Visa källkod för 1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen| <<&nbsp;&nbsp;Förra demoavsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}}
{{Selected tab|[[1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Fördjupning]]}}
{{Not selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Nästa demoavsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}


<!-- [[Media: Lektion 9 Kontin. & diskreta funktioner Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 9 Kontinuerliga & diskreta funktioner</span></b>]] -->
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
I genomgången sades att kontinuerlig betydde sammanhängande. 

Som [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_2_Kontinuerlig_funktion|<b><span style="color:blue">exempel</span></b>]] på en kontinuerlig funktion ritades grafen till en linjär funktion med en sammanhängande rät linje. Kontinuerliga funktioners grafer kan man rita utan att lyfta pennan. Allt detta är fortfarande sant, men sådana resonemang är intuitiva.

Här följer en mer exakt matematisk definition för när en funktion är kontinuerlig och när den är diskontinuerlig:
</div> <!-- tolv1 -->

== <b><span style="color:#931136">Allmän definition för kontinuerliga funktioner</span></b> ==
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->


<div class="border-divblue">
En funktion <math> \, y = f(x) \, </math> är &nbsp; <b><span style="color:red">kontinuerlig för</span></b> <math> {\color{Red} {x = a}} </math> &nbsp; om den är definierad för <math> \, x = a \, </math> och om<span style="color:black">:</span>

::::<math> f(x) \to f(a) \quad {\rm när} \quad x \to a </math>

Om däremot <math> \, f(x) \, </math> är definierad för <math> \, x = a \, </math>, men <math> f(x) </math> <b><span style="color:red">inte</span></b> <math> \to f(a) \; {\rm när} \; x \to a </math>

är funktionen <b><span style="color:red">diskontinuerlig i <math> \, x = a </math></span></b>.
</div>


Läs den tredje raden i definitionen så här<span style="color:black">:</span> <math> \; {\rm " }f(x) \, </math> går mot <math> f(a)\, </math> när <math> x\, </math> går mot <math> a \, {\rm "} </math>.

Observera att definitionen är punktvis, dvs den talar om när en funktion är kontinuerlig <b><span style="color:red">för ett visst</span></b> <math> {\color{Red} x}\, </math><b><span style="color:red">-värde</span></b> nämligen för <math> {\color{Red} {x = a}}\, </math>.

Man skulle kunna lägga till att en funktion i sin helhet är kontinuerlig om den är kontinuerlig för alla <math> \, x\, </math>. Då måste även kontinuitet prövas för varje <math> \, x\, </math>.
</div> <!-- tolv2 -->


<div class="ovnC"> 
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ====

Låt oss titta på följande rationell funktion:

<div class="border-div"> <math> \displaystyle{y = {5 \over x \, - \, 1}} </math> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; med grafen:  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: y_5_div_x_1.jpg]]


<div class="exempel">
<b><span style="color:#931136">a)</span></b> &nbsp; Är denna funktion kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math> enligt definitionen ovan?

Vi ersätter <big><math> \, {\color{Red} a} \, </math></big> med <math> \, {\color{Red} 1} </math> i definitionen. Där stär: "... om den (funktionen) är definierad för <math> \, x = a \, </math> OCH ... ." 

Men <math> f(x) \, = \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1}</math> är inte definierad för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math>. Därför kan den inte heller vara kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math>.
<!--
Definitionen säger<span style="color:black">:</span> <math> \, f(x) = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, </math> är kontinuerlig för <math> \, {\color{Red} {x = 1}}\, </math> om <math> \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \to f(1) \quad {\rm när} \quad x \to 1 </math>.

Vi kontrollerar detta både i funktionsuttrycket och i grafen: Låter vi <math> \, x \, </math> gå mot <math> \, 1 \, </math>, går <math> \, y\, </math> mot <math> +\infty </math> eller <math> -\infty </math>.

Dvs <math> \, f(1) = \displaystyle{5 \over 1 \, - \, 1} </math> är inte ens definierad. Därmed är kontinuitetens krav inte uppfyllt. 

<b><span style="color:#931136">Slutsats:</span></b> &nbsp; Funktionen <math> \, y = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, </math> är inte kontinuerlig för <math> \, x = 1 </math>.
-->
</div>


<div class="exempel">
<b><span style="color:#931136">b)</span></b> &nbsp; Är samma funktion kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 2}} \, </math> enligt definitionen ovan?

I definitionen ersätter vi <big><math> \, {\color{Red} a} \, </math></big> med <math> \, {\color{Red} 2} </math> och <math> \, f(x) \, </math> med <math> \displaystyle{5 \over x \, - \, 1}</math>.

Definitionen säger<span style="color:black">:</span> <math> \, f(x) = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, </math> är kontinuerlig för <math> \, {\color{Red} {x = 2}}\, </math> om <math> \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \to f(2) = \displaystyle{5 \over 2 \, - \, 1} = 5 \quad {\rm när} \quad x \to 2 </math>.

Vi kontrollerar detta i funktionsuttrycket: Låter vi <math> \, x \, </math> gå mot <math> \, 2 \, </math>, går <math> \, y \, </math> mot värdet <math> \, 5 </math>, och slutligen är <math> \, f(2) = 5 </math>.

Detta visar också att <math> \, f(x) = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} </math> är definierad för <math> \, x = 2\, </math>. Därmed är kontinuitetens krav uppfyllt.

<b><span style="color:#931136">Slutsats:</span></b> &nbsp; Funktionen <math> \, y = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, </math> är kontinuerlig för <math> \, x = 2\, </math>.
</div>


På samma sätt kan man undersöka om funktionen är kontinuerlig för andra <math> \, x </math>. Sammanfattningsvis blir resultatet:


<div style="border:1px solid black;
	display:inline-block !important;
	margin-left: 50px !important;
	padding:10px 20px 10px 20px; 
	-webkit-border-radius: 5px;
	-moz-border-radius: 5px;
	border-radius: 5px;"> Funktionen <math> \; y = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \; </math> är kontinuerlig för alla <math> \, x \, </math> där den är definierad, dvs för alla <math> \, x \, \neq \, 1 \, </math>. 
</div>


Grafen visar samma resultat: Endast i <math> \, x \, = \, 1 \, </math> där funktionen inte är deifinierad, skenar kurvorna iväg mot oändligheten, den ena mot <math> \, + \infty\, </math>, den andra mot <math> \, - \infty\, </math>. I funktionens definitionsområde (alla <math> \, x \, \neq \, 1 \, </math>) är kurvan sammanhängande.
</div> <!-- ovnE Exempel 1 -->



<div class="ovnC"> 
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Teckenfunktionen</span></b> ====

Även kallad [https://sv.wikipedia.org/wiki/Signumfunktionen <b><span style="color:blue">Signumfunktionen</span></b>] som är definierad för <b>alla</b> reela tal <math> \, x \, </math>:
<div class="border-div"><math>  y \, = \, sgn(x) \, = \, \begin{cases} -1                 & \mbox{om } x < 0    \\
                                                                      0                 & \mbox{om } x = 0 \qquad x \;\mbox{reellt tal}   \\
                                                                      1                 & \mbox{om } x > 0
                                                       \end{cases}
                        </math> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; med grafen:  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Heaviside 80.jpg]]


De ihåliga ringarna i grafen vid <math> \, y = 1 \, </math> och <math> \, y = -1 \, </math> betyder att dessa värden <b>inte</b> tillhör funktionens värdemängd, dvs <math> \, sgn(0) \, \neq \, 1 \, </math> och <math> \, sgn(0) \, \neq \, -1 </math>.

Den ifyllda ringen vid origo innebär att detta värde tillhör värdemängden, dvs <math> \, sgn(0) \, = \, 0 </math>.

Precis som hos Fibonaccis funktion är en och samma funktion definierad med olika funktionsuttryck i olika delar av dess definitionsmängd. 

Kanske kan formeln ovan samt grafen, inkl. de ihåliga och ifyllda ringarna, förstås bättre med följande förenkling (OBS! Matematiskt inte korrekt):   

::::<math>\begin{array}{rcl}  sgn(\mbox{negativa}\; x) & = & -1  \\
                              sgn(0)                   & = & 0   \\
                              sgn(\mbox{positiva}\; x) & = & 1 
          \end{array}</math>

Dvs <math> \, sgn(x) \, </math> har för negativa <math> \, x \, </math> värdet <math> \, -1 \, </math>, för <math> \, x = 0 \, </math> värdet <math> \, 0 \, </math> och för positiva <math> \, x \, </math> värdet <math> \, 1 \, </math>.


<div class="exempel">
Låt oss nu med hjälp av den [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Allm.C3.A4n_definition_f.C3.B6r_kontinuerliga_funktioner|<b><span style="color:blue">allmänna definitionen</span></b>]] för kontinuerliga funktioner undersöka om Signumfunktionen är kontinuerlig för <math> \, {\color{Red} {x = 0}} </math>.

Enligt definitionen borde då <math> \; sgn(x) \to sgn(0) \quad {\rm när} \quad x \to 0 </math>.

Närmar man sig <math> \, 0 \, </math> på <math> \, x</math>-axeln från höger närmar sig <math> \, sgn(x) \, </math> värdet <math> \, 1 </math>. 

Närmar man sig <math> \, 0 \, </math> från vänster närmar sig <math> \, sgn(x) \, </math> värdet <math> \, -1 </math>.

Dvs <math> \, sgn(x) \to 1 \, </math> och <math> \to -1\, </math> när <math> \, x \to 0 </math>. 

Men <math> \, sgn(0) = 0 \, </math>. <math> \, sgn(x) \, </math> går dock inte mot <math> \, sgn(0) = 0 \, </math> när <math> \, x \to 0 </math>, vilket den borde göra om den hade varit kontinuerlig för <math> \, x = 0 </math>.

Därmed är kontinuitetens krav inte uppfyllt. Funktionen <math> \, sgn(x) \, </math> är inte kontinuerlig för <math> \, x = 0 </math>.
</div>


Undersökar man vidare kontinuiteten för andra <math> x\, </math> kommer det att visa sig att <math> sgn(x)\, </math> är kontinuerlig för alla andra <math> x\, </math>:


<div style="border:1px solid black;
	display:inline-block !important;
	margin-left: 50px !important;
	padding:10px 20px 10px 20px; 
	-webkit-border-radius: 5px;
	-moz-border-radius: 5px;
	border-radius: 5px;">Funktionen <math> \, sgn(x) \, </math> är diskontinuerlig i <math> \, x = 0 </math>.

Den är kontinuerlig för alla <math> \, x \neq 0 </math>.
</div>


I sin helhet är Signumfunktionen <math> \, sgn(x) \, </math> diskontinuerlig, eftersom den är diskontinuerlig i sitt definitionsområde. Diskontinuiteten i <math> \, x=0 \, </math> tillhör nämligen funktionens definitionsområde.

Grafen visar samma resultat: Endast i <math> \, x=0 \, </math> har den ett hopp, annars är grafen sammanhängande.
</div> <!-- exempel2 -->


== <b><span style="color:#931136">Olika typer av diskontinuitet</span></b> ==

<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
Jämför man Exempel 1 med Exempel 2 kan man konstatera: Båda funktionerna är kontinuerliga för alla <math> \, x \, </math> förutom för en isolerad punkt. Men funktionernas definition <math>-</math> och även graferna <math>-</math> visar ändå en ganska markant skillnad. Faktiskt handlar det om två helt olika typer av diskontinuitet i de isolerade punkterna:
</div class="tolv"> <!-- tolv3 -->

 
==== <b><span style="color:#931136">Diskontinuitet av typ oändlighetsställe</span></b> ====

<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
I [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_1|<b><span style="color:blue">Exempel 1</span></b>]] är funktionen inte kontinuerlig för <math> \, x = 1 \, </math> därför att <math> \, \displaystyle{y = {5 \over x \, - \, 1}} \, </math> överhuvudtaget inte är definierad för <math> x = 1\, </math>. Kurvorna skenar iväg mot oändligheten, den ena mot <math> \, + \infty \, </math>, den andra mot <math> \, - \infty </math>. Detta beror förstås på funktionsuttrycket som inte är definierad för <math> \, x = 1 </math>. Vi har ett slags <b><span style="color:red">oändlighetsställe</span></b> i <math> x = 1\, </math> vilket är ganska typiskt för rationella funktioner. Den här typen av diskontinuitet är en konsekvens av funktionens icke-definierbarhet i <math> \, x = 1\, </math>. Annars är funktionen kontinuerlig i sin definitionsmängd.
</div class="tolv"> <!-- tolv3 -->


==== <b><span style="color:#931136">Diskontinuitet av typ hopp</span></b> ====

<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
I [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_2|<b><span style="color:blue">Exempel 2</span></b>]] är Signumfunktionen inte kontinuerlig för <math> \, x = 0\, </math> därför att <math> \, sgn(x) \, </math> har ett <b><span style="color:red">hopp</span></b> i sitt förlopp just i <math> \, x = 0 </math>. Den har ett väl definierat värde för <math> \, x = 0 </math>, nämligen <math> \, sgn(0) = 0 </math>. Men hoppet från <math> \, -1 \, </math> till <math> \, 0 \, </math> och vidare från <math> \, 0 \, </math> till <math> \, 1 \, </math> gör att det uppstår en diskontinuitet just där. Att denna diskontinuitet är av en annan typ än oändlighetsstället i [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_1|<b><span style="color:blue">Exempel 1</span></b>]] är uppenbart. Till skillnad från Exempel 1 är funktionen i alla fall beräknebar, trots diskontinuiteten. Ja, den är t.o.m en bra modell för verkligheten, för så beter sig en signal när den hoppar från noll till ett, nämligen diskontinuerligt.

Det finns även andra typer av diskontinuitet, men <b><span style="color:red">oändlighetsställe</span></b> och <b><span style="color:red">hopp</span></b> är de oftast förekommande hos kontinuerliga funktioner.
</div class="tolv"> <!-- tolv5 -->








[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.