Skillnad mellan versioner av "1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner"

Exempel 1

Låt oss återuppta ett exempel som behandlades i Fördjupning till rationella uttryck nämligen funktionen:

a)   Är denna funktion enligt definition kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 0}}\, \)?

För att tillämpa definitionen på vårt exempel ersätter vi där \( a \, \) med \( 0 \, \) och \( f(x) \, \) med \( 1 \over x \). Definitionen säger: \( y = f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) är kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 0}}\, \) om:

\[ {1 \over x} \to f(0) \quad {\rm när} \quad x \to 0 \]

Titta på grafen: Närmar man sig \( 0\, \) på \( x\, \)-axeln från höger eller från vänster, går \( y\, \) mot \( +\infty \) eller \( -\infty \). Med andra ord \( f(0)\, \) dvs \( 1 \over 0 \) är inte ens definierad. Då kan \( 1 \over x \) inte heller gå mot något som inte är definierat. Därmed är definitionens krav inte uppfyllt.

Slutsats: Funktionen \( y = \) \( 1 \over x \) är inte kontinuerlig för \( x = 0\, \).

Här ser man också att en funktion måste åtminstone vara definierad för ett visst \( x \, \), för att den ska vara kontinuerlig för detta \( x \, \).

b)   Är samma funktion enligt definition kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 2}}\, \)?

För att tillämpa definitionen på vårt exempel ersätter vi där \( a \, \) med \( 2 \, \) och \( f(x) \, \) med \( 1 \over x \). Definitionen säger: \( y = f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) är kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 2}}\, \) om:

\[ {1 \over x} \to {1 \over 2} \quad {\rm när} \quad x \to 2 \]

Titta på grafen: Närmar man sig \( 2\, \) på \( x\, \)-axeln från höger eller från vänster, närmar sig \( y\, \) värdet \( 1 \over 2 \) i båda fall, därör att \( f(2) = \) \( 1 \over 2 \). Därmed är dfinitionens krav uppfyllt.

Slutsats: Funktionen \( y = \) \( 1 \over x \) är kontinuerlig för \( x = 2\, \).

På samma sätt kan man undersöka om funktionen är kontinuerlig för andra \( {\color{Red} x}\, \). Sammanfattningsvis blir resultatet:

Resultatet kan också ses i grafen: Endast i \( x=0\, \) skenar kurvorna iväg mot oändligheten, den ena mot \( + \infty\, \), den andra mot \( - \infty\, \), annars är de sammanhängande.

Exempel 2

Inom datateknik används en funktion som heter Heavisidefunktionen:

De ihåliga ringarna vid \( y = 1 \, \) och \( y = -1 \, \) betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd, medan den ifyllda ringen vid origo innebär att detta värde tillhör värdemängden.

Grafen visar en signal vars amplitud skiftar från 0 till 1 \(-\) en egenskap som liknar impulserna inom datornätverk med ettor och nollor. Funktionens skapare Oliver Heaviside använde den för att modellera strömmen genom elektriska kretsar.

Precis som hos Fibonaccis funktion har man även här utnyttjat möjligheten att för en och samma funktion definiera olika funktionsuttryck i olika delar av dess definitionsmängd. Kanske kan formeln ovan samt grafen, inkl. de ihåliga och ifyllda ringarna, förstås bättre med följande förenkling (OBS! Matematiskt inte korrekt):

\[\begin{array}{rcl} H(\mbox{negativa}\; x) & = & -1 \\ H(0) & = & 0 \\ H(\mbox{positiva}\; x) & = & 1 \end{array}\]

Dvs \( \, H(x) \, \) har för negativa \( \, x \, \) värdet \( \, -1 \, \), för \( \, x = 0 \, \) värdet \( \, 0 \, \) och för positiva \( \, x \, \) värdet \( \, 1 \, \).

Låt oss nu med hjälp av den allmänna definitionen för kontinuerliga funktioner undersöka om Heavisidefunktionen är kontinuerlig för \( {\color{Red} x = 0}\, \). Enligt definitionen borde då:

\[ H(x) \to H(0) \quad {\rm när} \quad x \to 0 \]

Närmar man sig \( 0\, \) på \( x\, \)-axeln från höger närmar sig \( H(x)\, \) värdet \( 1\, \). Närmar man sig \( 0\, \) från vänster närmar sig \( H(x)\, \) värdet \( -1\, \). Dvs \( H(x) \to 1\, \) och \( \to -1\, \) när \( x \to 0 \).

Men \( H(0) = 0\, \). \( H(x)\, \) går dock inte mot \( H(0) = 0\, \) när \( x \to 0 \), vilket den borde göra om den hade varit kontinuerlig för \( x = 0\, \).

Därmed är definitionens krav inte uppfyllt. Funktionen \( H(x)\, \) är inte kontinuerlig för \( x = 0\, \).

Undersökar man vidare kontinuiteten för andra \( x\, \) kommer det att visa sig att \( H(x)\, \) är kontinuerlig för alla andra \( x\, \):

Resultatet kan också ses i grafen: Endast i \( x=0\, \) har den ett hopp, annars är den sammanhängande.