Skillnad mellan versioner av "1.3 Polynom i faktorform"
Taifun (Diskussion | bidrag) |
Taifun (Diskussion | bidrag) |
||
| Rad 10: | Rad 10: | ||
:::::::::::::::<math> a \cdot b </math> | :::::::::::::::<math> a \cdot b </math> | ||
| − | är en <span style="color:red">produkt</span>. Ingredienserna <math>a\,</math> och <math>b\,</math> kallas <span style="color:red">faktorer</span>. Ett polynom i faktorform innebär att skriva om | + | är en <span style="color:red">produkt</span>. Ingredienserna <math>a\,</math> och <math>b\,</math> kallas <span style="color:red">faktorer</span>. Ett polynom i faktorform innebär att skriva om polynomet, som ursprungligen är en summa av termer, till en produkt. T.ex.: |
:::::::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) </math> | :::::::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) </math> | ||
| Rad 18: | Rad 18: | ||
::::<math> (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 </math> | ::::<math> (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 </math> | ||
| − | Att vi i mellanräkningen litet konstigt skriver <math> x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 </math> beror på att vi vill förtydliga följande | + | Att vi i mellanräkningen litet konstigt skriver <math> x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 </math> beror på att vi vill förtydliga följande: |
| − | 3 och 4 står i följande samband med polynomets koefficienter: Den linjära termens koefficient är rötternas summa med omvänt förtecken. Den konstanta termen är rötternas produkt. Dvs: | + | 3 och 4 är inte bara polynomets rötter dvs lösningar till ekvationen <math> (x-3) \cdot (x-4) = 0 </math> (nollproduktmetoden) utan står i följande samband med polynomets koefficienter: Den linjära termens koefficient dvs -7 är rötternas summa med omvänt förtecken. Den konstanta termen är rötternas produkt. Dvs: |
:::::::::::<math> 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 </math> | :::::::::::<math> 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 </math> | ||
| Rad 29: | Rad 29: | ||
som har just dessa tal som lösningar. | som har just dessa tal som lösningar. | ||
| − | |||
| − | |||
Versionen från 29 december 2010 kl. 13.15
| Teori | Övningar |
Du minns väl att ett uttryck av formen
- \[ a \cdot b \]
är en produkt. Ingredienserna \(a\,\) och \(b\,\) kallas faktorer. Ett polynom i faktorform innebär att skriva om polynomet, som ursprungligen är en summa av termer, till en produkt. T.ex.:
- \[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]
Till höger om likhetstecknet står en produkt som kallas polynom i faktorform vars ingredienser är faktorerna \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \). Detta inser man när man utvecklar produkten:
- \[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]
Att vi i mellanräkningen litet konstigt skriver \( x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 \) beror på att vi vill förtydliga följande:
3 och 4 är inte bara polynomets rötter dvs lösningar till ekvationen \( (x-3) \cdot (x-4) = 0 \) (nollproduktmetoden) utan står i följande samband med polynomets koefficienter: Den linjära termens koefficient dvs -7 är rötternas summa med omvänt förtecken. Den konstanta termen är rötternas produkt. Dvs:
- \[ 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 \]
Det underbara är att detta gäller generellt. Du kan roa dina vänner genom att låta dem säga två tal, t.ex. 3 och 4, och omedelbart skriva upp 2:a gradsekvationen
- \[ x^2 - 7\,x + 12 = 0 \]
som har just dessa tal som lösningar.
