Skillnad mellan versioner av "3.3 Terasspunkter"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 41: | Rad 41: | ||
<math> f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'''(a) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en <strong><span style="color:red">terasspunkt</span></strong> i <math> \; x = a \; </math>. | <math> f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'''(a) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en <strong><span style="color:red">terasspunkt</span></strong> i <math> \; x = a \; </math>. | ||
---- | ---- | ||
| − | Om <math> \; f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, f\,'''(a) \, = \, 0 \; </math> kan | + | Om <math> \; f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, f\,'''(a) \, = \, 0 \; </math> kan en teckenstudie avgöra den <strong><span style="color:red">kritiska punktens</span></strong> typ. |
</div> | </div> | ||
| Rad 85: | Rad 85: | ||
'''Bilden till höger''' visar att även andraderivatan är <math> \, 0 \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math>. Till skillnad från derivatans nollställe är detta nollställe av enkel typ, vilket framgår av att grafen verkligen skär <math> \, x</math>-axeln dvs byter tecken kring <math> \, x = 0 \, </math>. I självaste punkten <math> \, x = 0 \, </math> är andraderivatan varken positiv eller negativ, varav följer att <math> \, x = 0 \, </math> inte är någon extrempunkt för funktionen <math> \, f(x) = x^3 -</math> ytterliare ett kännetecken för terasspunkter. En annan konsekvens av att andraderivatans rot är av enkel typ är att tredjederivatan är <math> \, \neq 0 \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math>. | '''Bilden till höger''' visar att även andraderivatan är <math> \, 0 \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math>. Till skillnad från derivatans nollställe är detta nollställe av enkel typ, vilket framgår av att grafen verkligen skär <math> \, x</math>-axeln dvs byter tecken kring <math> \, x = 0 \, </math>. I självaste punkten <math> \, x = 0 \, </math> är andraderivatan varken positiv eller negativ, varav följer att <math> \, x = 0 \, </math> inte är någon extrempunkt för funktionen <math> \, f(x) = x^3 -</math> ytterliare ett kännetecken för terasspunkter. En annan konsekvens av att andraderivatans rot är av enkel typ är att tredjederivatan är <math> \, \neq 0 \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math>. | ||
| − | Alternativt till användning av derivator finns det alltid möjligheten att genomföra | + | Alternativt till användning av derivator finns det alltid möjligheten att genomföra en teckenstudie för att känna igen en terasspunkt: |
| − | ==== <b><span style="color:#931136">Regeln om terasspunkt med | + | ==== <b><span style="color:#931136">Regeln om terasspunkt med teckenstudie</span></b> ==== |
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
<math> f\,'(a) = 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) </math> <strong><span style="color:red">inte</span></strong> byter tecken kring <math> \, x=a \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en <strong><span style="color:red">terasspunkt</span></strong> i <math> \; x = a \; </math>. | <math> f\,'(a) = 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) </math> <strong><span style="color:red">inte</span></strong> byter tecken kring <math> \, x=a \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har en <strong><span style="color:red">terasspunkt</span></strong> i <math> \; x = a \; </math>. | ||
| Rad 97: | Rad 97: | ||
<div class="ovnE"><small> | <div class="ovnE"><small> | ||
| − | ==== <b><span style="color:#931136">Exempel på terasspunkt med | + | ==== <b><span style="color:#931136">Exempel på terasspunkt med teckenstudie</span></b> ==== |
| − | Undersök med | + | Undersök med en teckenstudie vilken typ av kritisk punkt funktionen <math> \, f(x) = x\,^3 \, </math> har i punkten <math> \, x = 0 \, </math>. |
| − | '''Lösning med | + | '''Lösning med teckenstudie:''' |
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| Rad 159: | Rad 159: | ||
# Derivatan har tecknet <math>+</math> till vänster och även <math> + </math> till höger om <math> \, 0 \, </math> dvs derivatan byter inte tecken kring sitt nollställe. | # Derivatan har tecknet <math>+</math> till vänster och även <math> + </math> till höger om <math> \, 0 \, </math> dvs derivatan byter inte tecken kring sitt nollställe. | ||
| − | Enligt regeln om terasspunkt med | + | Enligt regeln om terasspunkt med teckenstudie drar vi slutsatsen att funktionen <math> f(x)\, </math> har en <strong><span style="color:red">terasspunkt</span></strong> i <math> \, x = 0 </math>. |
</small></div> | </small></div> | ||
| − | Avgörande för att | + | Avgörande för att teckenstudie är en korrekt algebraisk metod är förutsättningen vi gjorde inledningsvis, nämligen att <math> \; y \, = \, f(x) \; </math> är [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|<strong><span style="color:blue">kontinuerlig</span></strong>]] i alla punkter av det betraktade området. |
Versionen från 23 februari 2016 kl. 16.37
| <-- Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | --> Nästa avsnitt |
Även i detta avsnitt antar vi att alla behandlade funktioner \( \; y \, = \, f(x) \; \) skall vara kontinuerliga i alla punkter av det betraktade området.
Vad är en terasspunkt?
 |
Bilden till vänster visar tre punkter där kurvan har tangenter med lutningen \( \, 0 \):
|
Regeln om terasspunkt med derivator
\( f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'''(a) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har en terasspunkt i \( \; x = a \; \).
Om \( \; f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, f\,'''(a) \, = \, 0 \; \) kan en teckenstudie avgöra den kritiska punktens typ.
Med andra ord, i en terasspunkt måste första- och andraderivatan vara \( \, = 0 \), men tredjederivatan \( \, \neq 0 \).
Tredjederivatan är inget annat än andraderivatans derivata. Man får den genom att derivera andraderivatan en gång till enligt deriveringsreglerna.
Att tredjederivatan inte får vara \( \, 0 \, \) är ett nödvändigt villkor för att funktionen ska ha en terasspunkt.
Kritiska punkter
En punkt \( \, x = a \, \) kallas för kritisk punkt om \( \, f\,'(a) = 0 \, \).
En kritisk punkt kan vara ett maximum, ett minimum eller en terasspunkt.
Ett annat namn för kritiska punkter är stationära punkter. Stationära, därför att kurvan "stannar av" i dessa punkter, dvs lutningen är \( \, 0\): Kurvan är varken växande eller avtagande.
Exempel på terasspunkt med derivator
Undersök med derivator vilken typ av kritisk punkt funktionen \( \, f(x) = x\,^3 \, \) har i punkten \( \, x = 0 \, \).
Lösning med derivator:
- \[\begin{array}{rclclcl} f(x) & = & x\,^3 & & \\ f'(x) & = & 3\,x\,^2 & \Longrightarrow & f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 & = & 0 \\ f''(x) & = & 6\,x & \Longrightarrow & f''(0) = 6\cdot 0 & = & 0 \\ f'''(x) & = & 6 & \Longrightarrow & f'''(0) = 6 & \neq & 0 \end{array}\]
Vi ser att \( \, f\,'(0) = f\,''(0) = 0 \, \) och \( \, f\,'''(0) \neq 0 \). Av regeln ovan följer att \( \, f(x)\, \) har en terasspunkt i \( \, x = 0 \, \) som visas på bilden till vänster.
Bilden i mitten visar att derivatan har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \). Det speciella med detta nollställe är att kurvan inte skär \( \, x\)-axeln utan endast berör den. Med andra ord, \( \, x = 0 \, \) är en dubbelrot till andragradsfunktionen \( \, f\,'(x) = 3\,x^2 \, \). Detta innebär att derivatan inte byter tecken kring \( \, x = 0 \, \) dvs är positiv både till vänster och till höger om nollstället. Att derivatan är positiv på båda sidor av sitt nollställe innebär i sin tur att själva funktionen \( \, f(x) = x^3 \, \) är växande både till vänster om och till höger om \( \, x = 0 \, \) \(-\) vilket är ett kännetecken för terasspunkter. En annan konsekvens av derivatans dubbelrot är att andraderivatan är \( \, 0 \, \) i \( \, x = 0 \, \):
Bilden till höger visar att även andraderivatan är \( \, 0 \, \) i \( \, x = 0 \, \). Till skillnad från derivatans nollställe är detta nollställe av enkel typ, vilket framgår av att grafen verkligen skär \( \, x\)-axeln dvs byter tecken kring \( \, x = 0 \, \). I självaste punkten \( \, x = 0 \, \) är andraderivatan varken positiv eller negativ, varav följer att \( \, x = 0 \, \) inte är någon extrempunkt för funktionen \( \, f(x) = x^3 -\) ytterliare ett kännetecken för terasspunkter. En annan konsekvens av att andraderivatans rot är av enkel typ är att tredjederivatan är \( \, \neq 0 \, \) i \( \, x = 0 \, \).
Alternativt till användning av derivator finns det alltid möjligheten att genomföra en teckenstudie för att känna igen en terasspunkt:
Regeln om terasspunkt med teckenstudie
\( f\,'(a) = 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \) inte byter tecken kring \( \, x=a \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har en terasspunkt i \( \; x = a \; \).
Med andra ord, i en terasspunkt \( \, x=a \) måste derivatan vara \( \, 0 \), utan att byta tecken kring \( \, a \), dvs derivatan är antingen positiv eller negativ på båda sidor av \( \, x=a \).
Exempel på terasspunkt med teckenstudie
Undersök med en teckenstudie vilken typ av kritisk punkt funktionen \( \, f(x) = x\,^3 \, \) har i punkten \( \, x = 0 \, \).
Lösning med teckenstudie:
| Vi hade redan bestämt att
derivatan var \( \, 0 \) för \( \, x = 0 \, \):
|
|
Nu ska vi undersöka derivatans tecken till vänster och till höger om nollstället \( \, x = 0 \).
Vi väljer t.ex. punkterna \( \, x = -0,1 \) och \( \, x = 0,1 \) och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:
|
|
Dessa resultat är infogade i teckentabellen till höger som visar:
- \( \, f\,'(0) = 0 \, \)
- Derivatan har tecknet \(+\) till vänster och även \( + \) till höger om \( \, 0 \, \) dvs derivatan byter inte tecken kring sitt nollställe.
Enligt regeln om terasspunkt med teckenstudie drar vi slutsatsen att funktionen \( f(x)\, \) har en terasspunkt i \( \, x = 0 \).
Avgörande för att teckenstudie är en korrekt algebraisk metod är förutsättningen vi gjorde inledningsvis, nämligen att \( \; y \, = \, f(x) \; \) är kontinuerlig i alla punkter av det betraktade området.
Hur grafen kan lura oss
 |
Har funktionen
vars graf visas till vänster en terasspunkt i \( \, x = 0 \, \)? Kurvan är av samma typ som \( g(x) = x^3 \) till höger. Ritar man båda funktioners grafer i miniräknarens display är det svårt att se skillnaden. Slutsatsen att även \( f(x) \) har en terasspunkt i \( x = 0 \) ligger nära. Men \( f\,'(0) \neq 0 \) visar att detta inte är fallet: |  |
- \[\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 + \, 0,5\,x \\ f'(x) & = & 3\,x^2 + \, 0,5 \\ f'(0) & = & 3\cdot 0^2 + \, 0,5 = 3\cdot 0 \, + \, 0,5 = 0 \, + \, 0,5 \, = \, 0,5 \, \neq \, 0 \end{array}\]
Dvs redan första kravet i regeln om terasspunkt med derivator, nämligen att derivatan ska vara \( \, 0 \, \) för \( \, x = 0 \, \) är inte uppfyllt: \( \, f(x) \, \) har ingen terasspunkt i \( \, x = 0 \, \). Grafen har lurat oss.
Vill man använda grafer borde man först undersöka funktionen med de strikta algebraiska reglerna och sedan rita grafer för att visualisera resultatet. I det här fallet är det lämpligt att även rita tangenten till \( \, f(x) \, \) i \( \, x = 0 \, \). Lägger man till graferna till derivatan och andraderivatan får man en fullständig överblick över funktionens beteende i och kring \( \, x = 0 \, \):
Bilden till vänster visar funktionens graf samt tangenten till kurvan i \( \, x = 0 \). Tangenten är inte horisontell dvs har inte lutningen \( \, 0 \). I beräkningen ovan hade vi fått: \( f'(x) = 0,5 \neq 0 \). Därmed är även tangentens lutning \( \, 0,5 \, \) och dess ekvation: \( y = 0,5\,x \). Därför föreligger i \( \, x = 0 \, \) inte en terasspunkt.
Bilden i mitten visar att derivatan inte har något nollställe vilket visar att funktionen varken har extrempunkter eller terasspunkter. Derivatan är alltid positiv och antar i \( x = 0 \) värdet \( \, 0,5 \, \). Om detta värde hade varit \( \, 0 \, \) hade funktionen haft en terasspunkt i \( x = 0 \).
Bilden till höger visar att andraderivatan har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \), där grafen skär \( \, x\)-axeln. Vad innebär detta? Vi har inte haft ett sådant fall där derivatan är skild från \( \, 0 \, \), men andraderivatan är \( \, 0 \, \). Därför handlar det om en speciell punkt på kurvan som varken är extrem- eller terasspunkt, för i dessa fall borde ju derivatan vara \( \, 0 \, \). Faktiskt handlar det om en ny typ av punkt som kallas inflexionspunkt.
Inflexionspunkter
 |
Om du föreställer dig att du kör bil på S-kurvan på bilden till vänster,
svänger du ratten först till höger tills du kommer till S-kurvans mitt: \( \, x = 2 \, \). Sedan byter du svängriktning och rattar till vänster. Punkten i \( \, x = 2 \, \) där du byter svängriktning kallas för inflexionspunkt. Inflexionspunkter är sådana där kurvan går över från en högersväng (konkav kurva) till en vänstersväng (konvex kurva) eller tvärtom \(-\) allt sett från vänster och underifrån. På bilden finns även tangenten ritad i \( \, x = 2 \, \) vars lutning är negativ. Hade lutningen varit \( \, 0 \, \) hade \( \, x = 2 \, \) varit en terasspunkt. Därför: |
Terasspunkter är specialfall av inflexionspunkter, eftersom kurvan byter alltid svängriktning i en terasspunkt.
Men inte alla inflexionspunkter är terasspunkter. Inflexionspunkter kan ha tangenter med vilken lutning som helst.
Terasspunkter är sådana inflexionspunkter där tangenten har lutningen \( \, 0 \, \).
Pga funktionens kontinuitet finns alltid en inflexionspunkt mellan två extrempunkter.
Regeln om inflexionspunkter
\( f\,''(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'''(a) \, \neq \, 0 \; \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) har en inflexionspunkt i \( \; x = a \; \).
Om dessutom \( \; f\,'(a) \, = \, 0 \; \) är \( \; x = a \; \) en terasspunkt. (Samma som tidigare)
En terasspunkt är alltid en inflexionspunkt, men inte tvärtom.
För att hitta inflexionspunkter ställer man alltså upp andraderivatan, sätter den till \( \, 0 \, \) och beräknar\( \, x \), dvs andraderivatans nollställen. Sedan kontrollerar man om tredjederivatan verkligen är skild från \( \, 0 \, \) för andraderivatans nollställen.
Dessutom gäller det: Om \( \, f\,'''(a) > 0 \, \) är kurvan konkav i \( \, x = a \ ,\) och vi har en övergång från höger- till vänstersväng \(-\) som i grafen ovan. Om däremot \( \, f\,'''(a) < 0 \, \) är kurvan konvex i \( \, x = a \ ,\) och kurvan går över från en vänster- till en högersväng.
Copyright © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
