|
|
| Rad 13: |
Rad 13: |
| | [[Media: Lektion 11 Absolutbelopp Rutaa.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 11 Absolutbelopp</span></b>]] | | [[Media: Lektion 11 Absolutbelopp Rutaa.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 11 Absolutbelopp</span></b>]] |
| | <big> | | <big> |
| − | <div class="ovnE">
| |
| − | <small>
| |
| − | === <b><span style="color:#931136">Några exempel på absolutbelopp</span></b> ===
| |
| − | <br>
| |
| − | <div class="exempel">
| |
| − | ==== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Åldersskillnad</span></b> ====
| |
| − |
| |
| − | En dejtingsajt på nätet har bestämt sig för att åldersskillnaden mellan två partner ska vara <b><span style="color:red"><math> \, < \, 6 \, </math> år</span></b>.
| |
| − |
| |
| − | I sina webbformulär använder de följande formel som ger utskrifterna till höger
| |
| − |
| |
| − | efter att några kunder skickat in sina uppgifter:
| |
| − |
| |
| − | <table>
| |
| − | <tr>
| |
| − | <td><div style="border:1px solid black;
| |
| − | display:inline-block !important;
| |
| − | margin-left: 10px !important;
| |
| − | padding:10px 10px 10px 10px;
| |
| − | -webkit-border-radius: 10px;
| |
| − | -moz-border-radius: 5px;
| |
| − | border-radius: 5px;"><b><math> \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female}\, </math></b></div></td>
| |
| − | <td><math> \qquad\qquad </math></td>
| |
| − | <td><math> 25 \quad - \quad 20 \quad = \quad 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | <math> 26 \quad - \quad 22 \quad = \quad 4 </math>
| |
| − |
| |
| − | <math> 23 \quad - \quad 30 \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{-7}}} </math></td>
| |
| − | <td><math> \quad </math></td>
| |
| − | <td><math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>
| |
| − |
| |
| − | <math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>
| |
| − |
| |
| − | <math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{ok}}}} </math></td>
| |
| − | </tr>
| |
| − | </table>
| |
| − |
| |
| − | Lovisa som sommarjobbar på dejtingsajten konstaterar att den sista utskriften ger <b><span style="color:red">fel</span></b> resultat: Åldersskillnaden är <b><span style="color:red"><math> \, > \, 6 \, </math> år</span></b>.
| |
| − |
| |
| − | Felet beror på att <b><span style="color:red">negativ</span></b> åldersskillnad inte är meningsfull. Åldersskillnad måste alltid vara <b><span style="color:red">positiv</span></b>.
| |
| − |
| |
| − | Lovisa som lärt sig <b><span style="color:red">absolutbelopp</span></b> på Matte 3-kursen föreslår att man ändrar formeln. Efter ändringen blir det så här:
| |
| − |
| |
| − | <table>
| |
| − | <tr>
| |
| − | <td><div style="border:1px solid black;
| |
| − | display:inline-block !important;
| |
| − | margin-left: 10px !important;
| |
| − | padding:10px 10px 10px 10px;
| |
| − | -webkit-border-radius: 10px;
| |
| − | -moz-border-radius: 5px;
| |
| − | border-radius: 5px;"><b><math> { \color{Red} |} \, \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female} \, { \color{Red} |} </math></b></div></td>
| |
| − | <td><math> \qquad\quad </math></td>
| |
| − | <td><math> { \color{Red} |} \, 25 \quad - \quad 20 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | <math> { \color{Red} |} \, 26 \quad - \quad 22 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 4 </math>
| |
| − |
| |
| − | <math> { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{7}}} </math></td>
| |
| − | <td><math> \quad </math></td>
| |
| − | <td><math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>
| |
| − |
| |
| − | <math> < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} </math>
| |
| − |
| |
| − | <math> {\color{Red} {\bf{>}}} \,\; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{inte\;ok}}}} </math></td>
| |
| − | </tr>
| |
| − | </table>
| |
| − |
| |
| − | Nu stämmer det, vilket beror på att Lovisa infogade de två raka strecken <math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> i formeln. Detta gav i den sista utskriften:
| |
| − |
| |
| − | ::<math> { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad { \color{Red} |} \, - 7 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 7 </math>
| |
| − |
| |
| − | <math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> tar bort minustecknet från <math> -7\, </math> och ger <math> 7\, </math>. Därför<span style="color:black">:</span> <math> { \color{Red} |} \, - 7 \, { \color{Red} |} = 7 </math>.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="border-divblue">
| |
| − | De två raka strecken <math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> som skrivs kring ett tal eller ett uttryck, kallas för <b><span style="color:red">absolutbelopp</span></b> och betyder:
| |
| − |
| |
| − | ::<b><span style="color:red">Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal och låta ett positivt tal vara oförändrat.</span></b>
| |
| − |
| |
| − | Kortare: Ett tals absolutbelopp är talets <b>positiva värde</b>, t.ex.:
| |
| − | </div>
| |
| − | <table>
| |
| − | <tr><td>
| |
| − | ::<math> | \, - 7 \, | \, = \, 7 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::<math> | \, - 0,5 \, | \, = \, 0,5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::<math> \left| \, - \sqrt{5} \, \right| \, = \, \sqrt{5} </math>
| |
| − | </td>
| |
| − | <td><math> \qquad\quad </math></td>
| |
| − | <td>
| |
| − | ::::<math> | \; 23 \; | \, = \, 23 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> | \, 7,25 \, | \, = \, 7,25 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \left| \, 0 \, \right| \, = \, 0 </math>
| |
| − | </td>
| |
| − | <td><math> \qquad\quad </math></td>
| |
| − | <td>
| |
| − | ::::<math> \displaystyle{ \left| \, {13\over 4} \, \right| \, = \, {13\over 4} } </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \displaystyle{ \left| \, - {2\over 3} \, \right| \, = \, {2\over 3} } </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3} </math>
| |
| − | </td>
| |
| − | <td><math> \qquad\quad </math></td>
| |
| − | <td>
| |
| − | ::::<math> | \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | </math> (se <small><b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b></small>)
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> | \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1 </math> (se <small><b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b></small>)
| |
| − | </td></tr>
| |
| − | </table>
| |
| − | <div class="border-divblue">
| |
| − | Absolutbelopp lämpar sig för att modellera storheter som till sin natur är <b>positiva</b> som t.ex. åldersskillnad.
| |
| − |
| |
| − | Andra exempel är avstånd, längd, area, volym, massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, antal objekt, <math> \, \ldots \; </math>.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | Vi tittar närmare på avstånd:
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel">
| |
| − | ==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Avstånd mellan två tal</span></b> ====
| |
| − |
| |
| − | Vad är avståndet mellan <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math>? Svar<span style="color:black">:</span> <math> \quad 5 \, - \, 2 \, = \, 3 </math>
| |
| − |
| |
| − | Vad är då avståndet mellan <math> -2 \, </math> och <math> -5 \, </math>? Gör man samma sak blir svaret<span style="color:black">:</span> <math> \quad -5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 </math>
| |
| − |
| |
| − | Men vi vet att avståndet mellan <math> -2 \, </math> och <math> -5 \, </math> är <math> 3 \, </math> och inte <math> -3 \, </math>. Ett avstånd kan inte vara negativt. Avstånd är alltid positivt.
| |
| − |
| |
| − | Korrekt svar<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | :::<math> {\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 </math>
| |
| − |
| |
| − | Fortfarande dras talen av från varandra, men absolutbelopp kring subtraktionen gör att resultatet blir positivt.
| |
| − |
| |
| − | Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | :::<math> { \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 </math>
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | Generellt gäller:
| |
| − |
| |
| − | <div class="border-divblue">
| |
| − | Avståndet mellan talen <math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> är <math> \; | \, a - b \, | \; </math> eller <math> \; | \, b - a \, | \; </math>.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | Det är irrelevant i vilken ordning talen skrivs. Det gäller<span style="color:black">:</span> <math> \quad | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, | </math>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Ett specialfall av avståndet mellan två tal är, när det ena talet är <math> \, 0 \, </math>:
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel">
| |
| − | ==== <b><span style="color:#931136">Exempel 3 Avstånd från <math> \, 0 \, </math></span></b> ====
| |
| − |
| |
| − | Om vi i den nya definitionen för avstånd <math> \, | \, a - b \, | \, </math> sätter in <math> a = 0 \, </math> och <math> b = -5 \, </math> för att beräkna avståndet mellan <math> 0 \, </math> och <math> -5 \, </math> får vi:
| |
| − |
| |
| − | :::<math> | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, | \, 5 \, | \, = \, 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | Och tar vi <math> \, | \, b - a \, | \, </math> blir det samma resultat:
| |
| − |
| |
| − | :::<math> | -5 - 0 \, | \, = \, | -5 \, | \, = \, 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | <math> 5 \, </math> är alltså talet <math> \, -5</math>:s avstånd från <math> 0 \, </math>.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal, även för komplexa (se exemplet <math> | \, i \, | = 1 </math> ovan och motivera!):
| |
| − |
| |
| − | <div class="border-divblue">
| |
| − | Ett tals absolutbelopp är talets avstånd från 0.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | </small>
| |
| − | </div> <!-- "ovnE" -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Alla hittills nämnda tolkningar av absolutbeloppet är utmärkta att använda i många sammanhang och ger oss en bra intuitiv uppfattning av begreppet.
| |
| − |
| |
| − | Men de är inga strikt matematiska definitioner och lämpar sig inte t.ex. för att lösa ekvationer eller olikheter som involverar absolutbelopp. Därför:
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="ovnC">
| |
| − | <small>
| |
| − | === <b><span style="color:#931136">Allmän definition, funktion och graf</span></b> ===
| |
| − | <div class="border-divblue">
| |
| − | <table>
| |
| − | <tr>
| |
| − | <td>Absolutbeloppet <math> \; | \, x \, | \; </math> av ett tal <math> x\, </math> definieras genom<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> | \, x \, | \, = \, \begin{cases} \;\, x & \mbox{om } x \geq 0 \\
| |
| − | -x & \mbox{om } x < 0 \\
| |
| − | \end{cases}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Grafen till <b><span style="color:#931136">funktionen <math> \; y = | \, x \, | \; </math></span></b> ser ut så här:
| |
| − |
| |
| − | </td>
| |
| − | <td><math> \qquad </math></td>
| |
| − | <td>[[Image: Övn 8.png]]</td>
| |
| − | </tr>
| |
| − | </table>
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla <math> x \, </math>.
| |
| − |
| |
| − | <b>OBS!</b> I följande exempel ska absolutbelopp bestämmas genom att använda den allmänna definitionen, inte intuitivt.
| |
| − | <!-- I förra avsnittets [[1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#.C3.96vning_8|<b><span style="color:blue">övn 8</span></b>]] hade vi redan stiftat bekantskap med den utan att nämna dess namn. -->
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel">
| |
| − | <b><span style="color:#931136">Exempel 1:</span></b>
| |
| − |
| |
| − | ::Vad är <math> | \, 7 \, | </math> enligt definitionen ovan?
| |
| − |
| |
| − | ::Eftersom <math> x = 7 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, 7 \, | = 7\, </math>.
| |
| − |
| |
| − | ::<b>Svar:</b> <math> \; | \, 7 \, | = 7 </math>.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel">
| |
| − | <b><span style="color:#931136">Exempel 2:</span></b>
| |
| − |
| |
| − | ::Vad är <math> | \, - 5 \, | </math> enligt definitionen ovan?
| |
| − |
| |
| − | ::Eftersom <math> x = -5 < 0\, </math> väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, - 5 \, | \, = \, -(-5) \, = \, 5 </math>.
| |
| − |
| |
| − | ::<b>Svar:</b> <math> \; | \, - 5 \, | = 5 </math>.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel">
| |
| − | <b><span style="color:#931136">Exempel 3:</span></b>
| |
| − |
| |
| − | ::Vad är <math> | \, 0 \, | </math> enligt definitionen ovan?
| |
| − |
| |
| − | ::Eftersom <math> x = 0 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, 0 \, | = 0\, </math>.
| |
| − |
| |
| − | ::<b>Svar:</b> <math> \; | \, 0 \, | = 0 </math>.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel">
| |
| − | <b><span style="color:#931136">Exempel 4:</span></b>
| |
| − |
| |
| − | ::Vad är <math> | \, a + 2 \, | </math> enligt definitionen ovan?
| |
| − |
| |
| − | ::Eftersom vi inte känner till <math> \, a</math>:s värde och därför inte vet om <math> \, a + 2 </math> blir positivt eller negativt, måste vi skilja mellan två fall:
| |
| − |
| |
| − | ::<u><b>Fall 1</b></u> <math> \quad a + 2 \geq 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad a \geq -2 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::Eftersom <math> x = a + 2 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, a + 2 \, | = a + 2\, </math>.
| |
| − |
| |
| − | ::<u><b>Fall 2</b></u> <math> \quad a + 2 < 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad a < -2 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::Eftersom <math> \; x = a + 2 < 0\, </math> väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, a + 2 \, | \, = \, -(a + 2) \, = \, -a - 2\, </math>.
| |
| − |
| |
| − | ::<b>Svar:</b> <math> \; | \, a + 2 \, | \, = \, \begin{cases} \;\, a + 2 & \mbox{om } a \geq -2 \\
| |
| − | -a-2 & \mbox{om } a < -2 \\
| |
| − | \end{cases}
| |
| − | </math>
| |
| − | </div> <!-- "exempel" -->
| |
| − |
| |
| − | </small>
| |
| − | </div> <!-- "ovnC" -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Exempel 4 visar: Vill man bli av med absolutbeloppstecknen i ett uttryck som involverar obekanta variabler, måste man alltid skilja mellan två olika fall enligt absolubeloppets allmänna definition. Detta kommer vi att göra nu hela tiden när vi löser ekvationer och olikheter som involverar absolutbelopp.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Ekvationer med absolutbelopp</span></b> ==
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | <div class="ovnC">
| |
| − | <small>
| |
| − | <div class="ovnE">
| |
| − | Lös ekvationen <math> \; \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 </math>
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Eftersom vi inte känner till <math> \, x \, </math> måste vi skilja mellan två fall, när vi tillämpar absolutbeloppets definition:
| |
| − |
| |
| − | <u><b>Fall 1</b></u> <math> \quad x + 1 \geq 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad x \geq -1 </math>
| |
| − |
| |
| − | Enligt absolutbeloppets definition väljs det första alternativet efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, x + 1 \, | </math> blir <math> x + 1\, </math>.
| |
| − |
| |
| − | Dvs i det här fallet kan vi ta bort absolutbeloppstecknen utan åtgärd. Ekvationen blir:
| |
| − |
| |
| − | ::<math>\begin{align} x + 1 & = 3 \\
| |
| − | x & = 3 - 1 \\
| |
| − | x_1 & = 2
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − |
| |
| − | Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i <b>Fall 1</b>, nämligen <math> \, x \geq -1 </math>.
| |
| − |
| |
| − | Men faktiskt är <math> 2 \geq -1 </math>. Därmed kan vi godta denna lösning.
| |
| − |
| |
| − | Annars hade den varit en s.k. falsk rot, dvs en beräknad "rot" som inte uppfyller ekvationen, se nästa uppgift.
| |
| − |
| |
| − | <b><span style="color:red">I ekvationer med absolutbelopp är sådana kontroller kring falska rötter obligatoriska.</span></b>
| |
| − |
| |
| − | <u><b>Fall 2</b></u> <math> \quad x + 1 < 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad x < -1 </math>
| |
| − |
| |
| − | Enligt absolutbeloppets definition väljs det andra alternativet efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, x + 1 \, | </math> blir <math> -(x + 1) = -x - 1\, </math>.
| |
| − |
| |
| − | Dvs i det här fallet måste vi ersätta <math> x + 1\, </math> med <math> -x - 1\, </math>, när vi tar bort absolutbeloppstecknen. Ekvationen blir:
| |
| − |
| |
| − | ::<math>\begin{align} -x - 1 & = 3 \\
| |
| − | -3 - 1 & = x \\
| |
| − | -4 & = x \\
| |
| − | x_2 & = -4
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − |
| |
| − | Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättningen vi gjorde i <b>Fall 2</b>, nämligen <math> \, x < -1\, </math>.
| |
| − |
| |
| − | Men faktiskt är <math> -4 < -1\, </math>. Därmed kan vi godta även denna lösning. Ekvationen har två lösningar.
| |
| − |
| |
| − | <b>Svar:</b> <div class="ovnE"><math> x_1 = 2 \quad {\rm och} \quad x_2 = -4 </math></div>
| |
| − | </small>
| |
| − | </div> <!-- "ovnC" -->
| |
| − |
| |
| − | <b>Ekvationens och lösningarnas grafiska tolkning:</b>
| |
| − |
| |
| − | Vi ritar i samma koordinatsystem graferna till de två funktioner som står i ekvationens resp. led:
| |
| − | <table>
| |
| − | <tr>
| |
| − | <td><math> \qquad\qquad \begin{align} y_1 & = | \, x + 1 \, | \\
| |
| − | \\
| |
| − | y_2 & = 3
| |
| − | \end{align}</math></td>
| |
| − | <td><math> \qquad\qquad </math></td>
| |
| − | <td>[[Image: Ex 1a.png]]</td>
| |
| − | </tr>
| |
| − | </table>
| |
| − | Likheten mellan leden<span style="color:black">:</span> <math> \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 \, </math> innebär att ekvationens lösningar är skärningspunkternas <math> \, x</math>-koordinater.
| |
| − |
| |
| − | Graferna visar att det finns två lösningar: två skärningspunkter.
| |
| − |
| |
| − | Skärningspunkternas <math> \, x</math>-koordinater <math> \, x_1 = 2\, </math> och <math> \, x_2 = -4\, </math> bekräftar de lösningar vi fått för ekvationen.
| |
| − |
| |
| | | | |
| | == <b><span style="color:#931136">Falska rötter</span></b> == | | == <b><span style="color:#931136">Falska rötter</span></b> == |
Ekvationer med absolutbelopp kan ha falska rötter (som rotekvationer). Här följer ett exempel:
Vi skriver om ekvationen till \( \; | \, x - 3 \, | \, = \, 2\,x \, + \, 1 \; \) och ritar i samma koordinatsystem graferna till de två funktionerna:
Graferna visar att det finns endast en lösning och deras skärningspunkt \( \displaystyle \, x \approx 0,67 \, = \, {2 \over 3} \, \) bekräftar den lösning vi fått för ekvationen \( \; \, | \, x - 3 \, | - 2\,x \, = \, 1 \; \).
där \( {\rm M } \) är intervallets mittpunkt och \( {\rm r } \) intervallets halva längd eller "radie".
För att beskriva en (sammanhängande) talmängd på talaxeln kan man antingen använda en olikhet med absolutbelopp eller ett intervall.
Lämnar man den endimensionella talaxeln och går över till det tvådimensionella punktplanet blir intervallet en cirkel.
Cirkelns inre punkter \( \, x \, \) kan beskrivas med samma olikhet som intervallet:
där \( \, {\rm M } \, \) är cirkelns mittpunkt, \( \, {\rm r } \, \) cirkelns radie och \( \, x \, \) alla punkter som har mindre avstånd från mittpunkten än radien.
där \( \, x \, \) är alla punkter som har samma avstånd \( \, {\rm r } \, \) från medelpunkten \( \, {\rm M } \).
Mera precis borde man tolka punkterna \( \, x \, \) och \( \, {\rm M } \, \) som vektorer från koordinatsystemets origo till resp. punkt och absolutbeloppet som differensvektorn \( \,( \vec{x} - {\rm \vec{M}})\):s längd \( | \, \vec{x} - {\rm \vec{M}} \, | \). Om vektorer repetera Matte 1, där vi hade betecknat en vektor \( \, \vec{x}\,\):s längd med \( \, | \, \vec{x} \, | \).
På liknande sätt kan man gå över till det tredimensionella rummet och betrakta klotet istället för cirkeln. Analogin fortsätter och den matematiska notationen är den samma, även i högre dimensioner än tre. Då ersätts absolutbeloppet av något som kallas för normen och betecknas med \( \; || \, \quad \, || \; \). Även normen kan fortfarande tolkas som en slags abstrakt "längd" eller "avstånd", beroende på sammanhanget.
