Visa källkod för 2.6 Derivatan av exponentialfunktioner

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
{{Not selected tab|[[2.5 Deriveringsregler| <<&nbsp;&nbsp;Förra demoavsnitt]]}}
{{Selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[Dessa övningar ingår inte i demon.|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[3.2 Lokala maxima och minima|Nästa demoavsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}


<!-- [[Media: Lektion 19 Derivat Expfkt Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 19 Derivatan av exponentialfunktioner</span></b>]] -->

<big>
Målet i detta avsnitt är att ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen <math> \, y = a\,^x \, </math> med en godtycklig bas <math> a > 0 </math>.

Detta gör vi genom att först härleda derivatan av exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> med basen <math> \, e = </math> Eulers tal

och sedan gå över till godtycklig bas <math> \,a </math>. Rpeptera gärna [[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|<b><span style="color:blue">Talet e och den naturliga logaritmen</span></b>]] från kap 1 Algebra & funktioner. 


=== <b><span style="color:#931136">Deriveringsregeln för <math> y \, = \, e\,^x </math></span></b> ===

<div class="border-divblue">
Derivatan av exponentialfunktionen med basen <math> \, e \, </math> är funktionen själv:

::::<math> \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y    & = & e\,^x  \;\; {\rm där} \;\; e = {\rm Eulers\;tal} \\
                               {\rm då} & y\,' & = & e\,^x
           \end{array}</math>
</div>

'''OBS!''' &nbsp;&nbsp; Förväxla denna regel inte med [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potens|<b><span style="color:blue">Regeln om derivatan av en potens</span></b>]], därför att<span style="color:black">:</span>

<math> y \, = \, e\,^x \, </math> är ingen potens- utan en exponentialfunktion. <math> \, x \, </math> förekommer i exponenten, inte i basen.

Ex.<span style="color:black">:</span> Derivatan av <math> \, f(x) = e\,^2 \, </math> är inte <math> \, 2 \, e \, </math> utan <math> \; f\,'(x) = 0 \; </math>, för <math> \, e \, \, = \, 2,718281828\ldots</math> är en konstant och därmed även <math> \, e\,^2 \, </math>.


<div class="ovnE">
<small>
==== Ett försök med derivatans definition ====

Derivatans definition för <math> \, y = f(x) = e\,^x \, </math> leder till<span style="color:black">:</span>

:<math> y\,' = \lim_{h \to 0}\,{f(x + h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0}\,{e\,^{x + h} - e\,^x \over h} = \lim_{h \to 0}\,{e\,^x \cdot e\,^h - e\,^x \over h} = \lim_{h \to 0}\,{e\,^x \, (e\,^h - 1) \over h} = e\,^x \cdot \lim_{h \to 0}\,{e\,^h - 1 \over h} </math>

Det är lite svårt för oss att inse att värdet på den sista limes är <math> \, 1 </math>. Detta kan t.ex. visas med den s.k. ''potensserieutvecklingen'' av <math> \, e\,^x </math> <math>-</math> som dock inte ingår i gymnasiematematiken. Så vi kan inte slutföra beviset med derivatans definition.

Därför väljer vi en annan metod för att bevisa [[2.6_Derivatan_av_exponentialfunktioner#Deriveringsregeln_f.C3.B6r_.5C.28_y_.5C.2C_.3D_.5C.2C_e.5C.2C.5Ex_.5C.29|<b><span style="color:blue">deriveringsregeln </span></b>]] <math> \; y = e\,^x \, \Rightarrow \, y\,' = e\,^x \, </math>.

==== Ny bevisidé ====

<div style="border:1px solid black;
	display:inline-block !important;
	margin-left: 10px !important;
	padding:10px 20px 10px 20px; 
	border-radius: 15px;"><b>Kan bland exponentialfunktionerna <math> \; y = b\,^x \; </math> <span style="color:red">basen</span> <math> \, b \, </math> väljas så att derivatan blir samma som funktionen<span style="color:black">:</span> <math> \; y\,' = b\,^x </math> &nbsp; ?</b>
</div>

Istället för att fråga efter derivatan, kräver vi <b><span style="color:red">derivatan = funktionen</span></b> och frågar efter en <b><span style="color:red">bas</span></b> som uppfyller detta krav.

Svaret ges av Eulers bevis nedan.  
</small>
</div>

Frågeställningen ovan har i matematikens historia motiverat den schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler <b><span style="color:blue">Leonard Euler</span></b>] att ställa upp sin berömda formel för beräkning av talet <math> \, e \, </math> som redan nämndes i [[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen#Hur_kom.28mer.29_talet_.5C.28_e_.5C.2C.5C.29_till.3F|<b><span style="color:blue">Hur kom(mer) talet <math> \, e \,</math> till?</span></b>]] och som vi nu med [[2.3_Gränsvärde|<b><span style="color:blue">limes</span></b>]] kan formulera så här<span style="color:black">:</span>
 
:::::<math> \lim_{n \to \infty} {\left(1 + {1 \over n}\right)^n} \; =\; e \; = \; 2,718281828\ldots </math>

På 1700-talet bevisade Euler denna formel, varför talet <math> \, e \, </math> kallats efter honom.

<div class="ovnC">
<small>
==== Eulers bevis ====

Vi antar att det finns en bas <math> \,b \, > \, 0 </math> <math>-</math> som än så länge är okänd <math>-</math> så att:

::<math>\begin{array}{lclcl}  y & =               & f\,(x)                    & =               & b\,^x  \\
           {\color{Red} {y\,'}} & {\color{Red} =} & {\color{Red} {f\,'\,(x)}} & {\color{Red} =} & {\color{Red} {b\,^x}}
        \end{array}</math> 

I den andra raden har vi formulerat kravet: <b><span style="color:red">derivatan = funktionen</span></b>.

Nu konstruerar vi tangenten till <math> y = b\,^x </math> i punkten <math> \,x = 0 </math>:

Ekvationen för tangenten till kurvan <math> y = b\,^x </math> i punkten <math> \,x = 0 </math> har <math>\,k</math>-formen <math> \; y \, = \, k\,x \, + \, m \; </math> .

Från [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">tidigare</span></b>]] vet vi att tangenten till kurvan <math> \, y = b\,^x \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math> har en <b><span style="color:red">lutning</span></b> <math>\,k\,</math> som är funktionens <b><span style="color:red">derivata</span></b> i denna punkt.

<table>
<tr>
  <td>Derivatan har vi<span style="color:black">:</span> <math> \, {\color{Red} {f\,'(x) = b\,^x}} \, </math> (se ovan). Så vi kan beräkna denna lutning:

::<math> k \, = \, {\color{Red} {f\,'(0) \, = \, b\,^0}}\, = \, 1 </math>

Tangentens ekvation blir då <math> \, y \, = \, x \, + \, m \, </math> i vilken vi sätter in

tangeringspunktens koordinater <math> \, (0, \, b\,^0) \, = \, (0, 1) \, </math> för att bestämma <math> \, m \, </math>:

::<math>\begin{array}{rcl}  y & = & x \, + \, m  \\
                            1 & = & 0 \, + \, m  \\
                            1 & = & m
        \end{array}</math>

Således blir tangentens ekvation &nbsp;&nbsp; <math> \boxed{\;y \, = \, x \, + \, 1\;} </math>
</td>
  <td><math> \quad </math></td>
  <td>[[Image: Eulers bevisa.jpg]]</td>
</tr>
</table>

Andra exponentialfunktioner <math> \, y = c\,^x \, </math> med <math> \, c \neq b \, </math> skär denna tangent i två punkter, medan <math> \, y = b\,^x \, </math> med <math> \, y\,' = b\,^x \, </math> tangerar den i punkten <math> \, (0, 1) </math>.

På tangenten <math> \, y = x + 1 \, </math> konstruerar vi en punktföljd &nbsp;&nbsp; <math> P_1, \, P_2, \, P_3, \, \ldots </math> &nbsp;&nbsp; vars <math> \,x</math>-koordinater <math> \, x_n \, </math> bildar talföljden:

::<math> 1, \, {1 \over 2}, \, {1 \over 3}, \, {1 \over 4}, \, \ldots \quad {\rm med} \quad x_n \, = \, {1 \over n} \quad {\rm som\;allmän \;term,\;där:} \qquad n = 1,\,2,\,3,\,\ldots  </math>

Talföljden <math> \,x_n \, </math> ger pga <math> \, y = x + 1 \, </math> upphov till följande talföljd:
<table>
<tr>
  <td><math> \,y_n \, = \, x_n + 1 \, = \, {1 \over n} + 1 \, = \, 1 \, + \, {1 \over n} \, </math> på <math> \,y</math>-axeln<span style="color:black">:</span>

<math> \qquad 1\!+\!1, \quad 1\!+\!{1 \over 2}, \quad 1\!+\!{1 \over 3}, \quad 1\!+\!{1 \over 4}, \, \ldots </math>

Punkterna <math> \, P_n = (x_n, \; y_n) = \left({1 \over n}, \; 1 + {1 \over n}\right) \, </math> går mot &nbsp; 

tangeringspunkten <math> \, (0, 1) \, </math> när <math> \, n \to \infty </math>.

Punktföljden <math> \, P_n \, </math> ger upphov till en följd av exponen-

tialfunktioner <math> \, y_n = b_n\,^{x_n} \, </math> med vissa baser <math> \, b_n </math>, där<span style="color:black">:</span> 

<math> \qquad\qquad b_n  \to \, b \quad\; {\rm när} \quad\; n \to \infty </math>

och <math> \, b \, </math> är den efterfrågade basen till <math> \, y = b\,^x \, </math>.

Vi sätter in punktföljdernas allmänna termer <math> \, x_n = {1 \over n} </math>

och <math> \, y_n =  1 + {1 \over n} \, </math> i funktionerna <math> \, y_n = b_n\,^{x_n}\,</math><span style="color:black">:</span>

:::<math>\begin{array}{rcll}       y_n & = & b_n\,^{x_n}                                         \\
                 \;\; 1 + {1 \over n} & = & b_n\,^{1 \over n}  \qquad & | \quad (\,\cdot\,)\,^n 
         \end{array}</math>

::<math> \!\boxed{\;\left(1 + {1 \over n}\right)^n \, = \;\; b_n\;} </math>

Nu tar vi <math> \, \displaystyle \lim_{n \to \infty} \, </math> på båda leden för att få Eulers formel:
</td>
  <td>[[Image: ExpDeriv2_50a.jpg]]</td>
</tr>
</table>
<math> \displaystyle \lim_{n \to \infty} {\left(1 + {1 \over n}\right)^n} \, = \, \lim_{n \to \infty} {b_n} \, = \, b \, </math> som visar sig vara samma tal vars värde vi numeriskt hade fått fram i [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Hur_kom.28mer.29_talet_.5C.28_e_.5C.2C.5C.29_till.3F|<b><span style="color:blue">Hur kom(mer) talet <math> \, e \,</math> till?</span></b>]] &nbsp;:
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
!  align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}

Detta demonstrerar att <math> \; \displaystyle \lim_{n \to \infty} {\left(1 + {1 \over n}\right)^n} \, = \, e \; </math> dvs den efterfrågade basen <math> \, b \, </math> är just Eulers tal <math> \, e \, </math>.
</small>
</div>


<div class="ovnE">
<small>
Den inledande frågan i [[2.6_Derivatan_av_exponentialfunktioner#Ny_bevisid.C3.A9|<b><span style="color:blue">Ny bevisidé</span></b>]] kan nu besvaras:

<div style="border:1px solid black;
	display:inline-block !important;
	margin-left: 10px !important;
	padding:10px 20px 10px 20px; 
	border-radius: 15px;"><b>Kan bland exponentialfunktionerna <math> \; y = b\,^x \; </math> <span style="color:red">basen</span> <math> \, b \, </math> väljas så att derivatan blir samma som funktionen<span style="color:black">:</span> <math> \; y\,' = b\,^x </math> &nbsp; ?</b>
</div>

Svar:

<div style="border:1px solid black;
	display:inline-block !important;
	margin-left: 10px !important;
	padding:10px 20px 10px 20px; 
	border-radius: 15px;"><b>Ja, det är &nbsp;<span style="color:red">basen</span> <math> \, {\color{Red} {e = }}</math> <span style="color:red">Eulers tal</span> &nbsp;som gör att derivatan av <math> \; y = e\,^x </math> blir samma som funktionen<span style="color:black">:</span> <math> \; {\color{Red} {y\,' = e\,^x}}</math>&nbsp;.</b>
</div>
</small>
</div>


Därför gäller [[2.6_Derivatan_av_exponentialfunktioner#Deriveringsregeln_f.C3.B6r_.5C.28_y_.5C.2C_.3D_.5C.2C_e.5C.2C.5Ex_.5C.29|<b><span style="color:blue">Deriveringsregeln för <math> \, y \,= \,e\,^x \, </math></span></b>]] som ställdes upp inledningsvis. Men:

Hur blir det när konstanter är inblandade?


=== <b><span style="color:#931136">Deriveringsregeln för <math> y = C\,e\,^{k\,x} </math></span></b> ===
<table>
<tr>
  <td><small><div class="border-divblue">
'''Regel:'''

:<math> \begin{array}{ll} {\rm Derivatan\;av} & y \;\, = \; C\;e\,^{k\,x}  \;\; {\rm där} \;\; C,\,k = {\rm const.} \\
                                     {\rm är} & y\,'   = \; C\cdot k\cdot e\,^{k\,x} 
        \end{array}</math>

Om <math> \, C \, </math>, se [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_funktion_med_en_konstant_faktor|<b><span style="color:blue">Derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></b>]].

Om <math> \, k \, </math>, se <b><span style="color:red">Kedjeregeln</span></b> i kursen Matematik 4.
</div></small>



</td>
  <td><math> \quad </math></td>
  <td><small><div class="ovnE">
'''Exempel 1'''

För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \; 2\,e\,^{-\,x} \; </math> blir derivatan:

:::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \; 2 \cdot (-1) \cdot e\,^{-\,x} \; = \; -2\,e\,^{-\,x} </math>

'''Exempel 2'''

För funktionen &nbsp; <math> f(x) \; = \; -4\,e\,^{-3\,x} \; </math> blir derivatan:

:::::<math> f\,'(x) \; = \; (-4) \cdot (-3) \cdot e\,^{-3\,x} \; = \; 12\,e\,^{-3\,x} </math>
</div></small>
</td>
</tr>
</table>


Från att ha ställt upp deriveringsregeln för <math> \, y = e\,^x \, </math> går vi nu över till den <b><span style="color:red">allmänna</span></b> exponentialfunktionen <math> \, y = a\,^x \, </math> med godtycklig bas <math> a > 0\, </math>:

=== <b><span style="color:#931136">Deriveringsregeln för <math> \, y = a\,^x </math></span></b> ===
<div class="border-divblue">
::<math> \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y    & = & a\,^x  \;\; {\rm där} \;\; a = {\rm godtycklig\;konstant} \, > \,0 \\
                             {\rm då} & y\,' & = & a\,^x \, \cdot \, \ln a
           \end{array}</math>
</div>

Specialfallet <math> \, a = e \, </math> och <math> \ln a = \ln e = 1 \, </math> ger derveringsregeln <math> \,y\,' = e^x \, </math> för exponentialfunktionen med basen <math> \, e </math>.

==== Bevis ====

Vi börjar med att skriva om basen <math> \, a \, </math> till <math> \,e\,^{\ln a} \, </math>, vilket är möjligt pga inversegenskapen. Då blir det:

:::<math>\begin{array}{rcll} y & = & a\,^x                       \qquad & : \quad a \, = \,e\,^{\ln a} {\rm \;enligt\;inversegenskapen} \\
                             y & = & \left(e\,^{\ln a}\right)^x  \qquad & : \quad {\rm 3:e\;potenslagen\;på\;HL} \\
                             y & = & e\,^{(\ln a) \, \cdot \, x} \qquad & : \quad \ln a \, = \, k \\
                             y & = & e\,^{k \, \cdot \, x}       \qquad & | \quad {\rm Derivera\;enligt\;regeln\;ovan}  \\
                          y\,' & = & k \, \cdot \, e\,^{k\,x}    \qquad & : \quad k \, = \, \ln a \\
                          y\,' & = & (\ln a) \, \cdot \, e\,^{(\ln a)\,x} \qquad & : \quad {\rm 3:e\;potenslagen\;på\;HL} \\
                          y\,' & = & (\ln a) \, \cdot \, \left(e\,^{\ln a}\right)^x \qquad & : \quad e\,^{\ln a} \, = a\, {\rm \;enligt\;inversegenskapen} \\
                          y\,' & = & (\ln a) \, \cdot \, a^x \\
                          y\,' & = & a^x \, \cdot \, \ln a
        \end{array}</math>


Ganska liknande basen <math> \, e \, </math> blir det när konstanter är inblandade i den allmänna exponentialfunktionen <math> \, y = a\,^x \, </math>:

=== <b><span style="color:#931136">Deriveringsregeln för <math> y = C\,a\,^{k\,x} </math></span></b> ===

<div class="border-divblue">
Derivatan av exponentialfunktionen <math> y = C\,a\,^{k\,x} </math> med godtycklig bas <math> \, a > 0 </math> och <math> C,\,k = {\rm const.} </math>

::<math> \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y    & = & C\,a\,^{k\,x}  \;\; {\rm där} \;\; a > 0,\;\; C,\,k = {\rm const.} \\
                             {\rm då} & y\,' & = & C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a
         \end{array}</math>
</div>


=== <b><span style="color:#931136"> Uppdaterad tabell över deriveringsregler</span></b> ===


Vi utvidgar tabellen över deriveringsregler från förra avsnitt med våra nya resultat i detta avsnitt.

I följande tabell är <math> C,\,c,\,a,\,k,\,m,\,n </math> konstanter medan <math> x\, </math> och <math> y\, </math> är variabler:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
! <math> y\, </math> || <math> y\,' </math> 
|-
| align=center| <math> c\, </math> ||align=center| <math> 0\, </math> 
|-
| align=center| <math> x\, </math> ||align=center| <math> 1\, </math>
|-
| align=center| <math> a\; x </math> ||align=center| <math> a\, </math>
|-
| align=center| <math> k\; x \, + \, m </math> ||align=center| <math> k\, </math>
|-
| align=center| <math> x^2\, </math> ||align=center| <math> 2\,x </math>
|-
| align=center| <math> a\,x^2 </math> ||align=center| <math> 2\,a\,x </math> 
|-
| align=center| <math> x^n\, </math> ||align=center| <math> n\cdot x\,^{n-1} </math> 
|-
| align=center| <math> a\,x\,^n </math> ||align=center| <math> a\cdot n\cdot x\,^{n-1} </math> 
|-
| align=center| <math> \displaystyle {1 \over x} </math> ||align=center| <math> \displaystyle - {1 \over x^2} </math> 
|-
| align=center| <math> \sqrt{x} </math> ||align=center| <math> \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math> 
|-
| align=center| <math> e\,^x </math> ||align=center| <math> e\,^x </math> 
|-
| align=center| <math> e\,^{k\,x} </math> ||align=center| <math> k\cdot e\,^{k\,x} </math> 
|-
| align=center| <math> C\cdot e\,^{k\,x} </math> ||align=center| <math> C\cdot k\cdot e\,^{k\,x} </math> 
|-
| align=center| <math> a\,^x </math> ||align=center| <math> a\,^x \cdot \ln a </math> 
|-
| align=center| <math> C\cdot a\,^{k\,x} </math> ||align=center| <math> C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a </math> 
|-
| align=center| <math> a\cdot f(x) </math> ||align=center| <math> a\cdot f\,'(x) </math> 
|-
| align=center| <math> f(x) + g(x)\, </math> ||align=center| <math> f\,'(x) + g\,'(x) </math> 
|}
</div>

De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Av praktiska skäl tar vi upp dem ändå i samma tabell som deriveringsreglerna.

Denna tabell kommer att kompletteras i Matte 4-kursen då vi kommer att lära oss ytterligare deriveringsregler: regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. <b><span style="color:red">Produkt-</span></b> resp. <b><span style="color:red">Kvotregeln</span></b> samt deriveringsregeln för sammansatta funktioner, den s.k. <b><span style="color:red">Kedjeregeln</span></b>.
</big>






[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.