Skillnad mellan versioner av "1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner"

I matematiken betyder diskret åtskild, avgränsad eller separerad och är motsatsen till kontinuerlig. Heltalen bildar en diskret mängd därför att de är avgränsade från sina "grannar" på tallinjen med ett helsteg. Det finns inget heltal mellan \( \, 2 \, \) och \( \, 3 \, \) och inte heller mellan de andra heltalen. "Antal" är alltid heltal och därmed diskret. Därför är även "antal ägg" diskret: Det finns inga halva eller bråkdel ägg.

I matematiken betyder kontinuerlig sammanhängande och är motsatsen till diskret. De rationella och reella talen är kontinuerliga mängder därför att mellan två sådana tal - hur nära varandra de än mår vara - finns alltid oändligt många andra tal.

Kontinuitet är en matematisk abstraktion som endast förekommer i talmängder eller andra matematiska objekt. Kontinuerliga funktioner är matematiska modeller som man i regel använder för att beskriva verkligheten. Men i vissa fall föredrar man diskreta modeller. Sådana modeller studeras i en speciell disciplin av matematiken som heter Diskret matematik.

Ett exempel på problem som med fördel kan modelleras med diskreta funktioner är följande uppgift som den italienske matematikern Leonardo Pisano Fibonacci år 1202 formulerade i sin bok Liber abaci (Boken om räknekonsten). Fibonaccis problem handlar om kaniners fortplantning:

Följer vi problemets lydelse kan vi räkna fram de första månadernas kaninpopulation:

De två första månaderna finns det \( \, {\color{Red} 1} \, \) kaninpar. De föder sitt första barnpar först efter 2 månader dvs i månad nr 3, varför det finns \( \, {\color{Red} 2} \, \) kaninpar i månad 3. I månad 4 föder det första paret sitt andra barnpar, varför det finns \( \, {\color{Red} 3} \, \) par i månad 4. I månad 5 föder det första paret sitt tredje barnpar, men även deras första barnpar föder ett nytt par, eftersom det har gått 2 månader sedan deras födelse. Därför finns det \( \, {\color{Red} 5} \, \) par i månad 5. Osv. \( \cdots \).

Talföljden \( \, {\color{Red} 1}, \, {\color{Red} 1}, \, {\color{Red} 2}, \, {\color{Red} 3}, \, {\color{Red} 5}, \, \ldots \, \) som representerar antal kaninpar varje månad kallas fibonaccitalen. Undersöker man denna talföljd noga kan man upptäcka följande mönster:

Praktiskt taget blir det allt svårare att hålla reda på antal kaninpar när antalet månader växer. Därför ska vi använda digitala verktyg för att låta datorn göra beräkningsarbetet. Mönstret ovan kan anses som en algoritm, dvs ett tillvägagångssätt, för att programmera datorn. T.ex. lämpar sig kalkylprogrammet Excel utmärkt för en sådan beräkning:

Klicka här för att följa algoritmen.

Klicka här för att följa algoritmen.

Algoritm i Excel

  Hämtar...

Visa mindre Visa mer Dölj allt Visa allt

Beräkningen i Excel visar de \( \, 12 \, \) första fibonaccitalen:

Som man ser ökar kaninpopulationen ganska fort, så att vi nu äntligen kan besvara den inledande frågan:

Det kommer att finnas \( \, 144 \, \) kaninpar om ett år.

När vi beräknade fibonaccitalen konstaterade vi redan att de bildar en funktion. Vi beräknade värdetabellen och ritade även grafen till den. Men vad är dess formel? För att kunna formulera formeln inför vi beteckningarna:

\[ n \, = \, {\rm Antalet\;månader} \]

\[ F(n)\, = \, {\rm Antalet\;kaninpar\;i\;månaden} \, n \]

De första två fibonaccitalen tar vi från värdetabellen ovan. Det är \( \, 1 \, \) och \( \, 1 \, \). Resten - det som följer - är en översättning av mönstret som vi lade till grund för beräkningsalgoritmen, till matematiskt språk. Detta ger oss Fibonaccis funktion:

Så här brukar man skriva för att för en och samma funktion definiera olika uttryck i olika delar av dess definitionsmängd. Kanske blir det enklare att förstå definitionen ovan om vi skriver den på följande förenklat sätt:

\[\begin{array}{rcl} F(1) & = & 1 \\ F(2) & = & 1 \\ F(n) & = & F(n-1) \; + \; F(n-2) \qquad \mbox{om} \quad n = 3,\,4,\,5,\,\cdots \end{array}\]

Formeln ovan definierar Fibonaccis funktion som är en diskret funktion eftersom \( n\, = \, \) antalet kaninpar är heltal.

De första raderna i definitionen ovan säger att de första två fibonaccitalen är \( \, 1 \, \) och \( \, 1 \). Den andra raden säger att det \( \, n\)-te fibonaccitalet är summan av de två föregående, vilket är mönstret vi upptäckte tidigare.

En intressant egenskap av Fibonaccis funktion är att den är rekursiv, vilket betyder att den i sin definition anropar sig själv, fast med olika argument, dvs ett värde beräknas med hjälp av föregående värden. För att se detta titta på raden i definitionen:

\[ F(n) \; = \; F(n-1) \; + \; F(n-2) \]

I en vanlig funktion står \( F(n) \, \) till vänster om likhetstecknet och den oberoende variabeln \( n \, \) till höger. Men här står \( F(n) \, \) på båda sidor likhetstecknet, fast för olika månader (= argument). För att beräkna ett fibonaccital måste man känna till de två föregående. Men eftersom vi har de två första \( F(1) = 1 \, \) och \( F(2) = 1 \, \), s.k. startvärden, kan vi beräkna alla andra successivt dvs rekursivt utgående från dessa startvärden. Att \( F(n) \, \) anropas på båda sidor likhetstecknet är just den rekursiva egenskapen. Därför kallas Fibonaccis formel även Fibonaccis rekursionsformel.

Fibonaccis funktion har många intressanta kopplingar till andra delar inom matematiken. En av dem är sambandet mellan fibonaccitalen och det s.k. gyllene snittet se övning 6.