Skillnad mellan versioner av "1.3 Polynom i faktorform"
Taifun (Diskussion | bidrag) (→Vad är en faktor?) |
Taifun (Diskussion | bidrag) (→Vad är en faktor?) |
||
| Rad 13: | Rad 13: | ||
::::::::::::::::<math> a \cdot b </math> | ::::::::::::::::<math> a \cdot b </math> | ||
| − | är en <span style="color:red">produkt</span>. | + | är en <span style="color:red">produkt</span>. Ingredienserna <math>a\,</math> och <math>b\,</math> kallas <span style="color:red">faktorer</span>. Ett polynom i faktorform innebär att skriva om ett polynom, som ursprungligen är en summa av termer, till en produkt. T.ex.: |
| − | + | :::::::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) </math> | |
| − | Till höger om likhetstecknet står en produkt av de två faktorerna <math> (x-3)\, </math> och <math> (x-4)\, </math> | + | Till höger om likhetstecknet står en produkt av de två faktorerna <math> (x-3)\, </math> och <math> (x-4)\, </math>. Produkten kallas <span style="color:red">polynom i faktorform</span>, vilket man inser när man utvecklar produkten: |
| − | + | ::::<math> (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 </math> | |
| − | Att vi skriver mellanräkningen på det konstiga sättet <math>x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4</math> beror på att vi vill förtydliga följande | + | Att vi skriver mellanräkningen på det konstiga sättet <math> x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 </math> beror på att vi vill förtydliga följande samband: |
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | 3 och 4 är inte bara polynomets rötter dvs lösningar till ekvationen <math> (x-3) \cdot (x-4) = 0 </math> (nollproduktmetoden) utan står i följande samband med polynomets koefficienter: Den linjära termens koefficienter är rötternas summa med omvänt förtecken. Den konstanta termen är rötternas produkt. Matematiskt: | ||
| + | :::::::::::<math> 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 </math> | ||
Det "underbara" är att det inte bara | Det "underbara" är att det inte bara | ||
Versionen från 29 december 2010 kl. 11.33
| Teori | Övningar |
Vad är en faktor?
Du minns väl att ett uttryck av formen
- \[ a \cdot b \]
är en produkt. Ingredienserna \(a\,\) och \(b\,\) kallas faktorer. Ett polynom i faktorform innebär att skriva om ett polynom, som ursprungligen är en summa av termer, till en produkt. T.ex.:
- \[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]
Till höger om likhetstecknet står en produkt av de två faktorerna \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \). Produkten kallas polynom i faktorform, vilket man inser när man utvecklar produkten:
- \[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]
Att vi skriver mellanräkningen på det konstiga sättet \( x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 \) beror på att vi vill förtydliga följande samband:
3 och 4 är inte bara polynomets rötter dvs lösningar till ekvationen \( (x-3) \cdot (x-4) = 0 \) (nollproduktmetoden) utan står i följande samband med polynomets koefficienter: Den linjära termens koefficienter är rötternas summa med omvänt förtecken. Den konstanta termen är rötternas produkt. Matematiskt:
- \[ 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 \]
Det "underbara" är att det inte bara
