Skillnad mellan versioner av "2.5 Deriveringsregler"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 99: | Rad 99: | ||
<b>Derivatan av en potensfunktion är en annan potensfunktion med en grad lägre.</b> | <b>Derivatan av en potensfunktion är en annan potensfunktion med en grad lägre.</b> | ||
| − | + | :::::Om <math> f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } </math> | |
| − | + | :::::då <math> f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} </math> | |
</big></div> | </big></div> | ||
| Rad 107: | Rad 107: | ||
<div class="tolv"> <!-- tolv2 --> | <div class="tolv"> <!-- tolv2 --> | ||
| − | <strong><span style="color:red">Konstanten</span></strong> <big><math> {\color{Red} a} </math></big> tas oförändrad över till derivatan. Regeln om att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> får ingen tillämpning här, därför att konstanten <math> a\, </math> inte står ensam utan | + | <strong><span style="color:red">Konstanten</span></strong> <big><math> {\color{Red} a} </math></big> tas oförändrad över till derivatan. |
| + | |||
| + | Regeln om att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> får ingen tillämpning här, därför att konstanten <math> a\, </math> inte står ensam här utan är bunden till produkten <math> a \cdot x\,^n </math>. <math> a\, </math> är inte en additiv term utan en faktor framför potensen, se regeln för [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_funktion_med_en_konstant_faktor|<strong><span style="color:blue">derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></strong>]]. | ||
</div> <!-- tolv2 --> | </div> <!-- tolv2 --> | ||
| + | |||
<div class="exempel"> <!-- exempel4 --> | <div class="exempel"> <!-- exempel4 --> | ||
Versionen från 17 maj 2015 kl. 15.20
| <-- Förra demoavsnitt | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Diagnosprov kap 2 --> |
Lektion 19 Deriveringsregler I
Lektion 20 Deriveringsregler II
Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis behandlas i fliken Fördjupning.
Derivatan av en konstant
Regel:
Derivatan av en konstant är 0.
Om \( \;\; f(x) \; = \: c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)
då \( \;\; f\,'(x) \; = \: 0 \).
Exempel:
För funktionen \( \;\, f(x) \; = \: -5 \; \) blir derivatan:
- \[ \;\, f\,'(x) \; = \: 0 \]
Bevis: Se Fördjupning.
Derivatan av en linjär funktion
Regel:
Derivatan av en linjär funktion är konstant.
Om \( \;\; f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } \)
då \( \;\; f\,'(x) \; = \; k \)
Exempel:
För funktionen \( \;\, f(x) \; = \; -8\,x + 9 \; \) blir derivatan:
- \[ \;\, f\,'(x) \; = \; -8 \]
Bevis: Se Fördjupning.
Derivatan av en kvadratisk funktion
Regel:
Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.
Om \( \;\; f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } \)
då \( \;\; f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b \)
Exempel 1:
- För funktionen \( \;\, f(x) \; = \; 5\,x^2 - 3\,x + 6 \) blir derivatan:
- \[ \;\, f\,'(x) \; = \; 10\,x - 3 \]
Exempel 2:
- För funktionen \( f(x) \; = \; -25\,x^2 + 16\,x - 90\) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) \; = \; 2\cdot (-25)\,x + 16 \; = \; - 50\,x + 16 \]
Bevis: Se Fördjupning.
Derivatan av en potensfunktion
Regel:
Derivatan av en potensfunktion är en annan potensfunktion med en grad lägre.
- Om \( f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } \)
- då \( f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} \)
Konstanten \( {\color{Red} a} \) tas oförändrad över till derivatan.
Regeln om att derivatan av en konstant är \( 0\, \) får ingen tillämpning här, därför att konstanten \( a\, \) inte står ensam här utan är bunden till produkten \( a \cdot x\,^n \). \( a\, \) är inte en additiv term utan en faktor framför potensen, se regeln för derivatan av en funktion med en konstant faktor.
Exempel:
För funktionen \( f(x) = 12\,x^4\, \) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 \]
Specialfall \( a \,=\, \)\( 1\, \) ger oss följande regel som kan anses som den viktigaste formel för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel:
Derivatan av en potens:
Om \( f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} \)
då \( f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} \)
Denna regel gäller för ALLA exponenter \( {\color{Red} n} \), dvs inte bara för positiva utan även för negativa heltalsexponenter och t.o.m. för bråktal i exponenten.
- Exempel 1 \( n \,=\, \) positivt heltal:
- För funktionen \( f(x) = x^5\, \) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) = 5\,x^4 \]
- Exempel 2 \( n \,=\, \) negativt heltal:
- Derivera funktionen \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
- Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \displaystyle {1 \over x} \) till en potens:
- \[ f(x) = {1 \over x} = x^{-1} \]
- Därmed är \( \,n = -1 \) och vi kan sätta in \( \, n = -1 \) i regeln för derivatan av en potens och får:
- \[ f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} \]
- Exempel 3 \( n \,=\, \) bråktal:
- Derivera funktionen \( f(x) = \sqrt{x} \) med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
- Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \sqrt{x} \) till en potens:
- \[ f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} \]
- Därmed är \( n = {1 \over 2} \) och vi kan sätta in \( n = {1 \over 2} \) i regeln för derivatan av en potens och får:
- \[ f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]
- Eftersom beviset av regeln för derivatan av en potens kräver att man utvecklar uttrycket \( (x\,+\,h)\,^n \) för alla rationella tal \( n\, \) kan vi inte genomföra beviset, eftersom våra matematiska kunskaper inte räcker till för det.
Derivatan av en summa av funktioner
Regel:
En summa av funktioner kan deriveras termvis:
- Om \( y = f(x) + g(x)\, \)
- då \( y\,' = f\,'(x) + g\,'(x) \)
Exempel 1:
För funktionen \( \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} \) blir derivatan:
- \[ y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} \]
Här har vi använt de resultat vi fick i Exempel 2 och 3 från regeln för derivatan av en potens, nämligen att:
- Derivatan av \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) är \( f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \) och
- Derivatan av \( f(x) = \sqrt{x} \) är \( f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \).
Regeln ovan kan användas för att derivera polynom termvis.
Exempel 2:
För polynomfunktionen \( f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 \]
Se även Derivatan av ett polynom.
Derivatan av en funktion med en konstant faktor
Regel:
En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:
- Om \( y = a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} \)
- då \( y\,' = a\cdot f\,'(x) \)
Exempel:
För funktionen \( y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} \) blir derivatan:
- \[ y\,' \, = \,\, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} \]
Även här har vi använt resultatet från Derivatan av en potens, Exempel 3, nämligen:
- Derivatan av \( f(x) = \sqrt{x} \) är \( f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \).
Konstant faktor vs. additiv konstant
I funktionen \( y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} \) är \( \, 6 \) en konstant faktor i funktionsuttrycket.
Derivatan blir \( y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} \) enligt regeln om derivatan av en funktion med en konstant faktor.
I funktionen \( y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} \) är \( \, 6 \) en additiv konstant i funktionsuttrycket.
Derivatan blir \( y' = 0 \,+\, \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} \) enligt regeln om derivatan av en konstant.
Att derivatan av en konstant är \( 0\, \) innebär inte att derivatan av \( a\cdot f(x) \) blir \( 0\cdot f\,'(x) \) och därmed \( 0\, \). Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se Produkt och kvot av funktioner.
Regeln för derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är \( 0\, \). Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:
Regel:
Derivatan av en additiv konstant är \( 0\, \).
Om \( {\color{White} x} y = c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)
då \( {\color{White} x} y' = 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) \).
Exempel:
För funktionen \( {\color{White} x} f(x) = -5 + \displaystyle {1\over x} {\color{White} x} \) blir derivatan:
- \[ {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} \]
Här har vi använt resultatet från Derivatan av en potens, Exempel 2, nämligen:
- Derivatan av \( y = \displaystyle {1 \over x} \) är \( y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \)
Produkt och kvot av funktioner
Regeln om Derivatan av en summa av funktioner säger: En summa av funktioner kan deriveras termvis.
Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner:
1) En produkt av funktioner kan inte deriveras faktorvis.
- Exempel:
- \[ y = x \cdot \sqrt x \]
- \[ y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]
- Rätt:
- \[ y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} \]
- \[ y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x \]
2) Inte heller en kvot av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig.
- Exempel:
- \[ y \,=\, \displaystyle {1 \over x} \]
- \[ y\,' \,\neq\, {0 \over 1} \,=\, 0 \]
- Rätt:
- \[ y\,' \,=\, \displaystyle - \, {1 \over x^2} \]
Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. produkt- resp. kvotregeln. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan.
Tabell över deriveringsregler
Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där \( c,\,a,\,k,\,m,\,n \) är konstanter medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler:
\( y\, \) \( y\,' \) \( c\, \) \( 0\, \) \( x\, \) \( 1\, \) \( a\; x \) \( a\, \) \( k\; x \, + \, m \) \( k\, \) \( x^2\, \) \( 2\,x \) \( a\,x^2 \) \( 2\,a\,x \) \( x^n\, \) \( n\cdot x\,^{n-1} \) \( a\,x\,^n \) \( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \) \( \displaystyle {1 \over x} \) \( \displaystyle - {1 \over x^2} \) \( \sqrt{x} \) \( \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \) \( f(x) + g(x)\, \) \( f\,'(x) + g\,'(x) \) \( a\cdot f(x) \) \( a\cdot f\,'(x) \)
De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.
Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om Derivatan av exponentialfunktioner.
Internetlänkar
http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw
https://www.youtube.com/watch?v=ekESj2A5IiY
https://www.youtube.com/watch?v=hZXusMjayZk
http://www.youtube.com/watch?v=hYKiTPB7jnQ&feature=related
Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
