Skillnad mellan versioner av "1.7 Potenser"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 10: | Rad 10: | ||
| − | |||
== <b><span style="color:#931136">Vad är en potens?</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Vad är en potens?</span></b> == | ||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| Rad 20: | Rad 19: | ||
<div class="tolv"> <!-- tolv1 --> | <div class="tolv"> <!-- tolv1 --> | ||
| − | Felet beror på att man blandar ihop två olika räkneoperationer: multiplikationen med < | + | Felet beror på att man blandar ihop två olika räkneoperationer: multiplikationen med <b><span style="color:red">upphöjt till</span></b>. |
| − | + | ||
| − | + | ||
I själva verket betyder <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} \, </math> inte <math> \, 2 \cdot 3 \, </math> utan <math> \, \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, </math> som sedan förkortas till <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} </math>. | I själva verket betyder <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} \, </math> inte <math> \, 2 \cdot 3 \, </math> utan <math> \, \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, </math> som sedan förkortas till <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} </math>. | ||
| Rad 34: | Rad 31: | ||
::<math> 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} </math> | ::<math> 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} </math> | ||
| − | <span style="color:#931136">Potens</span> = upprepad multiplikation | + | <b><span style="color:#931136">Potens</span></b> = upprepad multiplikation |
av <math> \, 2 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger. | av <math> \, 2 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger. | ||
| Rad 45: | Rad 42: | ||
<div class="tolv"> <!-- tolv2 --> | <div class="tolv"> <!-- tolv2 --> | ||
| − | <math> \, 2\,^3 \, </math> läses <math> \, {\color{Red} 2} </math> < | + | <math> \, 2\,^3 \, </math> läses <math> \, {\color{Red} 2} </math> <b><span style="color:red">upphöjt till</span></b><math> \, {\color{Red} 3} \, </math> och kallas för <b><span style="color:red">potens</span></b>. <math> \, 2\, </math> heter <b><span style="color:red">basen</span></b> och <math> \, 3 \, </math> <b><span style="color:red">exponenten</span></b>. |
| + | |||
| + | Exponenten <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att <math> \, 2 \, </math> ska multipliceras <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger med sig själv (jfr. [[1.2_Räkneordning#Varf.C3.B6r_g.C3.A5r_multiplikation_f.C3.B6re_addition.3F|<b><span style="color:blue">upprepad addition</span></b>]]). | ||
| − | + | Därför det är fel att multiplicera <math> \, 2 \, </math> med <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> när man ska beräkna <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} </math>. | |
</div> <!-- tolv2 --> | </div> <!-- tolv2 --> | ||
| Rad 57: | Rad 56: | ||
| − | < | + | <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> <math> \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math> |
:::::::::::::::::OBS! Förenkla alltid först, räkna sedan! | :::::::::::::::::OBS! Förenkla alltid först, räkna sedan! | ||
| Rad 64: | Rad 63: | ||
</big> | </big> | ||
</div> <!-- exempel1 --> | </div> <!-- exempel1 --> | ||
| − | |||
<div class="tolv"> <!-- tolv2 --> | <div class="tolv"> <!-- tolv2 --> | ||
| − | För att förstå den snabbare lösningen | + | För att förstå den snabbare lösningen måste man känna till: |
</div> <!-- tolv2 --> | </div> <!-- tolv2 --> | ||
| + | |||
| + | == <b><span style="color:#931136">Potenslagarna</span></b> == | ||
| + | <div class="tolv"> <!-- tolv3 --> | ||
| + | |||
| + | Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> godtyckliga tal och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>): | ||
| + | </div> <!-- tolv3 --> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="border-divblue"> | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Första potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad </math></big> | ||
| + | ---- | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Andra potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad </math></big> | ||
| + | ---- | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Tredje potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad </math></big> | ||
| + | ---- | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad </math></big> | ||
| + | ---- | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent:</span></b> <big><math> \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad </math></big> | ||
| + | ---- | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Potens av en produkt:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad </math></big> | ||
| + | ---- | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Potens av en kvot:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad </math></big> | ||
| + | </div> <!-- border-divblue --> | ||
| Rad 87: | Rad 108: | ||
| − | < | + | <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> |
::::<big><math> a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}</math></big> | ::::<big><math> a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}</math></big> | ||
| Rad 99: | Rad 120: | ||
<div class="tolv"> <!-- tolv2 --> | <div class="tolv"> <!-- tolv2 --> | ||
| − | Den snabbare lösningen är ett exempel på den första potenslagen | + | Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen. |
</div> <!-- tolv2 --> | </div> <!-- tolv2 --> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| Rad 145: | Rad 137: | ||
| − | <div class="tolv"> <!-- | + | <div class="tolv"> <!-- tolv3a --> |
| − | + | För enkelhets skull definierades potensbegreppet inledningsvis endast för positiva heltalsexponenter. Men potenslagarna gäller även för exponenter som är negativa. Vi börjar med enkla <math> \, 10</math>-potenser och några negativa exponenter: | |
| − | + | </div> <!-- tolv3a --> | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | </div> <!-- | + | |
| Rad 180: | Rad 156: | ||
<div class="tolv"> <!-- tolv4a --> | <div class="tolv"> <!-- tolv4a --> | ||
| + | Nu går vi över till den allmänna basen <math> \, a \, </math> och bevisar lagen generellt för alla negativa exponenter: | ||
| + | |||
'''Påstående (Lagen om negativ exponent, <math> \, x > 0 </math>)''': | '''Påstående (Lagen om negativ exponent, <math> \, x > 0 </math>)''': | ||
| Rad 186: | Rad 164: | ||
'''Bevis''': | '''Bevis''': | ||
| − | |||
| − | |||
::::<big><math> \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} </math></big> | ::::<big><math> \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} </math></big> | ||
| − | + | In den första likheten har vi använt lagen om nollte potens baklänges<span style="color:black">:</span> <math> \; 1 = a^0 \; </math>. | |
| + | |||
| + | In den andra likheten har vi använt andra potenslagen<span style="color:black">:</span> <math> \; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \; </math>. | ||
| + | |||
| + | Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges. | ||
</div> <!-- tolv4a --> | </div> <!-- tolv4a --> | ||
<div class="tolv"> <!-- tolv5 --> | <div class="tolv"> <!-- tolv5 --> | ||
| − | + | Exemplen nedan illustrerar att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter och <b><span style="color:red">nollte potensen</span></b> däremellan: | |
| + | |||
| + | (Potens <math> \; = \; </math> upprepad multiplikation) | ||
</div> <!-- tolv5 --> | </div> <!-- tolv5 --> | ||
| − | |||
| − | |||
== <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 \; </math>?</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 \; </math>?</span></b> == | ||
| − | |||
| − | + | <div class="ovnE"> | |
| + | ::<math> \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math> | ||
| − | + | ::<math> \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math> | |
| − | + | ::<math> \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 </math> | |
| − | + | ::<math> \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 </math> | |
| − | + | ::<math> \; \boxed{{\color{Red} {5^0 \; = \; 1}}} </math> | |
| − | + | ::<math> \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} </math> | |
| − | + | ::<math> \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} </math> | |
| − | + | ::<math> \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} </math> | |
| − | + | ::<math> \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } </math> | |
| − | Att <math> \; {\color{Red} 1} </math>-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens | + | Att <math> \; {\color{Red} 1} </math>-orna följer med hela tiden beror på att <b><span style="color:red">multiplikationens enhet</span></b> är <math> \, {\color{Red} 1} </math>, dvs <math> \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a </math>. |
| − | + | ||
| − | </div | + | Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 1} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5^0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit. |
| + | </div> | ||
<div class="tolv"> <!-- tolv5 --> | <div class="tolv"> <!-- tolv5 --> | ||
| − | Jämför med: | + | Jämför med produkter med negativa faktorer som är en naturlig fortsättning på produkter med positiva faktorer och <b><span style="color:red">nollprodukten</span></b> däremellan: |
| + | |||
| + | (Produkt <math> \; = \; </math> upprepad addition<span style="color:black">:</span> <math> \, {\color{Red} 0} \, </math> tar över rollen av <math> \, {\color{Red} 1} </math>) | ||
</div> <!-- tolv5 --> | </div> <!-- tolv5 --> | ||
| − | |||
| − | |||
== <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; </math>?</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; </math>?</span></b> == | ||
| − | |||
| − | + | <div class="ovnC"> | |
| + | ::<math> \;\; 5 \cdot 4 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 + 5 </math> | ||
| − | + | ::<math> \;\; 5 \cdot 3 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 </math> | |
| − | + | ::<math> \;\; 5 \cdot 2 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 </math> | |
| − | + | ::<math> \;\; 5 \cdot 1 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 </math> | |
| − | + | ::<math> \; \boxed{{\color{Red} {5 \cdot 0 \; = \; 0}}} </math> | |
| − | + | ::<math> \;\; 5 \cdot (-1) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 </math> | |
| − | + | ::<math> \;\; 5 \cdot (-2) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 </math> | |
| − | ::::<math> \;\; 5 \cdot (- | + | ::<math> \;\; 5 \cdot (-3) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 </math> |
| + | |||
| + | ::<math> \;\; 5 \cdot (-4) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 - 5 </math> | ||
| + | |||
| + | Att <math> \; {\color{Red} 0} </math>-orna följer med hela tiden beror på att <b><span style="color:red">additionens enhet</span></b> är <math> \, {\color{Red} 0} </math>, dvs <math> \, a + {\color{Red} 0} \, = \, a </math>. | ||
| + | |||
| + | Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 0} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5 \cdot 0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit. | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="tolv"> <!-- tolv2 --> | ||
| + | Exemplen ovan var illustrationer för lagen om nollte potens. Här följer ett bevis: | ||
| + | |||
| + | |||
| + | '''Påstående (Lagen om nollte potens)''': | ||
| + | |||
| + | ::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big> | ||
| + | |||
| + | '''Bevis''': | ||
| + | |||
| + | Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen: | ||
| + | |||
| + | ::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 </math></big> | ||
| + | |||
| + | Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet <math> \, 1 </math>: | ||
| + | |||
| + | ::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 </math></big> | ||
| + | |||
| + | Av raderna ovan följer påståendet: | ||
| + | |||
| + | ::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big> | ||
| + | </div> <!-- tolv4 --> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
Versionen från 22 september 2016 kl. 13.32
| \( \pmb{\gets} \) Förra demoavsnitt | Genomgång | Grundpotensform | Övningar | Diagnosprov kap 1 |
Innehåll
Vad är en potens?
\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2\,^3 \; = \; 6 \]
\[ \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 2\,^3 \; = \; 2 \cdot 2 \cdot 2 \; = \; 4 \cdot 2 \; = \; 8 \]
Felet beror på att man blandar ihop två olika räkneoperationer: multiplikationen med upphöjt till.
I själva verket betyder \( \, 2\,^{\color{Red} 3} \, \) inte \( \, 2 \cdot 3 \, \) utan \( \, \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, \) som sedan förkortas till \( \, 2\,^{\color{Red} 3} \).
Exempel på potens:
Potens = upprepad multiplikation av \( \, 2 \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger. |
 |
\( \, 2\,^3 \, \) läses \( \, {\color{Red} 2} \) upphöjt till\( \, {\color{Red} 3} \, \) och kallas för potens. \( \, 2\, \) heter basen och \( \, 3 \, \) exponenten.
Exponenten \( \, {\color{Red} 3} \, \) är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att \( \, 2 \, \) ska multipliceras \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger med sig själv (jfr. upprepad addition).
Därför det är fel att multiplicera \( \, 2 \, \) med \( \, {\color{Red} 3} \, \) när man ska beräkna \( \, 2\,^{\color{Red} 3} \).
Exempel 1
Förenkla: \( \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \)
Lösning: \( \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)
- OBS! Förenkla alltid först, räkna sedan!
Snabbare: \( \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)
För att förstå den snabbare lösningen måste man känna till:
Potenslagarna
Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( \, x \, \) och \( \, y \, \) godtyckliga tal och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)):
Första potenslagen: \( \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad \)
Andra potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad \)
Tredje potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad \)
Lagen om nollte potens: \( \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad \)
Lagen om negativ exponent: \( \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad \)
Potens av en produkt: \( \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad \)
Potens av en kvot: \( \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad \)
Potens med positiva heltalsexponenter
Potensen \( \, a\,^{\color{Red} x} \, \) kan, om exponenten \( \, {\color{Red} x} \, \) är ett positivt heltal och basen \( \, a \, \) ett tal \( \neq 0 \), definieras som
- Upprepad multiplikation av \( \, a \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} x} \, \) gånger:
- \( a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \)
Exempel 2
Förenkla: \( \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 \)
Lösning:
- \( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}\)
Snabbare:
- \( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; a\,^{2\,+\,3} = \; a\,^{\color{Red} 5} \)
Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen.
Exempel 3
- \( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 \)
Snabbare med andra potenslagen:
- \( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 \)
För enkelhets skull definierades potensbegreppet inledningsvis endast för positiva heltalsexponenter. Men potenslagarna gäller även för exponenter som är negativa. Vi börjar med enkla \( \, 10\)-potenser och några negativa exponenter:
Exempel på potenser med negativa exponenter
- \[ \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} \]
- \[ \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} \]
- \[ \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} \]
Nu går vi över till den allmänna basen \( \, a \, \) och bevisar lagen generellt för alla negativa exponenter:
Påstående (Lagen om negativ exponent, \( \, x > 0 \)):
- \( a^{-x} = \displaystyle{1 \over a^x} \)
Bevis:
- \( \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} \)
In den första likheten har vi använt lagen om nollte potens baklänges: \( \; 1 = a^0 \; \).
In den andra likheten har vi använt andra potenslagen: \( \; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \; \).
Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges.
Exemplen nedan illustrerar att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter och nollte potensen däremellan:
(Potens \( \; = \; \) upprepad multiplikation)
Varför är \( \; 5\,^0 \, = \, 1 \; \)?
- \[ \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
- \[ \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
- \[ \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \]
- \[ \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \]
- \[ \; \boxed{{\color{Red} {5^0 \; = \; 1}}} \]
- \[ \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} \]
- \[ \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} \]
- \[ \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} \]
- \[ \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } \]
Att \( \; {\color{Red} 1} \)-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens enhet är \( \, {\color{Red} 1} \), dvs \( \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a \).
Därför blir endast \( \, {\color{Red} 1} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5^0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.
Jämför med produkter med negativa faktorer som är en naturlig fortsättning på produkter med positiva faktorer och nollprodukten däremellan:
(Produkt \( \; = \; \) upprepad addition: \( \, {\color{Red} 0} \, \) tar över rollen av \( \, {\color{Red} 1} \))
Varför är \( \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; \)?
- \[ \;\; 5 \cdot 4 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 + 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot 3 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot 2 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot 1 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 \]
- \[ \; \boxed{{\color{Red} {5 \cdot 0 \; = \; 0}}} \]
- \[ \;\; 5 \cdot (-1) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot (-2) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot (-3) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot (-4) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 - 5 \]
Att \( \; {\color{Red} 0} \)-orna följer med hela tiden beror på att additionens enhet är \( \, {\color{Red} 0} \), dvs \( \, a + {\color{Red} 0} \, = \, a \).
Därför blir endast \( \, {\color{Red} 0} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5 \cdot 0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.
Exemplen ovan var illustrationer för lagen om nollte potens. Här följer ett bevis:
Påstående (Lagen om nollte potens):
- \( a^0 \; = \; 1 \)
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:
- \( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 \)
Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet \( \, 1 \):
- \( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 \)
Av raderna ovan följer påståendet:
- \( a^0 \; = \; 1 \)
Internetlänkar
https://www.youtube.com/watch?v=BMEOkzq3Xo4
http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
Copyright © 2010-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
