Visa källkod för 3.3 Ekvationer

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
{{Selected tab|[[3.3 Ekvationer|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[3.3 Quiz till Ekvationer|Quiz]]}}
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Ekvationer|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[3.3 Ekvationer+|Genomgång+]]}}
{{Not selected tab|[[3.6 Användning av ekvationer|Nästa demoavsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}


= <b><span style="color:#931136">Varför ekvationer?</span></b> =

<table>
<tr>
  <td><div class="ovnE">

<b>Exempel på en textuppgift:</b>
<br>
<div class="exempel">
:Kalle köper en flaska dryck som kostar <math> \, 18 \, </math> kr <i>med</i> pant.

:Drycken (innehållet) kostar <math> \, 14 \, </math> kr mer än panten (flaskan).

:Hur mycket kostar flaskan?
</div>

<b>Utan ekvation</b> svarar de flesta 4 kr, vilket är fel.

<b>Lösning med ekvation:</b> <math> \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} </math>

::::<math> \qquad\qquad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} </math>
<div class="exempel">
::::::<math>\begin{array}{rcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18            \\
                                 x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18            \\
                                        2\,x \, + \, 14 & = & 18            \\
                                         2\,x \,        & = & 4             \\
                                           x \,         & = & {\color{Red} 2}  
          \end{array}</math>
</div>


<b>Svar:</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Flaskan kostar <math> \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}</math>.


För mer info om hur man ställer upp en ekvation och om lösningsmetoder se:


[[3.6_Användning_av_ekvationer#Metoden_att_st.C3.A4lla_upp_en_ekvation_utifr.C3.A5n_en_textuppgift|<b><span style="color:blue">Metoden att ställa upp en ekvation utifrån en textuppgift</span></b>]], 

[[3.3_Ekvationer#1._.C2.A0_.C3.96vert.C3.A4ckningsmetoden|<b><span style="color:blue">Övertäckningsmetoden</span></b>]] <math> \quad </math> och <math> \quad </math> [[3.3_Ekvationer#2._.C2.A0_Allm.C3.A4n_metod|<b><span style="color:blue">Allmän metod</span></b>]].


</div>
</td>
  <td><math> \;\; </math></td>
  <td> <div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Vad är en ekvation?</span></b></big></big></div>
<br>
<math> \qquad\qquad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]]
<br>
<div class="border-divblue">
<big>
En <b><span style="color:#931136">ekvation</span></b> är en likhet mellan två uttryck,

har alltid formen VL = HL och innehåller

minst en variabel, kallad <b>obekant</b>.

Ex.<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 </math>

Ekvationens <b><span style="color:red">lösning:</span></b> <math> \quad\; </math> <div class="smallBoxVariantt"> <math> x \; = \; {\color{Red} 2} </math></div>
</big></div>


:<big><big><big><b><span style="color:#931136">Varför lösning?</span></b></big></big></big>

<div class="border-divblue">
<big>
<b><span style="color:#931136">Kontroll:</span></b> Sätt in lösningen i ekvationen.

VL <math> \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 </math>

HL <math> \, = \, 18 </math>

<b>VL <math> = </math> HL</b> <math> \, \implies \, x = {\color{Red} 2} </math> är en <b><span style="color:red">lösning</span></b>.

<b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b>
</big>
</div>
</td>
</tr>
</table>


<big><big>Men hur <b><span style="color:red">får</span></b> man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:</big></big>


= <b><span style="color:#931136">1. &nbsp; Övertäckningsmetoden</span></b> =

<div class="ovnC">
<big><b><span style="color:#931136">Exemplet ovan:</span></b>

&nbsp; <math> 2 \, x \;\; + \; 14 \; = \; 18 \quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} 2 \, x </math>

<div class="RedBox2x"><math>\quad</math></div> <math> \, + \;\, 14 \; = \; 18 </math>

&nbsp; <math> \;\, {\color{Red} ?} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 </math>

&nbsp; <math> \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 </math>

&nbsp; <math> \;\, \Downarrow </math>

&nbsp; <math> \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x </math>

&nbsp; <math> \, 2 \, \cdot \; </math><div class="RedBoxx"><math> \quad </math></div> <math> \; = \;\, 4 </math>

&nbsp; <math> \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 </math>

&nbsp; <math> \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 </math>

&nbsp; <math> \quad\;\;\; \Downarrow </math>

&nbsp; <div class="smallBoxVariantt"> <math> \; x \; = \; {\color{Red} 2} </math></div>
</big></div>


= <b><span style="color:#931136">2. &nbsp; Allmän metod</span></b> =
<div class="ovnE">
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>

<div class="exempel">
::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18                                        &          &                         \\
                               x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18                                        &          &                         \\
                                      2\,x \, + \, 14 & = & 18                                        & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\
           2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}}             &          &                         \\
                                 2 \cdot x \,         & = & 4                                         & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}}  \\
    \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & &  \\
                                         x \,         & = & 2                                         &          &
        \end{array}</math>
</div>

Skrivsättet <math> \quad\;\;\, | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\;\;\, </math> är en kommentar och betyder<span style="color:black">:</span>

::Subtrahera <math> \, 14 \, </math> från ekvationens båda led.

Kommentaren <math> \;\; | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \;\; </math> betyder<span style="color:black">:</span>

::Dividera ekvationens båda led med <math> \, 2 </math>.
</div>


== <b><span style="color:#931136">Den allmänna metoden steg för steg</span></b> ==

<div class="ovnE">
<b>Steg 1</b> 
<div class="exempel">

&nbsp; Förenkla uttrycken i ekvationens båda led

&nbsp; så långt som möjligt. I exemplet ovan<span style="color:black">:</span>

::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18  &  &  \\
                               x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18  &  &  \\
                                      2\,x \, + \, 14 & = & 18  &  &  
        \end{array}</math>
</div>

<b>Steg 2</b> 
<div class="exempel">

&nbsp; Utför <b><span style="color:red">samma operation</span></b> på båda leden<span style="color:black">:</span> 

::<math>\begin{array}{rcl}          2\,x \, + \, 14 & = & 18                            \\
         2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\
                                            2\,x \, & = & 4
        \end{array}</math>

<b><span style="color:red">Vilken operation?</span></b>

<b>Den inversa operation som isolerar <math> x</math>-termen. </b>

<math> \;\;\; {\color{Red} {- \, 14}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa operationen</span></b> till <math> \, + \, 14 </math>
</div>

<b>Steg 3</b> 
<div class="exempel">

&nbsp; Utför <b><span style="color:red">samma operation</span></b> på båda leden<span style="color:black">:</span> 

::::<math>\begin{array}{rclcl} \quad\;   2 \cdot x \, & = & 4                                         &  & \\
    \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} &  & \\
                                                    x & = & 2                                         &  &
          \end{array}</math>

<b><span style="color:red">Vilken operation?</span></b>

<b>Den inversa operation som isolerar <math> \, x \, </math>. </b>

<math> \quad\;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa operationen</span></b> till <math> \, \cdot \; 2 </math>
</div>


</div>


<div class="border-divblue">
<big>
<b><span style="color:#931136">Den allmänna metodens filosofi:</span></b>

Betrakta ekvationen som en <b><span style="color:red">våg i balans</span></b>.

HL och VL är vågens skålar. Likhetsteck-

net betyder att vågens skålar är i balans.

Bibehåll balansen genom att utföra<span style="color:black">:</span>

<math> \;\;\; </math> <b><span style="color:red">Samma operation på båda leden !</span></b>

Välj alltid den <b><span style="color:red">inversa</span></b> operationen till den

operation som binder <math> \, x \, </math> till dess omgivning.
</big></div>


== <b><span style="color:#931136">När saknar en ekvation lösning?</span></b> ==

<br>

<div class="ovnC">
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcl} 2\,x \, - \, 2\, (3 \, + \, x ) & = & 8                                        \\
                             2\,x \, - \, 6 \, - \, 2\,x & = & 8                                        \\
                                                  - \, 6 & = & 8 \quad {\color{Red} {\rm{Motsägelse!}}} \\
                                                         & \Downarrow &
      \end{array}</math>

<math> \qquad\quad </math> Ekvationen saknar lösning.

</div>


</div>


== <b><span style="color:#931136">När är alla tal lösningar till en ekvation?</span></b> ==

<br>

<div class="ovnA">
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcl} \;\; x \, - \, (4 \, + \, x ) & = & -4                                          \\
                                 x \, - \, 4 \, - \, x & = & -4                                          \\
                                                - \, 4 & = & -4 \quad {\color{Red} {\rm{Alltid\;sant!}}} \\
                                                       & \Downarrow &
      \end{array}</math>

<math> \;\; </math> Alla tal är lösningar till ekvationen. Eller<span style="color:black">:</span>

<math> \;\; </math> Ekvationen har oändligt många lösningar.

</div>


</div>








[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.