om nollte potens: \( \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad \)

Lagen om negativ exponent: \( \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad \)

Potens av en produkt: \( \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad \)

Potens av en kvot: \( \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad \)

Potenser med positiva heltalsexponenter

Potensen \( \, a\,^{\color{Red} x} \, \) kan, om exponenten \( \, {\color{Red} x} \, \) är ett positivt heltal och basen \( \, a \, \) ett tal \( \neq 0 \), definieras som

Upprepad multiplikation av \( \, a \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} x} \, \) gånger:

\( a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \)

Exempel 2

Förenkla: \( \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 \)

Lösning:

\( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}\)

Snabbare:

\( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; a\,^{2\,+\,3} = \; a\,^{\color{Red} 5} \)

Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen.

Exempel 3

\( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 \)

Snabbare med andra potenslagen:

\( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 \)

Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva heltalsexponenter. Men:

Hur beräknar man potenser med negativa exponenter?

I själva verket innebär negativ exponent att invertera potensen med positiv exponent.

Exempel: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \) Att "invertera" t.ex. \( \, 2 \, \) ger \( \, \displaystyle {1 \over 2} \)

\[ \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} \]

\[ \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} \]

\[ \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} \]

Från basen \( \, 10 \, \) i exemplet ovan går vi nu över till den allmänna basen \( \, a \, \) och bevisar lagen om negativ exponent generellt:

Potenser med negativa heltalsexponenter

Här bevisar vi två av potenslagarna.

Påstående:

Lagen om negativ exponent \( \quad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \; \)

Bevis:

\( \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} \)

In den första likheten har vi använt lagen om nollte potens baklänges: \( \; 1 = a^0 \; \).

In den andra likheten har vi använt andra potenslagen: \( \; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \; \).

Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges.

Potenser med \( \, 0 \, \) i exponenten

Påstående:

Lagen om nollte potens \( \quad a^0 \; = \; 1 \; \)

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 \)

Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet \( \, 1 \):

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 \)

Av raderna ovan följer påståendet:

\( a^0 \; = \; 1 \)

Exemplet nedan illustrerar lagen ovan genom att visa att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter och nollte potensen däremellan (Potens \( \; = \; \) upprepad multiplikation):

Varför är \( \; 5\,^0 \, = \, 1 \; \)?

\[ \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]

\[ \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]

\[ \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \]

\[ \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \]

\[ \; \boxed{{\color{Red} {5^0 \; = \; 1}}} \]

\[ \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} \]

\[ \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} \]

\[ \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} \]

\[ \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } \]

Att \( \; {\color{Red} 1} \)-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens enhet är \( \, {\color{Red} 1} \), dvs \( \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a \).

Därför blir endast \( \, {\color{Red} 1} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5^0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.

Jämför med produkter med negativa faktorer som är en naturlig fortsättning på produkter med positiva faktorer och nollprodukten däremellan (Produkt \( \; = \; \) upprepad addition: \( \, {\color{Red} 0} \, \) tar över rollen av \( \, {\color{Red} 1} \)):

Varför är \( \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; \)?

\[ \;\; 5 \cdot 4 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 + 5 \]

\[ \;\; 5 \cdot 3 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 \]

\[ \;\; 5 \cdot 2 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 \]

\[ \;\; 5 \cdot 1 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 \]

\[ \; \boxed{{\color{Red} {5 \cdot 0 \; = \; 0}}} \]

\[ \;\; 5 \cdot (-1) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 \]

\[ \;\; 5 \cdot (-2) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 \]

\[ \;\; 5 \cdot (-3) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 \]

\[ \;\; 5 \cdot (-4) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 - 5 \]

Att \( \; {\color{Red} 0} \)-orna följer med hela tiden beror på att additionens enhet är \( \, {\color{Red} 0} \), dvs \( \, a + {\color{Red} 0} \, = \, a \).

Därför blir endast \( \, {\color{Red} 0} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5 \cdot 0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.

Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=BMEOkzq3Xo4

http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html

@@ Rad 11: / Rad 11: @@
-== <b><span style="color:#931136">Vad är en potens?</span></b> ==
+== <b><span style="color:#931136">Hur räknar du?</span></b> ==
 <div class="exempel">
 [[Image: Hur raknar du Potenser 20.jpg]]
+<big>
 :<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2\,^3 \; = \; 6 </math>
 :<math> \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 2\,^3 \; = \; 2 \cdot 2 \cdot 2 \; = \; 4 \cdot 2 \; = \; 8 </math>
-</div>  <!-- exempel -->
+</big></div>  <!-- exempel -->
-<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
+<big>
 Felet beror på att man blandar ihop två olika räkneoperationer: multiplikationen med <b><span style="color:red">upphöjt till</span></b>.
 I själva verket betyder <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} \, </math> inte <math> \, 2 \cdot 3 \, </math> utan <math> \, \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, </math> som sedan förkortas till <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} </math>.
-</div> <!-- tolv1 -->
+</big>
+== <b><span style="color:#931136">Vad är en potens?</span></b> ==
 <table>
 <tr>
@@ Rad 42: / Rad 45: @@
-<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
+<big>
 <math> \, 2\,^3 \, </math> läses <math> \, {\color{Red} 2} </math> <b><span style="color:red">upphöjt till</span></b><math> \, {\color{Red} 3} \, </math> och kallas för &nbsp;<b><span style="color:red">potens</span></b>. <math> \, 2\, </math> heter <b><span style="color:red">basen</span></b> och <math> \, 3 \, </math> <b><span style="color:red">exponenten</span></b>.
@@ Rad 48: / Rad 51: @@
 Därför det är fel att multiplicera <math> \, 2 \, </math> med <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> när man ska beräkna <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} </math>.
-</div> <!-- tolv2 -->
+</big>
@@ Rad 65: / Rad 68: @@
 </div>  <!-- exempel1 -->
-<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
+<big>
 För att förstå den snabbare lösningen måste man känna till:
-</div> <!-- tolv2 -->
+</big>
 == <b><span style="color:#931136">Potenslagarna</span></b> ==
-<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
+<big>
 Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> godtyckliga tal och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>):
-</div> <!-- tolv3 -->
+</big>
@@ Rad 93: / Rad 97: @@
-== <b><span style="color:#931136">Potens med positiva heltalsexponenter</span></b> ==
+== <b><span style="color:#931136">Potenser med positiva heltalsexponenter</span></b> ==
 <div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
@@ Rad 120: / Rad 124: @@
-<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
+<big>
 Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen.
-</div> <!-- tolv2 -->
+</big>
@@ Rad 138: / Rad 142: @@
-<div class="tolv"> <!-- tolv3a -->
+<big>
-För enkelhets skull definierades potensbegreppet inledningsvis endast för positiva heltalsexponenter. Men potenslagarna gäller även för exponenter som är negativa. Vi börjar med enkla <math> \, 10</math>-potenser och några negativa exponenter:
+Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva heltalsexponenter. Men:
-</div> <!-- tolv3a -->
+</big>
-<div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
+== <b><span style="color:#931136">Hur beräknar man potenser med negativa exponenter?</span></b> ==
-== <b><span style="color:#931136">Exempel på potenser med negativa exponenter</span></b> ==
+<div class="ovnE">
-<big>
+[[Image: Hur raknar du negativa exponenter 20.jpg]]
-::::<math> \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} </math>
-::::<math> \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} </math>
+I själva verket innebär <b><span style="color:red">negativ exponent</span></b> att <b><span style="color:red">invertera potensen med positiv exponent</span></b>.
-::::<math> \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} </math>
+'''Exempel:''' <math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad </math> Att <b><span style="color:red">"invertera"</span></b> t.ex. <math> \, 2 \, </math> ger <math> \, \displaystyle {1 \over 2} </math>
+::<math> \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} </math>
+::<math> \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} </math>
+::<math> \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} </math>
+</div>
+<big>
+Från basen <math> \, 10 \, </math> i exemplet ovan går vi nu över till den allmänna basen <math> \, a \, </math> och bevisar lagen om negativ exponent generellt:
 </big>
-</div> <!-- exempel4 -->
-<div class="tolv"> <!-- tolv4a -->
+== <b><span style="color:#931136">Potenser med negativa heltalsexponenter</span></b> ==
-Nu går vi över till den allmänna basen <math> \, a \, </math> och bevisar lagen generellt för alla negativa exponenter:
+<br>
+<big>Här bevisar vi två av [[1.7_Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">potenslagarna</span></b>]].</big>
-'''Påstående (Lagen om negativ exponent, <math> \, x > 0 </math>)''':
+<div class="ovnC">
+'''Påstående''':
-::::<big><math> a^{-x} = \displaystyle{1 \over a^x} </math></big>
+<div class="border-divblue">
+<b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent</span></b> <math> \quad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \; </math>
+</div> <!-- border-divblue -->
 '''Bevis''':
@@ Rad 173: / Rad 189: @@
 Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges.
-</div> <!-- tolv4a -->
+</div>
-<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
+== <b><span style="color:#931136">Potenser med <math> \, 0 \, </math> i exponenten</span></b> ==
-Exemplen nedan illustrerar att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter och <b><span style="color:red">nollte potensen</span></b> däremellan:
-(Potens <math> \; = \; </math> upprepad multiplikation)
+<div class="ovnC">
-</div> <!-- tolv5 -->
+'''Påstående''':
+<div class="border-divblue">
+<b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens</span></b> <math> \quad a^0 \; = \; 1 \; </math>
+</div> <!-- border-divblue -->
+'''Bevis''':
+Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:
+::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 </math></big>
+Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet <math> \, 1 </math>:
+::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 </math></big>
+Av raderna ovan följer påståendet:
+::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
+</div>
+<big>
+Exemplet nedan illustrerar lagen ovan genom att visa att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter och <b><span style="color:red">nollte potensen</span></b> däremellan (Potens <math> \; = \; </math> upprepad multiplikation):
+</big>
 == <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 \; </math>?</span></b> ==
@@ Rad 209: / Rad 248: @@
-<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
+<big>
-Jämför med produkter med negativa faktorer som är en naturlig fortsättning på produkter med positiva faktorer och <b><span style="color:red">nollprodukten</span></b> däremellan:
+Jämför med produkter med negativa faktorer som är en naturlig fortsättning på produkter med positiva faktorer och <b><span style="color:red">nollprodukten</span></b> däremellan (Produkt <math> \; = \; </math> upprepad addition<span style="color:black">:</span> <math> \, {\color{Red} 0} \, </math> tar över rollen av <math> \, {\color{Red} 1} </math>):
+</big>
-(Produkt <math> \; = \; </math> upprepad addition<span style="color:black">:</span> <math> \, {\color{Red} 0} \, </math> tar över rollen av <math> \, {\color{Red} 1} </math>)
-</div> <!-- tolv5 -->
 == <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; </math>?</span></b> ==
@@ Rad 242: / Rad 279: @@
-<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
-Första exemplet ovan illustrerade lagen om nollte potens, se [[1.7_Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]]. Här följer ett bevis:
-'''Påstående (Lagen om nollte potens)''':
-::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
-'''Bevis''':
-Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:
-::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 </math></big>
-Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet <math> \, 1 </math>:
-::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 </math></big>
-Av raderna ovan följer påståendet:
-::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
-</div> <!-- tolv4 -->