Skillnad mellan versioner av "3.3 Terasspunkter"

Vad är en terasspunkt?

Bilden till vänster visar tre punkter där kurvan har tangenter med lutningen \( \, 0 \): Ett minimum i \( \quad\;\, x = -2 \, \) En terasspunkt i \( \, x = 0 \, \) Ett maximum i \( \quad\, x = 2 \, \) I minimipunkten \( \;\, x = -2 \, \) gäller: \( \, f\,'(-2) \, = \, 0 \quad {\rm och} \quad f\,''(-2) \, > \, 0 \), se reglerna. I terasspunkten \( \, x = 0 \quad \) gäller: \( \, f\,'(0) \quad = \, 0 \quad {\rm och} \quad f\,''(0) \quad {\color {Red} =} \;\; 0 \). I maximipunkten \( \, x = 2 \quad \) gäller: \( \, f\,'(2) \quad = \, 0 \quad {\rm och} \quad f\,''(2) \;\; < \;\, 0 \), se reglerna.

Regeln om terasspunkt med derivator

Med andra ord, i en terasspunkt måste första- och andraderivatan vara \( \, = 0 \), men tredjederivatan \( \, \neq 0 \).

Tredjederivatan är inget annat än andraderivatans derivata. Man får den genom att derivera andraderivatan en gång till enligt deriveringsreglerna.

Att tredjederivatan inte får vara \( \, 0 \, \) är ett nödvändigt villkor för att funktionen ska ha en terasspunkt.

Kritiska punkter

Ett annat namn för kritiska punkter är stationära punkter. Stationära, därför att kurvan "stannar av" i dessa punkter, dvs lutningen är \( \, 0\): Kurvan är varken växande eller avtagande.

Bilden i mitten visar att derivatan har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \). Det speciella med detta nollställe är att kurvan inte skär \( \, x\)-axeln utan endast berör den. Med andra ord, \( \, x = 0 \, \) är en dubbelrot till andragradsfunktionen \( \, f\,'(x) = 3\,x^2 \, \). Detta innebär att derivatan inte byter tecken kring \( \, x = 0 \, \) dvs är positiv både till vänster och till höger om nollstället. Att derivatan är positiv på båda sidor av sitt nollställe innebär i sin tur att själva funktionen \( \, f(x) = x^3 \, \) är växande både till vänster om och till höger om \( \, x = 0 \, \) \(-\) vilket är ett kännetecken för terasspunkter. En annan konsekvens av derivatans dubbelrot är att andraderivatan är \( \, 0 \, \) i \( \, x = 0 \, \):

Bilden till höger visar att även andraderivatan är \( \, 0 \, \) i \( \, x = 0 \, \). Till skillnad från derivatans nollställe är detta nollställe av enkel typ, vilket framgår av att grafen verkligen skär \( \, x\)-axeln dvs byter tecken kring \( \, x = 0 \, \). I självaste punkten \( \, x = 0 \, \) är andraderivatan varken positiv eller negativ, varav följer att \( \, x = 0 \, \) inte är någon extrempunkt för funktionen \( \, f(x) = x^3 -\) ytterliare ett kännetecken för terasspunkter. En annan konsekvens av att andraderivatans rot är av enkel typ är att tredjederivatan är \( \, \neq 0 \, \) i \( \, x = 0 \, \).

Alternativt till användning av derivator finns det alltid möjligheten att genomföra ett teckenstudium för att känna igen en terasspunkt:

Regeln om terasspunkt med teckenstudium

Med andra ord, i en terasspunkt \( \, x=a \) måste derivatan vara \( \, 0 \), utan att byta tecken kring \( \, a \), dvs derivatan är antingen positiv eller negativ på båda sidor av \( \, x=a \).

Avgörande för att teckenstudium är en korrekt algebraisk metod är förutsättningen vi gjorde inledningsvis, nämligen att \( \; y \, = \, f(x) \; \) är kontinuerlig i alla punkter av det betraktade området.

Hur grafen kan lura oss

Har funktionen \[ f(x) = x^3 + \, 0,5\,x \] vars graf visas till vänster en terasspunkt i \( \, x = 0 \, \)? Kurvan är av samma typ som \( g(x) = x^3 \) till höger. Ritar man båda funktioners grafer i miniräknarens display är det svårt att se skillnaden. Slutsatsen att även \( f(x) \) har en terasspunkt i \( x = 0 \) ligger nära. Men \( f\,'(0) \neq 0 \) visar att detta inte är fallet:

\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 + \, 0,5\,x \\ f'(x) & = & 3\,x^2 + \, 0,5 \\ f'(0) & = & 3\cdot 0^2 + \, 0,5 = 3\cdot 0 \, + \, 0,5 = 0 \, + \, 0,5 \, = \, 0,5 \, \neq \, 0 \end{array}\]

Dvs redan första kravet i regeln om terasspunkt med derivator, nämligen att derivatan ska vara \( \, 0 \, \) för \( \, x = 0 \, \) är inte uppfyllt: \( \, f(x) \, \) har ingen terasspunkt i \( \, x = 0 \, \). Grafen har lurat oss.

Vill man använda grafer borde man först undersöka funktionen med de strikta algebraiska reglerna och sedan rita grafer för att visualisera resultatet. I det här fallet är det lämpligt att även rita tangenten till \( \, f(x) \, \) i \( \, x = 0 \, \). Lägger man till graferna till derivatan och andraderivatan får man en fullständig överblick över funktionens beteende i och kring \( \, x = 0 \, \):

Bilden till vänster visar funktionens graf samt tangenten till kurvan i \( \, x = 0 \). Tangenten är inte horisontell dvs har inte lutningen \( \, 0 \). I beräkningen ovan hade vi fått: \( f'(x) = 0,5 \neq 0 \). Därmed är även tangentens lutning \( \, 0,5 \, \) och dess ekvation: \( y = 0,5\,x \). Därför föreligger i \( \, x = 0 \, \) inte en terasspunkt.

Bilden i mitten visar att derivatan inte har något nollställe vilket visar att funktionen varken har extrempunkter eller terasspunkter. Derivatan är alltid positiv och antar i \( x = 0 \) värdet \( \, 0,5 \, \). Om detta värde hade varit \( \, 0 \, \) hade funktionen haft en terasspunkt i \( x = 0 \).

Bilden till höger visar att andraderivatan har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \), där grafen skär \( \, x\)-axeln. Vad innebär detta? Vi har inte haft ett sådant fall där derivatan är skild från \( \, 0 \, \), men andraderivatan är \( \, 0 \, \). Därför handlar det om en speciell punkt på kurvan som varken är extrem- eller terasspunkt, för i dessa fall borde ju derivatan vara \( \, 0 \, \). Faktiskt handlar det om en ny typ av punkt som kallas inflexionspunkt.

Inflexionspunkter

Om du föreställer dig att du kör bil på S-kurvan på bilden till vänster, svänger du ratten först till höger tills du kommer till S-kurvans mitt: \( \, x = 2 \, \). Sedan byter du svängriktning och rattar till vänster. Punkten i \( \, x = 2 \, \) där du byter svängriktning kallas för inflexionspunkt. Inflexionspunkter är sådana där kurvan går över från en högersväng (konkav kurva) till en vänstersväng (konvex kurva) eller tvärtom \(-\) allt sett från vänster och underifrån. På bilden finns även tangenten ritad i \( \, x = 2 \, \) vars lutning är negativ. Hade lutningen varit \( \, 0 \, \) hade \( \, x = 2 \, \) varit en terasspunkt. Därför:

Terasspunkter är specialfall av inflexionspunkter, eftersom kurvan byter alltid svängriktning i en terasspunkt.

Men inte alla inflexionspunkter är terasspunkter. Inflexionspunkter kan ha tangenter med vilken lutning som helst.

Terasspunkter är sådana inflexionspunkter där tangenten har lutningen \( \, 0 \, \).

Pga funktionens kontinuitet finns alltid en inflexionspunkt mellan två extrempunkter.

Regeln om inflexionspunkter

För att hitta inflexionspunkter ställer man alltså upp andraderivatan, sätter den till \( \, 0 \, \) och beräknar\( \, x \), dvs andraderivatans nollställen. Sedan kontrollerar man om tredjederivatan verkligen är skild från \( \, 0 \, \) för andraderivatans nollställen.