Skillnad mellan versioner av "1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner"

Versionen från 22 september 2014 kl. 09.20

Lektion 8 Kontinuerliga & diskreta funktioner

Allmän definition

I teoridelen sade vi att kontinuerlig betydde sammanhängande (motsatsen till diskret).

Som exempel ritade vi grafen till en enkel linjär funktion med en genomdragen linje. Man kunde rita den utan att lyfta pennan. Vi kallade den kontinuerlig därför att dess definitionsmängd var kontinuerlig. Som exempel på kontinuerliga mängder nämnde vi de rationella och reella talen. Som ytterligare exempel på kontinuerliga funktioner nämndes polynomfunktionerna, se grafen där.

Allt detta är sant. Men förhållandena i tillämpningarna är ofta mer komplicerade än så. I vissa fall kan vi med verktygen ovan inte avgöra om en funktion är kontinuerlig. Vi behöver en exakt definition.

Diskreta funktioner är enkelt att identifiera: 1) Diskret definitionsmängd, i regel heltalen. 2) Åtskilda punkter som graf. Därför koncentrerar vi oss här på kontinuerliga funktioner.

Definition:

Den andra raden i definitionen läses så här \( {\color{White} x} f(x)\, \) går mot \( f(a)\, \) när \( x\, \) går mot \( a \).

Observera att definitionen är punktvis, dvs den talar om när en funktion är kontinuerlig för ett visst \( {\color{Red} x}\, \)-värde nämligen för \( {\color{Red} {x = a}}\, \). Det finns ingen föreskrift för att avgöra om en funktion i sin helhet är kontinuerlig. Man skulle kunna lägga till att en funktion i sin helhet är kontinuerlig om den är kontinuerlig för alla \( x\, \).

Exempel 1

Låt oss återuppta ett exempel som behandlades i Fördjupning till rationella uttryck nämligen funktionen:

a) Låt oss med hjälp av definitionen undersöka om den är kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 0}}\, \). För att tillämpa definitionen på vårt exempel ersätter vi där \( a \, \) med \( 0 \, \) och \( f(x) \, \) med \( 1 \over x \).

Då säger definitionen: \( y = f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) är kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 0}}\, \) om:

\[ {1 \over x} \to f(0) \quad {\rm när} \quad x \to 0 \]

Titta på grafen: Närmar man sig \( 0\, \) på \( x\, \)-axeln från höger eller från vänster, går \( y\, \) mot \( +\infty \) eller \( -\infty \). Med andra ord \( f(0)\, \) dvs \( 1 \over 0 \) är inte ens definierad. Då kan \( 1 \over x \) inte heller gå mot något som inte är definierat. Därmed är definitionens krav inte uppfyllt.

Slutsats: Funktionen \( y = \) \( 1 \over x \) är inte kontinuerlig för \( x = 0\, \).

Här ser man också att en funktion måste åtminstone vara definierad för ett visst \( x \, \), för att den ska vara kontinuerlig för detta \( x \, \).

b) Låt oss nu undersöka om funktionen är kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 2}}\, \). För att tillämpa definitionen på vårt exempel ersätter vi där \( a \, \) med \( 2 \, \) och \( f(x) \, \) med \( 1 \over x \).

Då säger definitionen: \( y = f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) är kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 2}}\, \) om:

\[ {1 \over x} \to {1 \over 2} \quad {\rm när} \quad x \to 2 \]

Titta på grafen: Närmar man sig \( 2\, \) på \( x\, \)-axeln från höger eller från vänster, närmar sig \( y\, \) värdet \( 1 \over 2 \) i båda fall, därör att \( f(2) = \) \( 1 \over 2 \). Därmed är dfinitionens krav uppfyllt.

Slutsats: Funktionen \( y = \) \( 1 \over x \) är kontinuerlig för \( x = 2\, \).

På samma sätt kan man undersöka om funktionen är kontinuerlig för andra \( {\color{Red} x}\, \). Resultatet blir:

Resultatet kan också ses i grafen: Endast i \( x=0\, \) skenar kurvorna iväg mot oändligheten, den ena mot \( + \infty\, \), den andra mot \( - \infty\, \), annars är de sammanhängande.

Exempel 2

Inom datateknik används en funktion som heter Heavisidefunktionen:

De ihåliga ringarna vid \( y = 1 \, \) och \( y = -1 \, \) betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd, medan den ifyllda ringen vid origo innebär att detta värde tillhör värdemängden.

Grafen visar en signal vars amplitud skiftar från 0 till 1 - en egenskap som liknar impulserna inom datornätverk med ettor och nollor. Funktionens skapare Oliver Heaviside använde den för att modellera strömmen genom elektriska kretsar.

Precis som hos Fibonaccis funktion har man även här utnyttjat möjligheten att för en och samma funktion definiera olika funktionsuttryck i olika delar av dess definitionsmängd. Kanske kan formeln ovan samt grafen, inkl. de ihåliga och ifyllda ringarna, förstås bättre med följande förenkling (OBS! Matematiskt inte korrekt):

\[\begin{array}{rcl} H(\mbox{negativa tal}) & = & -1 \\ H(0) & = & 0 \\ H(\mbox{positiv tal}) & = & 1 \end{array}\]

Låt oss nu med hjälp av den allmänna definitionen för kontinuerliga funktioner undersöka om Heavisidefunktionen är kontinuerlig för \( {\color{Red} x = 0}\, \). Enligt definitionen borde då:

\[ H(x) \to H(0) \quad {\rm när} \quad x \to 0 \]

Närmar man sig \( 0\, \) på \( x\, \)-axeln från höger närmar sig \( H(x)\, \) värdet \( 1\, \). Närmar man sig \( 0\, \) från vänster närmar sig \( H(x)\, \) värdet \( -1\, \). Dvs \( H(x) \to 1\, \) och \( \to -1\, \) när \( x \to 0 \).

Men \( H(0) = 0\, \). \( H(x)\, \) går dock inte mot \( H(0) = 0\, \) när \( x \to 0 \), vilket den borde göra om den hade varit kontinuerlig för \( x = 0\, \).

Därmed är definitionens krav inte uppfyllt. Funktionen \( H(x)\, \) är inte kontinuerlig för \( x = 0\, \).

Undersökar man vidare kontinuiteten för andra \( x\, \) kommer det att visa sig att \( H(x)\, \) är kontinuerlig för alla andra \( x\, \):

Resultatet kan också ses i grafen: Endast i \( x=0\, \) har den ett hopp, annars är den sammanhängande.

Olika typer av diskontinuitet

Tittar man bara på resultatet kan man inte upptäcka någon skillnad mellan Exempel 1 och Exempel 2: Båda funktionerna är kontinuerliga för alla \( x \neq 0 \). Men graferna - och även funktionernas definition - visar ändå en ganska markant skillnad. Faktiskt handlar det om två helt olika typer av diskontinuitet i \( x = 0\, \):

Diskontinuitet av typ oändlighetsställe

I Exempel 1 är funktionen inte kontinuerlig för \( x = 0\, \) därför att \( y = \) \( 1 \over x \) överhuvudtaget inte är definierad för \( x = 0\, \). Kurvorna skenar iväg mot oändligheten, den ena mot \( + \infty\, \), den andra mot \( - \infty\, \). Detta beror förstås på uttrycket \( 1 \over x \) som inte är definierad för \( x = 0\, \). Vi har ett slags oändlighetsställe i \( x = 0\, \) vilket är ganska typiskt för rationella funktioner. Den här typen av diskontinuitet är en konsekvens av funktionens icke-definierbarhet i \( x = 0\, \). Annars är funktionen kontinuerlig i sin definitionsmängd.

Diskontinuitet av typ hopp

I Exempel 2 är Heavisidefunktionen inte kontinuerlig för \( x = 0\, \) därför att \( H(x)\, \) har ett hopp i sitt förlopp just i \( x = 0\, \). Den har ett väl definierat värde för \( x = 0\, \), nämligen \( H(0) = 0\, \). Men hoppet från \( -1\, \) till \( 0\, \) och vidare från \( 0\, \) till \( 1\, \) gör att det uppstår en diskontinuitet just där. Att denna diskontinuitet är av en annan typ än oändlighetsstället i Exempel 1 är uppenbart. Till skillnad från Exempel 1 är funktionen i alla fall beräknebar, trots diskontinuiteten. Ja, den är t.o.m en bra modell för verkligheten, för så beter sig en signal när den hoppar från noll till ett, nämligen diskontinuerligt.

Det finns även andra typer av diskontinuitet, men de två ovannämnda är de oftast förekommande.

Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.