Skillnad mellan versioner av "1.3 Polynom i faktorform"

Versionen från 29 december 2010 kl. 11.41

Du minns väl att ett uttryck av formen

\[ a \cdot b \]

är en produkt. Ingredienserna \(a\,\) och \(b\,\) kallas faktorer. Ett polynom i faktorform innebär att skriva om ett polynom, som ursprungligen är en summa av termer, till en produkt. T.ex.:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]

Till höger om likhetstecknet står en produkt av de två faktorerna \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \). Produkten kallas polynom i faktorform, vilket man inser när man utvecklar produkten:

\[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]

Att vi skriver mellanräkningen på det konstiga sättet \( x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 \) beror på att vi vill förtydliga följande samband:

3 och 4 är inte bara polynomets rötter dvs lösningar till ekvationen \( (x-3) \cdot (x-4) = 0 \) (nollproduktmetoden) utan står i följande samband med polynomets koefficienter: Den linjära termens koefficient är rötternas summa med omvänt förtecken. Den konstanta termen är rötternas produkt. Dvs:

\[ 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 \]

Det underbara är att detta gäller generellt. Du kan roa dina vänner genom att låta dem säga två tal, t.ex. 3 och 4, och omedelbart skriva upp 2:a gradsekvationen

\[ x^2 - 7\,x + 12 = 0 \]

som har just dessa tal som lösningar.