Skillnad mellan versioner av "1.1 Om tal"

Aritmetik som är vårt första kapitel i denna kurs betyder läran om talen. Men vad är ett tal egentligen? Titta på bilderna nedan:

Självfallet är tre katter inte lika med tre hundar. Men fundera: Vad är det gemensamma hos tre katter och tre hundar?

\(\qquad\) \(\qquad\) \(\qquad\) \(\qquad\)

Om vi bortser från själva katter och hundar så är det antalet tre som är gemensamt för båda mängder. Och just detta gemensamma kallas för talet 3.

Talet \( \, {\color{Red} n} \, \) kan alltså definieras som det enda gemensamma hos mängder som innehåller precis \( \, {\color{Red} n} \, \) element, dvs antalet saker och ting som finns i en mängd.

Men att definiera tal med antal är ju bara att byta ut ett okänt ord mot ett annat, vilket inte löser problemet att förstå talbegreppet. Det är i själva verket tankeprocessen bakom räknandet av antal, som leder till talbegreppet. Att räkna antalet saker och ting i en mängd har vi lärt oss som barn. Men hur det gick till har vi antingen glömt eller aldrig brytt oss om.

Därför pågår tankeprocessen bakom räknandet i regel omedvetet och består i att bortse från skillnader (katter och hundar) och att bibehålla det gemensamma (antalet tre) hos olika verkliga objekt. Denna process kallas för:

Allt vi sade ovan är sant åtminstone för den enklaste typen av tal, de positiva heltalen:

dvs antal saker och ting i en mängd, t.ex. fingrarna i våra händer. Generellt är positiva tal alla tal större än \( \, 0 \, \). Till själva nollan kommer man genom att dra av två lika stora positiva tal från varandra, t.ex. \( \, 4 - 4 = 0 \, \). De positiva heltalen bildar tillsammans med \( \, 0 \, \) de s.k. naturliga talen:

Drar man av ett större naturligt tal från ett mindre, t.ex. \( \, 4 - 5 = -1 \, \) kommer man till negativa tal. De naturliga talen bildar tillsammans med de negativa talen de s.k. heltalen:

Delar man två heltal med varandra, t.ex. \( \, 1 / 3 = \displaystyle{1 \over 3} \, \) kommer man till bråktal. Heltalen bildar tillsammans med bråktalen de s.k. rationella talen: Alla rationella tal kan skrivas i bråkform. Tvärtom: Alla bråk är rationella tal. Det finns tal som inte kan anges som bråk. Drar man t.ex. roten ur \( \, 2 \, \) kommer man till ett s.k. irrationellt tal: \[\sqrt{2} = 1,4142135623730950488016887\ldots \, \]

\( \qquad \)

\( \sqrt{2} \, \) är ett irrationellt tal eftersom det har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period). Därför kan \( \, \sqrt{2} \, \) inte anges i bråkform.

De rationella talen bildar tillsammans med de irrationella talen de s.k. reella talen. Men det finns ytterligare en talmängd som är mer omfattande än de reella talen:

Löser man t.ex. ekvationen \( x^2 + 1 = 0 \) kommer man till ett s.k. imaginärt tal:

\[ \, x = \sqrt{-1} \, \]

De reella talen bildar tillsammans med de imaginära talen de s.k. komplexa talen. Bilden ovan visar hur de olika taltyperna är delmängder av varandra.

Alla talmängder bygger sin konstruktion på och är resultat av abstraktioner, i princip av samma typ som vi inledningsvis introducerade talbegreppet \(-\) fast på högre nivå.

Så kallas vårt talsystem, som vi dagligen använder. Att räknar med tal är en sak. Att kommunicera tal så att alla förstår, är en helt annan sak. För att kunna kommunicera tal måste vi beteckna tal, dvs ge talen \(-\) som ju är resultat av abstraktion \(-\) en konkret form.

Man pratar om representation av tal, dvs att visa eller framställa talet. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att representera tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över \(-\) vårt talsystem \(-\) är det s.k. decimala positionssystemet. Det har visat sig att det är det enklaste sättet att kommunicera tal.

Decimalt heter vårt talsystem därför att det bygger på basen \( \, 10 \, \) (på latin: deci). Dvs man använder de första \( \, 10 \, \) siffrorna:

för att representera alla andra tal. Antagligen har urmänniskan räknat första gången genom att räkna upp sina \( \, 10 \, \) fingrar. Det är praktiskt - och vi gör det även idag - att ta sina fingrar till hjälp när man räknar i huvudet. Alla tal större än \( \, 10 \, \) bildas med hjälp av dessa siffror \( \, 0\)-\(9 \, \).

Positionssystem heter vårt talsystem därför att det är positionen eller placeringen av siffrorna \( \, 0\)-\(9 \, \) i talet som bestämmer siffrornas och därmed talets värde. De olika positioner som bestämmer värdet har följande beteckningar:

• ental
• tiotal
• hundratal
• tusental
• tiotusental osv.

Man börjar med att från vänster skriva siffran med det högsta värdet. Sedan följer de andra med nedstigande värden.

Så siffran med det minsta värdet, entalet, hamnar sist dvs längst till höger.

De fyra räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division har vi lärt oss i grundskolan. De är räkneoperationer. Deras resultat kallas för: