Skillnad mellan versioner av "2.5 Deriveringsregler"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
Rad 13: Rad 13:
  
 
[[Media: Lektion 20 Deriveringsregler II Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 20 Deriveringsregler II</span></strong>]]
 
[[Media: Lektion 20 Deriveringsregler II Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 20 Deriveringsregler II</span></strong>]]
−
__NOTOC__ <!-- __TOC__ -->
+
__NOTOC__
 
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
 
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
 
Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis behandlas i fliken [[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]].
 
Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis behandlas i fliken [[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]].
Rad 19: Rad 19:
  
 
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en konstant</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en konstant</span></b> ==
 +
<br>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>'''Regel:''' &nbsp;&nbsp; Derivatan av en konstant är 0.</b>
  
−
'''Regel:'''
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Om <math> \;\; f(x) \; = \: c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
−
<div class="border-div2"><big>
+
−
<b>Derivatan av en konstant är 0.</b>
+
  
−
Om <math> \;\; f(x) \; = \: c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;då <math> \;\; f\,'(x) \; = \: 0 </math>.
  
−
då <math> \;\; f\,'(x) \; = \: 0 </math>.
+
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<strong><span style="color:blue">Fördjupning: Derivatan av en konstant</span></strong>]].
−
</big></div>
+
</div>
  
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel1 -->
+
 
−
'''Exempel:'''
+
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
  
 
För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \: -5 \; </math> blir derivatan:
 
För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \: -5 \; </math> blir derivatan:
  
−
:::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \: 0 </math>
+
:::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \: 0 </math></div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]].
+
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en linjär funktion</span></b> ==
−
</div> <!-- exempel1 -->
+
<br>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>'''Regel:''' &nbsp;&nbsp; Derivatan av en linjär funktion är konstant.</b>
  
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Om <math> \;\; f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } </math>
  
−
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en linjär funktion</span></b> ==
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; k </math>
  
−
'''Regel:'''
+
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_linjär_funktion|<strong><span style="color:blue">Fördjupning: Derivatan av en linjär funktion</span></strong>]].
−
<div class="border-div2"><big>
+
</div>
−
<b>Derivatan av en linjär funktion är konstant.</b>
+
  
−
Om <math> \;\; f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } </math>
 
  
−
då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; k </math>
 
−
</big></div>
 
  
−
 
+
</td>
−
<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
+
  <td><math> \qquad </math></td>
−
'''Exempel:'''
+
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
  
 
För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \; -8\,x + 9 \; </math> blir derivatan:
 
För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \; -8\,x + 9 \; </math> blir derivatan:
  
 
:::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \; -8 </math>
 
:::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \; -8 </math>
−
 
+
</div></td>
−
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_linjär_funktion|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]].
+
</tr>
−
</div> <!-- exempel2 -->
+
</table>
−
 
+
  
 
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en kvadratisk funktion</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en kvadratisk funktion</span></b> ==
 +
<br>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>'''Regel:'''
  
−
'''Regel:'''
+
Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion:</b>
−
<div class="border-div2"><big>
+
−
<b>Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.</b>
+
  
 
Om <math> \;\; f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } </math>
 
Om <math> \;\; f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } </math>
  
 
då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b </math>
 
då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b </math>
−
</big></div>
 
  
 +
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_kvadratisk_funktion|<strong><span style="color:blue">Fördjupning: Derivatan av en kvadratisk funktion</span></strong>]].
 +
</div>
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
 
−
'''Exempel 1:'''
 
  
−
:För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \; 5\,x^2 - 3\,x + 6 </math> blir derivatan:
 
  
−
::::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \; 10\,x - 3 </math>
 
  
−
'''Exempel 2:'''
+
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel 1'''
  
−
:För funktionen &nbsp; <math> f(x) \; = \; -25\,x^2 + 16\,x - 90</math> blir derivatan:
+
För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \; 5\,x^2 - 3\,x + 6 \; </math> blir derivatan:
  
−
::::::<math> f\,'(x) \; = \; 2\cdot (-25)\,x + 16 \; = \; - 50\,x + 16 </math>
+
:::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \; 10\,x - 3 </math>
  
−
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_kvadratisk_funktion|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]].
+
'''Exempel 2'''
−
</div>  <!-- exempel3 -->
+
  
 +
För funktionen &nbsp; <math> f(x) \; = \; -25\,x^2 + 16\,x - 90 \; </math> blir derivatan:
  
−
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en potensfunktion</span></b> ==
+
:::::<math> f\,'(x) \; = \; 2\cdot (-25)\,x + 16 \; = \; - 50\,x + 16 </math>
 +
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en potens</span></b> ==
 +
<br>
 +
<!-- '''Viktigt specialfall:''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <big><math> {\color{Red} {a \,=\, }} </math></big><math> {\color{Red} 1}\, </math> -->
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue"><big>
 +
<b>Regeln om derivatan av en potens:</b>
  
−
'''Regel:'''
+
Om <math> \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} </math>
−
<div class="border-div2"><big>
+
−
<b>Derivatan av en potensfunktion är en annan potensfunktion med en grad lägre.</b>
+
  
−
:::::Om <math> \;\; f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } </math>
+
då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} </math>
  
−
:::::då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} </math>
+
</big></div></td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td>
  
−
</big></div>
+
<div class="ovnE">
 +
'''Exempel 1''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> positivt heltal:
  
 +
För funktionen <math> f(x) = x^5 \; </math> blir derivatan:
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
+
:::::<math> f\,'(x) = 5\,x^4 </math>
−
<strong><span style="color:red">Konstanten</span></strong> <big><math> {\color{Red} a} </math></big> tas oförändrad över till derivatan.
+
</div>
  
−
Regeln om att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> får ingen tillämpning här, därför att konstanten <math> a\, </math> inte är en additiv term här utan bunden till produkten <math> a \cdot x\,^n </math> som en <strong><span style="color:red">faktor</span></strong> framför potensen, se regeln för  [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_funktion_med_en_konstant_faktor|<strong><span style="color:blue">derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></strong>]].
+
</td>
−
</div> <!-- tolv2 -->
+
</tr>
 +
</table>
  
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
+
<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
−
'''Exempel:'''
+
Denna regel är den <strong><span style="color:red">viktigaste formeln</span></strong> för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel.
  
−
För funktionen <math> f(x) = 12\,x^4\, </math> blir derivatan:
+
Regeln gäller för <strong><span style="color:red">ALLA exponenter</span></strong> <big><math> {\color{Red} n} </math></big>, dvs inte bara för positiva (ex. 1) utan även för negativa heltalsexponenter (ex. 2) och t.o.m. för bråktal i exponenten (ex. 3).
 +
</div> <!-- tolv3 -->
  
−
:::::<math> f\,'(x) = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 </math>
 
−
</div>  <!-- exempel4 -->
 
  
 +
<div class="ovnE">
 +
'''Exempel 2''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> negativt heltal:
  
−
'''Viktigt specialfall:''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <big><math> a \,=\, </math></big><math> 1\, </math>  
+
Derivera funktionen <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> med hjälp av regeln om derivatan av en potens.
  
−
<div class="border-divblue"><big>
+
Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \displaystyle {1 \over x} </math> till en potens:
−
<b>Derivatan av en potens:</b>
+
  
−
Om <math> \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} </math>
+
::<math> f(x) = {1 \over x} = x^{-1} </math>
  
−
då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} </math>
+
Därmed är <math> \,n = -1 </math> och vi kan sätta in <math> \, n = -1 </math> i regeln om derivatan av en potens och får:
  
−
</big></div>
+
::<math> f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} </math>
 +
</div>
  
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
+
<div class="ovnE">
−
Denna regel som kan anses som den viktigaste formel för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel.
+
'''Exempel 3''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> bråktal:
  
−
Dessutom gäller regeln för <strong><span style="color:red">ALLA exponenter</span></strong> <big><math> {\color{Red} n} </math></big>, dvs inte bara för positiva utan även för negativa heltalsexponenter och t.o.m. för bråktal i exponenten.
+
Derivera funktionen <math> f(x) = \sqrt{x} </math> med hjälp av regeln om derivatan av en potens.
−
</div> <!-- tolv3 -->
+
  
 +
Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \sqrt{x} </math> till en potens:
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel5 -->
+
::<math> f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} </math>
−
'''Exempel 1''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> positivt heltal:
+
  
−
:För funktionen <math> f(x) = x^5\, </math> blir derivatan:
+
Därmed är <math> n = {1 \over 2} </math> och vi kan sätta in <math> n = {1 \over 2} </math> i regeln om derivatan av en potens och får:
  
−
::::::<math> f\,'(x) = 5\,x^4 </math>
+
::<math> f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
 +
</div>
  
−
'''Exempel 2''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> negativt heltal:
 
  
−
:Derivera funktionen <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
+
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></b> ==
 +
<br>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>'''Regel:'''
  
−
:Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \displaystyle {1 \over x} </math> till en potens:
+
En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:</b>
  
−
:::<math> f(x) = {1 \over x} = x^{-1} </math>
+
::Om <math> y    =  a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} </math>
  
−
:Därmed är <math> \,n = -1 </math> och vi kan sätta in <math> \, n = -1 </math> i regeln för derivatan av en potens och får:
+
::då <math> y\,'  = a\cdot f\,'(x) </math>
  
−
:::<math> f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} </math>
+
</div>
  
−
'''Exempel 3''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> bråktal:
 
  
−
:Derivera funktionen <math> f(x) = \sqrt{x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
+
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
  
−
:Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \sqrt{x} </math> till en potens:
+
För funktionen <math> y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} \; </math> blir derivatan:
  
−
:::<math> f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} </math>
+
:::::<math> y\,' \, = \,\, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} </math>
  
−
:Därmed är <math> n = {1 \over 2} </math> och vi kan sätta in <math> n = {1 \over 2} </math> i regeln för derivatan av en potens och får:
+
Här har resultatet från Exempel 3 på [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potens|<strong><span style="color:blue">Regeln om derivatan av en potens</span></strong>]] använts:
  
−
:::<math> f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
+
::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
−
</div> <!-- exempel5 -->
+
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en summa av funktioner</span></b> ==
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
'''Tillämpning av regeln ovan på en potensfunktion:'''
  
−
'''Regel:'''
+
::Om <math> \;\; y \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } </math>
−
<div class="border-div2"><big>
+
−
<b>En summa av funktioner kan deriveras termvis:</b>
+
  
−
:::Om <math> \;\; y     = f(x) + g(x)\, </math>
+
::då <math> \;\; y\,' \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} </math>
  
−
:::då <math> \;\; y\,'  =  f\,'(x) + g\,'(x) </math>
+
</div></td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
  
−
</big></div>
+
För funktionen <math> y = 12\,x^4 \; </math> blir derivatan:
  
 +
:::::<math> y\,' = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 </math>
 +
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
 +
<strong><span style="color:red">OBS! &nbsp; Konstanten</span></strong> <big><math> {\color{Red} a} </math></big> tas oförändrad över till derivatan.
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel6 -->
+
Regeln om att [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<strong><span style="color:blue">derivatan av en konstant</span></strong>]] är <math> \, 0\, </math> får ingen tillämpning här, därför att konstanten <math> a\, </math> inte är en additiv term här utan bunden till produkten <math> a \cdot x\,^n </math> som en <strong><span style="color:red">faktor</span></strong> framför potensen och därför inte kan separeras från den:
−
'''Exempel 1''':
+
</div> <!-- tolv2 -->
  
−
För funktionen <math> \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} </math> blir derivatan:
 
  
−
:::::<math> y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math>
+
== <b><span style="color:#931136">Konstant faktor vs. additiv konstant</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
 +
I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> &nbsp; en <strong><span style="color:red">konstant faktor</span></strong> i funktionsuttrycket.
  
−
Här har vi använt de resultat vi fick i Exempel 2 och 3 från regeln för derivatan av en potens, nämligen att:
+
Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln ovan om att en konstant faktor förblir oförändrad vid derivering.
  
−
:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> &nbsp; och
+
I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> en <strong><span style="color:red">additiv konstant</span></strong> i funktionsuttrycket.
  
−
:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
+
Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 0 \,+\,  \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln om att derivatan av en konstant är <math> \, 0\, </math>.
  
−
Regeln ovan kan användas för att derivera polynom termvis.
+
Att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> innebär <strong><span style="color:red">inte</span></strong> att derivatan av &nbsp; <math> a\cdot f(x) </math> &nbsp; blir &nbsp; <math> 0\cdot f\,'(x) </math> &nbsp; och därmed <math> 0\, </math>. Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se [[2.5_Deriveringsregler#Produkt_och_kvot_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">Produkt och kvot av funktioner</span></strong>]].  
  
−
'''Exempel 2:'''
+
[[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<strong><span style="color:blue">Regeln om derivatan av en konstant</span></strong>]] innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är <math> 0\, </math>. Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:
 +
</div> <!-- tolv5 -->
  
−
För polynomfunktionen <math> f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 </math> blir derivatan:
 
  
−
:::::::<math> f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 </math>
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>'''Regel:'''
  
−
Se även [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_ett_polynom|<strong><span style="color:blue">Derivatan av ett polynom</span></strong>]].
+
Derivatan av en additiv konstant är <math> 0\, </math>.</b>
−
</div> <!-- exempel6 -->
+
  
 +
Om <math> \; y \; = \; c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
  
−
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></b> ==
+
då <math> \; y' \; = \; 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) </math>.
  
−
'''Regel:'''
+
</div>
−
<div class="border-div2"><big>
+
−
<b>En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:</b>
+
  
−
::Om <math> y    =  a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} </math>
 
  
−
::då <math> y\,'  =  a\cdot f\,'(x) </math>
+
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel'''
  
−
</big></div>
+
För funktionen <math> \; f(x) \; = \; -5 + \displaystyle {1\over x} \; </math> blir derivatan:
  
 +
:::::<math> \; f\,'(x) \; = \; 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} </math>
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel7 -->
+
Här har resultatet från Exempel 2 på [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potens|<strong><span style="color:blue">Regeln om derivatan av en potens</span></strong>]] använts:
−
'''Exempel''':
+
  
−
För funktionen <math> y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} </math> blir derivatan:
+
:::Derivatan av &nbsp; <math> y = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
 +
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
:::::<math> y\,' \, = \,\, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} </math>
+
<big>I exemplet ovan användes redan följande regel:</big>
  
−
Även här har vi använt resultatet från [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 3</span></strong>]], nämligen:
 
  
−
::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
+
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en summa av funktioner</span></b> ==
−
</div> <!-- exempel7 -->
+
<br>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue">
 +
<b>'''Regel:'''
  
 +
En summa av funktioner kan deriveras termvis.</b>
  
−
== <b><span style="color:#931136">Vad är en konstant faktor och vad är en additiv konstant och hur deriveras de?</span></b> ==
+
:::Om <math> \;\; y     = f(x) + g(x)\, </math>
−
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
+
−
I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> &nbsp; en <strong><span style="color:red">konstant faktor</span></strong> i funktionsuttrycket.
+
  
−
Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_funktion_med_en_konstant_faktor|<strong><span style="color:blue">derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></strong>]].
+
:::då <math> \;\; y\,'  = f\,'(x) + g\,'(x) </math>
  
−
I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> en <strong><span style="color:red">additiv konstant</span></strong> i funktionsuttrycket.
+
</div>
  
−
Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 0 \,+\,  \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<strong><span style="color:blue">derivatan av en konstant</span></strong>]].
 
  
−
Att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> innebär <strong><span style="color:red">inte</span></strong> att derivatan av &nbsp; <math> a\cdot f(x) </math> &nbsp; blir &nbsp; <math> 0\cdot f\,'(x) </math> &nbsp; och därmed <math> 0\, </math>. Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se [[2.5_Deriveringsregler#Produkt_och_kvot_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">Produkt och kvot av funktioner</span></strong>]].
+
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
'''Exempel 1'''
  
−
Regeln för derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är <math> 0\, </math>. Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:
+
För polynomfunktionen
−
</div> <!-- tolv5 -->
+
  
 +
<math> \quad f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \; </math> blir derivatan<span style="color:back">:</span>
  
−
'''Regel:'''
+
<math> \quad f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 </math>
−
<div class="border-div2"><big>
+
−
<b>Derivatan av en additiv konstant är <math> 0\, </math>.</b>
+
  
−
Om <math> \; y \; = \; c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
+
Se även [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_ett_polynom|<strong><span style="color:blue">Derivatan av ett polynom</span></strong>]].
 +
</div></td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
då <math> \; y' \; = \; 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) </math>.
 
−
</big></div>
 
  
 +
<div class="ovnE">
 +
'''Exempel 2'''
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel8 -->
+
För funktionen <math> \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} \; </math> blir derivatan:
−
'''Exempel:'''
+
  
−
För funktionen <math> \; f(x) \; = \; -5 + \displaystyle {1\over x} {\color{White} x} </math> blir derivatan:
+
:::::<math> y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math>
  
−
:::::<math> \; f\,'(x) \; = \; 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} </math>
+
Här har resultaten från Exempel 2 och 3 på [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potens|<strong><span style="color:blue">Regeln om derivatan av en potens</span></strong>]] använts:
  
−
Här har vi använt resultatet från [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 2</span></strong>]], nämligen:
+
:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> &nbsp; och
  
−
:::Derivatan av &nbsp; <math> y = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
+
:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
−
</div> <!-- exempel8 -->
+
</div>
  
  
Rad 282: Rad 337:
  
 
Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner:
 
Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner:
 +
</div> <!-- tolv7 -->
  
  
−
'''1)''' &nbsp; En <strong><span style="color:red">produkt</span></strong> av funktioner kan <strong><span style="color:red">inte</span></strong> deriveras faktorvis.
+
<table>
−
</div> <!-- tolv7 -->
+
<tr>
−
<div class="exempel"> <!-- exempel9 -->
+
  <td><div class="ovnE">
−
:'''Exempel:'''
+
<b>En produkt av funktioner kan inte deriveras faktorvis.</b>
  
−
:::<math> y = x \cdot \sqrt x </math>
 
  
−
:::<math> y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
+
'''Exempel'''
  
−
:'''Rätt:'''
+
::<math> y = x \cdot \sqrt x </math>
 +
 
 +
::<math> y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
 +
 
 +
'''Rätt:'''
 
 
 
 
−
:::<math> y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} </math>  
+
::<math> y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} </math>
 +
 
 +
::<math> y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x </math>
 +
</div>
 +
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td><div class="ovnE">
 +
<b>Inte heller en kvot av funktioner kan deriveras så att täljaren deriveras
 +
 
 +
för sig och nämnaren för sig.</b>
  
−
:::<math> y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x </math>
 
−
</div> <!-- exempel9 -->
 
  
 +
'''Exempel'''
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv8 -->
+
::<math> y \,=\, \displaystyle {1 \over x} </math>
−
'''2)''' &nbsp; Inte heller en <strong><span style="color:red">kvot</span></strong> av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig.
+
−
</div> <!-- tolv8 -->
+
−
<div class="exempel"> <!-- exempel10 -->
+
−
:'''Exempel:'''
+
  
−
:::<math> y \,=\, \displaystyle {1 \over x} </math>
+
::<math> y\,' \,\neq\, {0 \over 1} \,=\, 0 </math>
  
−
:::<math> y\,' \,\neq\, {0 \over 1} \,=\, 0 </math>
+
'''Rätt:'''
  
−
:'''Rätt:'''
+
::<math> y = \displaystyle{1 \over x} = x^{-1} \quad \Rightarrow \quad y\,' = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2}</math>
  
−
:::<math> y\,' \,=\, \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
+
</div></td>
−
</div> <!-- exempel10 -->
+
</tr>
 +
</table>
  
  
Rad 325: Rad 389:
  
 
<div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
 
<div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
−
Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där <math> c,\,a,\,k,\,m,\,n </math> är konstanter medan <math> x\, </math> och <math> y\, </math> är variabler:
+
Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där <math> c,\,a,\,k,\,m,\,n </math> är konstanter medan <math> \, x\, </math> och <math> \, y\, = \, f(x) </math> är variabler:
  
−
:::::{| class="wikitable"
+
<div class="border-divblue">
 +
{| class="wikitable"
 
|-
 
|-
 
! <math> y\, </math> || <math> y\,' </math>  
 
! <math> y\, </math> || <math> y\,' </math>  
Rad 350: Rad 415:
 
|-
 
|-
 
| align=center| <math> \sqrt{x} </math> ||align=center| <math> \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>  
 
| align=center| <math> \sqrt{x} </math> ||align=center| <math> \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>  
−
|-
 
−
| align=center| <math> f(x) + g(x)\, </math> ||align=center| <math> f\,'(x) + g\,'(x) </math>
 
 
|-
 
|-
 
| align=center| <math> a\cdot f(x) </math> ||align=center| <math> a\cdot f\,'(x) </math>  
 
| align=center| <math> a\cdot f(x) </math> ||align=center| <math> a\cdot f\,'(x) </math>  
 +
|-
 +
| align=center| <math> f(x) + g(x)\, </math> ||align=center| <math> f\,'(x) + g\,'(x) </math>
 
|}
 
|}
 +
</div>
  
 
De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.  
 
De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.  
Rad 362: Rad 428:
  
  
−
== Internetlänkar ==
+
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
 +
 
 
http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw
 
http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw
  
Rad 378: Rad 445:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Versionen från 30 april 2016 kl. 22.34

       <-- Förra demoavsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Diagnosprov kap 2 -->      


Lektion 19 Deriveringsregler I

Lektion 20 Deriveringsregler II

Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis behandlas i fliken Fördjupning.

Derivatan av en konstant


Regel:    Derivatan av en konstant är 0.

               Om \( \;\; f(x) \; = \: c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)

               då \( \;\; f\,'(x) \; = \: 0 \).

Bevis:    Se Fördjupning: Derivatan av en konstant.


\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( \;\, f(x) \; = \: -5 \; \) blir derivatan:

\[ \;\, f\,'(x) \; = \: 0 \]

Derivatan av en linjär funktion


Regel:    Derivatan av en linjär funktion är konstant.

               Om \( \;\; f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } \)

               då \( \;\; f\,'(x) \; = \; k \)

Bevis:    Se Fördjupning: Derivatan av en linjär funktion.


\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( \;\, f(x) \; = \; -8\,x + 9 \; \) blir derivatan:

\[ \;\, f\,'(x) \; = \; -8 \]

Derivatan av en kvadratisk funktion


Regel:

Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion:

Om \( \;\; f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } \)

då \( \;\; f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b \)

Bevis:    Se Fördjupning: Derivatan av en kvadratisk funktion.



\( \qquad \)

Exempel 1

För funktionen \( \;\, f(x) \; = \; 5\,x^2 - 3\,x + 6 \; \) blir derivatan:

\[ \;\, f\,'(x) \; = \; 10\,x - 3 \]

Exempel 2

För funktionen   \( f(x) \; = \; -25\,x^2 + 16\,x - 90 \; \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) \; = \; 2\cdot (-25)\,x + 16 \; = \; - 50\,x + 16 \]

Derivatan av en potens


Regeln om derivatan av en potens:

Om \( \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} \)

då \( \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} \)

\( \qquad \)

Exempel 1     \( n \,=\, \) positivt heltal:

För funktionen \( f(x) = x^5 \; \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = 5\,x^4 \]


Denna regel är den viktigaste formeln för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel.

Regeln gäller för ALLA exponenter \( {\color{Red} n} \), dvs inte bara för positiva (ex. 1) utan även för negativa heltalsexponenter (ex. 2) och t.o.m. för bråktal i exponenten (ex. 3).


Exempel 2     \( n \,=\, \) negativt heltal:

Derivera funktionen \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) med hjälp av regeln om derivatan av en potens.

Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \displaystyle {1 \over x} \) till en potens:

\[ f(x) = {1 \over x} = x^{-1} \]

Därmed är \( \,n = -1 \) och vi kan sätta in \( \, n = -1 \) i regeln om derivatan av en potens och får:

\[ f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} \]


Exempel 3     \( n \,=\, \) bråktal:

Derivera funktionen \( f(x) = \sqrt{x} \) med hjälp av regeln om derivatan av en potens.

Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \sqrt{x} \) till en potens:

\[ f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} \]

Därmed är \( n = {1 \over 2} \) och vi kan sätta in \( n = {1 \over 2} \) i regeln om derivatan av en potens och får:

\[ f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]


Derivatan av en funktion med en konstant faktor


Regel:

En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:

Om \( y = a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} \)
då \( y\,' = a\cdot f\,'(x) \)


\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} \; \) blir derivatan:

\[ y\,' \, = \,\, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} \]

Här har resultatet från Exempel 3 på Regeln om derivatan av en potens använts:

Derivatan av   \( f(x) = \sqrt{x} \)   är \(   f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \).


Tillämpning av regeln ovan på en potensfunktion:

Om \( \;\; y \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } \)
då \( \;\; y\,' \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} \)
\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( y = 12\,x^4 \; \) blir derivatan:

\[ y\,' = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 \]

OBS!   Konstanten \( {\color{Red} a} \) tas oförändrad över till derivatan.

Regeln om att derivatan av en konstant är \( \, 0\, \) får ingen tillämpning här, därför att konstanten \( a\, \) inte är en additiv term här utan bunden till produkten \( a \cdot x\,^n \) som en faktor framför potensen och därför inte kan separeras från den:


Konstant faktor vs. additiv konstant

I funktionen     \( y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} \)   är   \( \, 6 \)   en konstant faktor i funktionsuttrycket.

Derivatan blir   \( y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} \)   enligt regeln ovan om att en konstant faktor förblir oförändrad vid derivering.

I funktionen     \( y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} \)   är   \( \, 6 \) en additiv konstant i funktionsuttrycket.

Derivatan blir   \( y' = 0 \,+\, \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} \)   enligt regeln om att derivatan av en konstant är \( \, 0\, \).

Att derivatan av en konstant är \( 0\, \) innebär inte att derivatan av   \( a\cdot f(x) \)   blir   \( 0\cdot f\,'(x) \)   och därmed \( 0\, \). Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se Produkt och kvot av funktioner.

Regeln om derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är \( 0\, \). Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:


Regel:

Derivatan av en additiv konstant är \( 0\, \).

Om \( \; y \; = \; c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)

då \( \; y' \; = \; 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) \).


\( \qquad \)

Exempel

För funktionen \( \; f(x) \; = \; -5 + \displaystyle {1\over x} \; \) blir derivatan:

\[ \; f\,'(x) \; = \; 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} \]

Här har resultatet från Exempel 2 på Regeln om derivatan av en potens använts:

Derivatan av   \( y = \displaystyle {1 \over x} \)   är   \( y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \)

I exemplet ovan användes redan följande regel:


Derivatan av en summa av funktioner


Regel:

En summa av funktioner kan deriveras termvis.

Om \( \;\; y = f(x) + g(x)\, \)
då \( \;\; y\,' = f\,'(x) + g\,'(x) \)


\( \qquad \)

Exempel 1

För polynomfunktionen

\( \quad f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \; \) blir derivatan:

\( \quad f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 \)

Se även Derivatan av ett polynom.


Exempel 2

För funktionen \( \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} \; \) blir derivatan:

\[ y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} \]

Här har resultaten från Exempel 2 och 3 på Regeln om derivatan av en potens använts:

Derivatan av   \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \)   är   \( f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \)   och
Derivatan av   \( f(x) = \sqrt{x} \)   är \(   f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \).


Produkt och kvot av funktioner

Regeln om Derivatan av en summa av funktioner säger: En summa av funktioner kan deriveras termvis.

Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner:


En produkt av funktioner kan inte deriveras faktorvis.


Exempel

\[ y = x \cdot \sqrt x \]
\[ y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]

Rätt:

\[ y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} \]
\[ y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x \]
\( \qquad \)

Inte heller en kvot av funktioner kan deriveras så att täljaren deriveras

för sig och nämnaren för sig.


Exempel

\[ y \,=\, \displaystyle {1 \over x} \]
\[ y\,' \,\neq\, {0 \over 1} \,=\, 0 \]

Rätt:

\[ y = \displaystyle{1 \over x} = x^{-1} \quad \Rightarrow \quad y\,' = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2}\]


Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. produkt- resp. kvotregeln. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan.


Tabell över deriveringsregler

Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där \( c,\,a,\,k,\,m,\,n \) är konstanter medan \( \, x\, \) och \( \, y\, = \, f(x) \) är variabler:

\( y\, \) \( y\,' \)
\( c\, \) \( 0\, \)
\( x\, \) \( 1\, \)
\( a\; x \) \( a\, \)
\( k\; x \, + \, m \) \( k\, \)
\( x^2\, \) \( 2\,x \)
\( a\,x^2 \) \( 2\,a\,x \)
\( x^n\, \) \( n\cdot x\,^{n-1} \)
\( a\,x\,^n \) \( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \)
\( \displaystyle {1 \over x} \) \( \displaystyle - {1 \over x^2} \)
\( \sqrt{x} \) \( \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)
\( a\cdot f(x) \) \( a\cdot f\,'(x) \)
\( f(x) + g(x)\, \) \( f\,'(x) + g\,'(x) \)

De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.

Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om Derivatan av exponentialfunktioner.


Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw

https://www.youtube.com/watch?v=ekESj2A5IiY

https://www.youtube.com/watch?v=hZXusMjayZk

http://www.youtube.com/watch?v=hYKiTPB7jnQ&feature=related





Copyright © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=2.5_Deriveringsregler&oldid=26513"