Skillnad mellan versioner av "3.2 Lokala maxima och minima"

Exempel 2 Maximal företagsvinst

Vi återgår till Exempel 3 i förra avsnitt, men byter frågeställning:

Efter statistiska observationer har man kommit fram till att ett företags vinst kan beräknas enligt funktionen:

\[ V(t) \; = \; -3\,t^3\,+\,27\,t^2\,-\,72\,t\,+\,60 \]

där    \( V \; = \)   företagets vinst i \( 1\,000 \) kr och

         \( t \;\, = \)   tiden i antalet år efter årsskiftet 2009/2010 \(. \qquad \) Definitionsområde: \( \; 1 \leq t \leq 5 \)

a)   Ställ upp första- och andraderivatan. Rita graferna till \( \,V(t) \), \( \,V\,'(t) \) och \( \,V\,''(t) \) i separata koordinatsystem.

b)   När har företaget maximal vinst? Denna uppgift ska lösas både med andraderivatan och teckentabellen.

c)   Hur stor är företagets maximala vinst?

Frågorna b) och c) ska besvaras algebraiskt.

Lösning:

a)

b)   Derivatan är en 2:a gradsfunktion och har två reella nollställen. För att få reda på dem sätter vi derivatan till \( \, 0 \):

\[\begin{array}{rcrcl} V'(t) & = & -9\,t^2 + 54\,t - 72 & = & 0 \\ & & t^2 - 6 \,t + 8 & = & 0 \end{array}\]

2:a gradsekvationen kan enkelt och snabbt lösas med Vieta:

\[ \begin{array}{rcl} t_1 \cdot t_2 & = & 8 \\ t_1 + t_2 & = & -(-6) = 6 \\ &\Downarrow& \\ t_1 & = & 2 \\ t_2 & = & 4 \end{array}\]

Dvs \( V'(2) = V'(4) = 0\, \) vilket innebär:

Tangenterna till kurvan \( V(t)\, \) i punkterna \( t_1 = 2 \, \) och \( t_2 = 4 \, \) har lutningen \( 0\, \) dvs är horisontella.

Horisontella tangenter kan innebära att kurvan har maximum eller minimum i dessa punkter.

För att skilja mellan max och min använder vi två metoder: andraderivatan och teckentabellen \(-\) en i taget:

b) forts. med andraderivatan:

Reglerna om max/min med andraderivatan tillämpas på derivatans båda nollställen.

Nollställe 1: \( \; t_1 = 2 \quad \; \)

Vi sätter in \( t_1 = 2 \, \) i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:

\[ V\,''(t) \, = \, -18\,t + 54 \]

\[ V\,''(2) \, = \, -18\cdot 2 + 54 = 18 > 0 \]

Andraderivatan är positiv för \( t_1 = 2 \, \). Slutsats: \( V(t) \, \) har ett minimum i \( t_1 = 2 \, \).

Nollställe 2: \( \; t_2 = 4 \quad \; \)

Vi sätter in \( t_2 = 4 \, \) in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:

\[ V\,''(4) \, = \, -18\cdot 4 + 54 = -18 < 0 \]

Andraderivatan är negativ för \( t_2 = 4 \, \). Slutsats: \( V(t) \, \) har ett maximum i \( t_2 = 4 \, \).

Alltså har företaget sin största vinst efter \( t_2 = 4 \, \) år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.

b) forts. med teckenstudium:

Reglerna om max/min med teckenstudium tittar på derivatans teckenbyte i en nära omgivning av derivatans nollställen.

Vi tillämpar regeln enskilt på vart och ett nollställe.

Nollställe 1: \( \; t_1 = 2 \)

Vi väljer t.ex. punkterna \( \, t = 1,9 \) och \( \, t = 2,1 \) på t-axeln och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

\[ V'(t) = -9\,t^2 + 54\,t - 72 \]

\[ V' (1,9) = -9\cdot 1,9^2 + 54\cdot 1,9 - 72 = -1,89 < 0 \]

\[ V' (2,1) = -9\cdot 2,1^2 + 54\cdot 2,1 - 72 = 1,71 > 0 \]

Nollställe 2: \( \; t_2 = 4 \)

Vi väljer t.ex. punkterna \( \, t = 3,9 \) och \( \, t = 4,1 \) på t-axeln nära \( t_2 \) och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

Resultaten från båda nollställena skrivs in i teckentabellen ovan till höger som slutligen kan förenklas till följande teckentabell:

Slutsatser:

• \( V(t)\, \) har ett minimum i \( \, t_1 = 2 \), därför att \( V\,'(2) = 0 \) och \( V\,'(t) \) byter tecken från \(-\) till \( + \) kring \( \, 2 \).

• \( V(t)\, \) har ett maximum i \( \, t_2 = 4 \), därför att \( V\,'(4) = 0 \) och \( V\,'(t) \) byter tecken från \(+\) till \( - \) kring \( \, 4 \).

Resultatet är förstås det samma som i b) forts. med andraderivatan:

Företaget har sin största vinst efter \( \, t_2 \, = \, t_{max} \, = \, 4 \, \) år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.

c)   För att få företagets maximala vinst sätter vi in \( t_{max} = 4 \, \) i vinstfunktionen:

\[ V(t) = -3\,t^3 + 27\,t^2 - 72\,t + 60 \]

\[ V(t_{max}) = V(4) = -3\cdot 4^3 + 27\cdot 4^2 - 72\cdot 4 + 60 = 12 \]

      Alltså är företagets maximala vinst \( 12\,000 \) kr som antas vid årsskiftet 2013/2014.