Skillnad mellan versioner av "1.1 Lösning 10"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (Created page with "Det minsta femsiffriga talet utan några speciella krav är 10 000. För att hålla det så litet som möjligt och samtidigt uppfylla kravet på att dess tiotal ska vara dubbelt ...")
 
m
 
(14 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
Det minsta femsiffriga talet utan några speciella krav är 10 000. För att hålla det så litet som möjligt och samtidigt uppfylla kravet på att dess tiotal ska vara dubbelt så stor som tusentalet, väljer vi 1 som tusental. Då måste tiotalet vara 2 (dubbelt så stor som 1). Vi får alltså talet 11 020. För att igen hålla det så litet som möjligt bestämmer vi oss för att bibehålla nollorna och bara kolla om talet inte ändrar sitt värde om vi kastar om hundratalet 0 med entalet 0. Det gör det inte. Därför är 11 020 det sökta talet.
+
I ekvationen
 +
 
 +
:<math> {1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}} </math>
 +
 
 +
inför vi den nya variabeln <math> t = {1 \over \sqrt{x}} </math> (substitution) vilket ger upphov till <math> t^2 = {1 \over x} </math> när det hela kvadreras.
 +
 
 +
Ersätter vi i ekvationen ovan <math> 1 \over \sqrt{x} </math> med <math> t\, </math> och <math> 1 \over x </math> med <math> t^2\, </math> får vi:
 +
 
 +
:<math>\begin{align} t^2          & = 306 - t      & | \, - 306 + t                      \\
 +
                    t^2 + t - 306 & = 0                                                    \\
 +
                          t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + 306}            \\
 +
                          t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + {1224 \over 4}} \\
 +
                          t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{1225 \over 4}                \\
 +
                          t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm {35 \over 2}                        \\
 +
                          t_1    & = {34 \over 2} = 17                                    \\
 +
                          t_2    & = -{36 \over 2} = -18                                  \\
 +
      \end{align}</math>
 +
 
 +
Sätter vi tillbaka <math> t_1 = 17\, </math> i substitutionen som vi gjorde i början får vi
 +
 
 +
:::<math>\begin{align} 17 & = {1 \over \sqrt{x_1}} &&  \qquad | \; (\;\;\;)^2        \\
 +
                      289 & = {1 \over x_1}        &&  \qquad | \; \cdot x_1 \;/\;289 \\
 +
                      x_1& = {1 \over 289}
 +
      \end{align}</math>
 +
 
 +
Sätter vi tillbaka <math> t_2 = -18\, </math> i substitutionen får vi:
 +
 
 +
:::<math>\begin{align} -18 & = {1 \over \sqrt{x_2}} &&  \qquad | \; (\;\;\;)^2            \\
 +
                      324 & = {1 \over x_2}          &&  \qquad | \; \cdot x_2 \;/\;324 \\
 +
                      x_2 & = {1 \over 324}                                              \\
 +
      \end{align}</math>
 +
 
 +
Prövning för <big><math> x_1 = {1 \over 289} </math></big>:
 +
 
 +
VL <math> {\color{White} x} {1 \over {1 \over 289}} = 289 </math>
 +
 
 +
HL <math> {\color{White} x} 306 - {1 \over \sqrt{1 \over 289}} = 306 - {1 \over {1 \over 17}} = 306 - 17 = 289 </math>
 +
 
 +
VL = HL <math> \Rightarrow\, x_1 = {1 \over 289} </math> är en sann rot.
 +
 
 +
Prövning för <big><math> x_2 = {1 \over 324} </math></big>:
 +
 
 +
VL <math> {\color{White} x} {1 \over {1 \over 324}} = 324 </math>
 +
 
 +
HL <math> {\color{White} x} 306 - {1 \over \sqrt{1 \over 324}} = 306 - {1 \over {1 \over 18}} = 306 - 18 = 288 </math>
 +
 
 +
VL <math> \not= </math> HL <math> \Rightarrow\, x_2 = {1 \over 324} </math> är en falsk rot.

Nuvarande version från 4 augusti 2014 kl. 16.04

I ekvationen

\[ {1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}} \]

inför vi den nya variabeln \( t = {1 \over \sqrt{x}} \) (substitution) vilket ger upphov till \( t^2 = {1 \over x} \) när det hela kvadreras.

Ersätter vi i ekvationen ovan \( 1 \over \sqrt{x} \) med \( t\, \) och \( 1 \over x \) med \( t^2\, \) får vi:

\[\begin{align} t^2 & = 306 - t & | \, - 306 + t \\ t^2 + t - 306 & = 0 \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + 306} \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + {1224 \over 4}} \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{1225 \over 4} \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm {35 \over 2} \\ t_1 & = {34 \over 2} = 17 \\ t_2 & = -{36 \over 2} = -18 \\ \end{align}\]

Sätter vi tillbaka \( t_1 = 17\, \) i substitutionen som vi gjorde i början får vi

\[\begin{align} 17 & = {1 \over \sqrt{x_1}} && \qquad | \; (\;\;\;)^2 \\ 289 & = {1 \over x_1} && \qquad | \; \cdot x_1 \;/\;289 \\ x_1& = {1 \over 289} \end{align}\]

Sätter vi tillbaka \( t_2 = -18\, \) i substitutionen får vi:

\[\begin{align} -18 & = {1 \over \sqrt{x_2}} && \qquad | \; (\;\;\;)^2 \\ 324 & = {1 \over x_2} && \qquad | \; \cdot x_2 \;/\;324 \\ x_2 & = {1 \over 324} \\ \end{align}\]

Prövning för \( x_1 = {1 \over 289} \):

VL \( {\color{White} x} {1 \over {1 \over 289}} = 289 \)

HL \( {\color{White} x} 306 - {1 \over \sqrt{1 \over 289}} = 306 - {1 \over {1 \over 17}} = 306 - 17 = 289 \)

VL = HL \( \Rightarrow\, x_1 = {1 \over 289} \) är en sann rot.

Prövning för \( x_2 = {1 \over 324} \):

VL \( {\color{White} x} {1 \over {1 \over 324}} = 324 \)

HL \( {\color{White} x} 306 - {1 \over \sqrt{1 \over 324}} = 306 - {1 \over {1 \over 18}} = 306 - 18 = 288 \)

VL \( \not= \) HL \( \Rightarrow\, x_2 = {1 \over 324} \) är en falsk rot.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=1.1_Lösning_10&oldid=12200"