Skillnad mellan versioner av "1.1 Lösning 11"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(24 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
Tittar man på grafen i lösningen av [[1.1 Lösning 4b|övning 4b]] kan man se att man t.ex. behöver bara höja den räta linjens lutning för att få en skärningspunkt mellan kurvan och den räta linjen.
+
Först förenklar vi ekvationen genom att ordna termerna och bli av med bråken:
  
−
Grafen visar också att en höjning av lutningen till 3 skulle räcka för en skärningspunkt. Därför borde följande rotekvation få en sann rot:
+
<math>\begin{align} {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2                    & = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) & & \qquad  \\
 +
                    {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 + (x^2 + 4\,x + 1) & = {3\over2}                    & & \qquad | \cdot 2            \\
 +
                    (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1)        & = 3                            & & \qquad | - 3                \\
 +
                    (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) - 3    & = 0                                                            \\
 +
    \end{align}</math>
  
−
<math> \sqrt{x^2 + 1} = 3\,x - 3 </math>
+
Nu ser man att uttrycket <math> x^2 + 4\,x + 1 </math> förekommer två gånger i ekvationen. Ersätter man det med en ny variabel kan ekvationen förenklas väsentligt. Gör man det på rätt sätt går 4:e gradsekvationen över till en 2:e gradsekvation. Följande substitution åstadkommer detta:
  
−
Lösningen:
+
::::::<math> t = x^2 + 4\,x + 1 </math>
  
−
<math>\begin{align} \sqrt{x^2 + 1} & = 3\,x - 3          & & \qquad | \; (\;\;\;)^2  \\
+
Ersätter man i 4:e gradsekvationen <math> (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) - 3 = 0 </math> enligt substitutionen ovan <math> x^2 + 4\,x + 1 </math> med <math> \displaystyle t </math> får man 2:e gradsekvationen <math> t^2 + 2\,t - 3 = 0 </math> som kan lösas med pq-formeln:
−
                    x^2 + 1       & = (3\,x - 3)^2       & &                          \\
+
 
−
                    x^2 + 1        & = 9\,x^2 - 18\,x + 9 & & \qquad | \;\; - x^2      \\
+
:::::<math>\begin{align} t^2 + 2\,t - 3 & = 0                    \\
−
                          1        & = 8\,x^2 - 18\,x + 9 & & \qquad | \;\; - 1       \\
+
                              t_{1,2}  & = - 1 \pm \sqrt{1 + 3} \\
−
                          0        & = 8\,x^2 - 18\,x + 8 & & \qquad | \;\; / 8        \\
+
                              t_{1,2}  & = - 1 \pm 2            \\
−
                          0        & = x^2 - 2,25\,x + 1                              \\
+
                              t_1     & = 1                     \\
−
                          x_{1,2}  & = 1,125 \pm \sqrt{1,266 - 1}                     \\
+
                              t_2     & = - 3                  \\
−
                          x_{1,2}  & = 1,125 \pm 0,515                                \\
+
−
                          x_1     & = 1,64                                            \\
+
−
                          x_2     & = 0,61                                            \\
+
 
     \end{align}</math>
 
     \end{align}</math>
  
−
Prövning av <math> x_1 = 1,64 </math>:
+
Sätter vi först <math> t_1 = 1 </math> tillbaka i substitutionen ovan får vi:
 +
 
 +
:::::<math>\begin{align} x^2 + 4\,x + 1 & = 1        & & \qquad\qquad\quad | - 1  \\
 +
                        x^2 + 4\,x    & = 0                                      \\
 +
    \end{align}</math>
 +
 
 +
Eftersom detta är en 2:e gradsekvation som saknar konstant term kan vi genom att bryta ut x på vänsterledet och använda nollproduktmetoden lösa den enkelt:
 +
 
 +
::::::<math>\begin{align} x\;(x + 4)    & = 0                  \\
 +
                                x_1      & = 0                  \\
 +
                                x_2      & = - 4                \\
 +
    \end{align}</math>
 +
 
 +
Sätter vi sedan <math> t_2 = - 3 </math> tillbaka i substitutionen ovan får vi:
 +
 
 +
:::::<math>\begin{align} x^2 + 4\,x + 1 & = -3        & & | + 3  \\
 +
                        x^2 + 4\,x + 4 & = 0                    \\
 +
                              x_{3,4}  & = - 2 \pm \sqrt{4 - 4} \\
 +
                              x_3      & = - 2                  \\
 +
    \end{align}</math>
 +
 
 +
Sammanfattningsvis kan vi ange att ekvationen
 +
 
 +
<math> {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) </math>
  
−
VL: <math> \sqrt{1,64^2 + 1} = 1,92 </math>
+
har lösningarna:
  
−
HL: <math> 3\cdot1,64 - 3 = 1,92 </math>
+
<math> \displaystyle x_1 = 0 </math>
  
−
VL = HL <math> \Rightarrow\, x = 1,64 </math> är en sann rot. I denna uppgift räcker det att visa en sann rot.
+
<math> \displaystyle x_2 = -4 </math>
  
−
Den andra lösningen <math> x_1 = 0,61 </math> är en falsk rot vilket återstår att visa.
+
<math> \displaystyle x_3 = -2 </math>

Nuvarande version från 7 februari 2011 kl. 08.22

Först förenklar vi ekvationen genom att ordna termerna och bli av med bråken\[\begin{align} {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 & = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) & & \qquad \\ {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 + (x^2 + 4\,x + 1) & = {3\over2} & & \qquad | \cdot 2 \\ (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) & = 3 & & \qquad | - 3 \\ (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) - 3 & = 0 \\ \end{align}\]

Nu ser man att uttrycket \( x^2 + 4\,x + 1 \) förekommer två gånger i ekvationen. Ersätter man det med en ny variabel kan ekvationen förenklas väsentligt. Gör man det på rätt sätt går 4:e gradsekvationen över till en 2:e gradsekvation. Följande substitution åstadkommer detta:

\[ t = x^2 + 4\,x + 1 \]

Ersätter man i 4:e gradsekvationen \( (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) - 3 = 0 \) enligt substitutionen ovan \( x^2 + 4\,x + 1 \) med \( \displaystyle t \) får man 2:e gradsekvationen \( t^2 + 2\,t - 3 = 0 \) som kan lösas med pq-formeln:

\[\begin{align} t^2 + 2\,t - 3 & = 0 \\ t_{1,2} & = - 1 \pm \sqrt{1 + 3} \\ t_{1,2} & = - 1 \pm 2 \\ t_1 & = 1 \\ t_2 & = - 3 \\ \end{align}\]

Sätter vi först \( t_1 = 1 \) tillbaka i substitutionen ovan får vi:

\[\begin{align} x^2 + 4\,x + 1 & = 1 & & \qquad\qquad\quad | - 1 \\ x^2 + 4\,x & = 0 \\ \end{align}\]

Eftersom detta är en 2:e gradsekvation som saknar konstant term kan vi genom att bryta ut x på vänsterledet och använda nollproduktmetoden lösa den enkelt:

\[\begin{align} x\;(x + 4) & = 0 \\ x_1 & = 0 \\ x_2 & = - 4 \\ \end{align}\]

Sätter vi sedan \( t_2 = - 3 \) tillbaka i substitutionen ovan får vi:

\[\begin{align} x^2 + 4\,x + 1 & = -3 & & | + 3 \\ x^2 + 4\,x + 4 & = 0 \\ x_{3,4} & = - 2 \pm \sqrt{4 - 4} \\ x_3 & = - 2 \\ \end{align}\]

Sammanfattningsvis kan vi ange att ekvationen

\( {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) \)

har lösningarna\[ \displaystyle x_1 = 0 \]

\( \displaystyle x_2 = -4 \)

\( \displaystyle x_3 = -2 \)

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=1.1_Lösning_11&oldid=2238"