Skillnad mellan versioner av "1.3 Polynom i faktorform"
Taifun (Diskussion | bidrag) |
Taifun (Diskussion | bidrag) |
||
| Rad 18: | Rad 18: | ||
::::<math> (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 </math> | ::::<math> (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 </math> | ||
| − | Att vi i mellanräkningen litet "onödigt" skriver <math> x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 </math> beror på att vi vill förtydliga följande | + | Att vi i mellanräkningen litet "onödigt" skriver <math> x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 </math> beror på att vi vill förtydliga följande samband mellan 3 och 4 och polynomets koefficienter: x-termens koefficient -7 är summan av 3 och 4 med omvänt förtecken. Polynomets konstanta term 12 är produkten till 3 och 4, dvs: |
| − | + | ||
| − | 3 och 4 | + | |
:::::::::::<math> 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 </math> | :::::::::::<math> 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 </math> | ||
| Rad 28: | Rad 26: | ||
::::::::::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = 0 </math> | ::::::::::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = 0 </math> | ||
| − | + | och låta dina vänner lösa ekvationen. De kommer att få just dessa två tal som lösningar. För att bilda ekvationen behöver du bara summera talen och sätta summan med omvänt förtecken framför x och multiplicera talen med varandra och använda produkten som 2:a gradsekvationens konstanta term. | |
3 och 4 är inte bara polynomets rötter dvs lösningar till ekvationen <math> (x-3) \cdot (x-4) = 0 </math> (nollproduktmetoden) utan | 3 och 4 är inte bara polynomets rötter dvs lösningar till ekvationen <math> (x-3) \cdot (x-4) = 0 </math> (nollproduktmetoden) utan | ||
Versionen från 29 december 2010 kl. 14.45
| Teori | Övningar |
Du minns väl att ett uttryck av formen
- \[ a \cdot b \]
är en produkt. Ingredienserna \(a\,\) och \(b\,\) kallas faktorer. Ett polynom i faktorform innebär att skriva om polynomet, som ursprungligen är en summa av termer, till en produkt. T.ex.:
- \[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]
Till vänster om likhetstecknet har vi ett vanligt polynom. Till höger står en produkt som kallas polynom i faktorform vars ingredienser är faktorerna \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \). Likheten mellan dem inser man när man utvecklar produkten:
- \[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]
Att vi i mellanräkningen litet "onödigt" skriver \( x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 \) beror på att vi vill förtydliga följande samband mellan 3 och 4 och polynomets koefficienter: x-termens koefficient -7 är summan av 3 och 4 med omvänt förtecken. Polynomets konstanta term 12 är produkten till 3 och 4, dvs:
- \[ 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 \]
Detta samband gäller generellt. Du kan alltid roa dina vänner genom att låta dem säga två tal, t.ex. 3 och 4, och omedelbart skriva upp 2:a gradsekvationen
- \[ x^2 - 7\,x + 12 = 0 \]
och låta dina vänner lösa ekvationen. De kommer att få just dessa två tal som lösningar. För att bilda ekvationen behöver du bara summera talen och sätta summan med omvänt förtecken framför x och multiplicera talen med varandra och använda produkten som 2:a gradsekvationens konstanta term.
3 och 4 är inte bara polynomets rötter dvs lösningar till ekvationen \( (x-3) \cdot (x-4) = 0 \) (nollproduktmetoden) utan
