Skillnad mellan versioner av "1.3 Polynom i faktorform"

Versionen från 29 december 2010 kl. 16.03

Du minns väl att ett uttryck av formen

\[ a \cdot b \]

är en produkt. Ingredienserna \(a\,\) och \(b\,\) kallas faktorer. Ett polynom i faktorform innebär att skriva om polynomet, som ursprungligen är en summa av termer, till en produkt. T.ex.:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]

Till vänster om likhetstecknet har vi ett vanligt polynom. Till höger står en produkt som kallas polynom i faktorform vars ingredienser är faktorerna \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \). Likheten mellan dem inser man genom att utveckla produkten:

\[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]

Detta visar samtidigt att 3 och 4 är polynomets rötter dvs lösningar till ekvationen \( (x-3) \cdot (x-4) = 0 \) vilket lätt kan verifieras med nollproduktmetoden. Att vi i mellanräkningen litet "onödigt" skriver \( x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 \) beror på att vi dessutom vill förtydliga följande samband mellan 3 och 4 å ena sidan och polynomets koefficienter å andra sidan: x-termens koefficient -7 är summan av 3 och 4 med omvänt förtecken. Polynomets konstanta term 12 är produkten till 3 och 4, dvs:

\[ 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 \]

Du kan alltid roa dina vänner genom att låta dem säga två tal, t.ex. 3 och 4, och omedelbart skriva upp 2:a gradsekvationen

\[ x^2 - 7\,x + 12 = 0 \]

och låta dina vänner lösa ekvationen. De kommer att få just dessa två tal som lösningar. För att bilda ekvationen behöver du bara summera talen och sätta summan med omvänt förtecken framför x samt multiplicera talen med varandra och använda produkten som 2:a gradsekvationens konstanta term. Prova gärna med andra tal. Det kommer alltid att stämma, vilket inte är något trolleri utan resultat av en generell matematisk sats om sambandet mellan ett polynoms rötter och dess koefficienter som