Visa källkod för 1.3.1 Avrundning och värdesiffror

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
{{Not selected tab|[[1.2 Räkneordning| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[1.3 Decimaltal|Decimaltal]]}}
{{Selected tab|[[1.3.1_Avrundning och värdesiffror|Avrundning & värdesiffror]]}}
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Decimaltal|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.6 Bråkräkning|Nästa demoavsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}



<big>Avrundning och värdesiffror är ett tillämpande underavsnitt i avsnittet [[1.3 Decimaltal|<b><span style="color:blue">Decimaltal</span></b>]]. Övningar till Avrundning och värdesiffror finns bland övningarna till Decimaltal (fliken ovan).</big>


== <b><span style="color:#931136">Avrundning</span></b> ==
<big>
Att avrunda ett decimaltal till <math> \, {\color{Red} n} \,</math> decimaler innebär att kapa av alla decimaler efter den <math> \, {\color{Red} n}</math>-te decimalen <math>-</math> kallad <strong><span style="color:red">avrundningssiffran</span></strong> <math>-</math> och tillämpa avrundningsregeln:
</big>


<div class="border-divblue">
== <small><b><span style="color:#931136">Avrundningsregeln:</span></b></small> ==
<big>
Om siffran <u>efter</u> <strong><span style="color:red">avrundningssiffran</span></strong> är<span style="color:black">:</span>
</big>
:* <math> 0, \, 1, \, 2, \, 3 \; {\rm eller} \; 4 , \quad {\rm bibehåll\;\;avrundningssiffran,\;\;dvs\;\;avrunda\;\;nedåt.} </math>

:* <math> 5, \, 6, \, 7, \, 8 \; {\rm eller} \; 9 , \quad {\rm höj\;\;avrundningssiffran\;\;ett\;\;steg,\;\;dvs\;\;avrunda\;\;uppåt.} \quad </math>

</div>


<big>
Meningen med denna regel är att avrunda ett decimaltal till det önskade antalet decimaler så att <strong><span style="color:red">avrundningsfelet</span></strong> blir så litet som möjligt. Avrundningsfelet är det fel som uppstår när man kapar av decimalerna efter avrundningssiffran.

Observera att det enligt regeln ovan även avrundas uppåt när siffran efter avrundningssiffran är <math> \, 5 \, </math> fast avrundningsfelet vore lika stort om det avrundades nedåt (om alla siffror efter <math> \, 5 \, </math> vore nollor).
</big>


<div class="exempel"> <!-- exempel1 -->
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ==
<big>
Skriv <math> \; \displaystyle{2 \over 3} \; </math> till decimaltal, avrundat till <math> \, {\color{Red} 2} \,</math> decimaler. &nbsp; Ange avrundningsfelet. &nbsp; Jämför med felet utan avrundning och dra slutsats.

<strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong>

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle{2 \over 3} \; = \; 2 \cdot \; </math> [[1.3 Decimaltal#Exempel_6|<strong><span style="color:blue"> <math> \displaystyle{1 \over 3} </math> </span></strong>]] <math> \; = \; 2 \cdot \; </math> [[1.3 Decimaltal#Exempel_6|<strong><span style="color:blue"><math> \, 0,333\,333\,\ldots </math></span></strong>]] <math> \; = \; 0,6{\color{Red} 6} 6\,666\,\ldots \; \approx \; \underline{0,6{\color{Red} 7}} </math>

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Avrundningsfelet<span style="color:black">:</span><math>\qquad 0,6{\color{Red} 7} \, - \, 0,6{\color{Red} 6} 6\,666\,\ldots \; =\quad\,0,003\,333\,\ldots \; \approx\quad3,3 \cdot 10^{-3} </math>

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Felet utan avrundning<span style="color:black">:</span> <math> \, 0,66 \, - \, 0,666\,666\,\ldots \; = \; -0,006\,666\,\ldots \; \approx \; -6,6 \cdot 10^{-3} </math>

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Slutsats: &nbsp; Felet utan avrundning är (bortsett från tecknet) dubbelt så stort som avrundningsfelet.
</big></div> <!-- exempel1 -->


<big>
Avrundningssiffran är markerad med rött. &nbsp; Symbolen <math> \, \approx \, </math> betyder ungefär lika med.
</big>


<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
<big>
Avrunda <math> \; 257,463 \; </math> till<span style="color:black">:</span>

<b><span style="color:#931136">a)</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;En decimal (tiondelar).

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Lösning<span style="color:black">:</span> Avrundningssiffran är <math> \, 1</math>:a decimalen <math> \, {\color{Red} 4} </math>. Siffran efter avrundningssiffran är <math> \, 6 </math>. Därför<span style="color:black">:</span> <math> \; 257,{\color{Red} 4}63 \; \approx \; \underline{257,{\color{Red} 5}} </math>

<b><span style="color:#931136">b)</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;Hundradelar (två decimaler).

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Lösning<span style="color:black">:</span> Avrundningssiffran är <math> \, 2</math>:a decimalen <math> \, {\color{Red} 6} </math>. Siffran efter avrundningssiffran är <math> \, 3 </math>. Därför<span style="color:black">:</span> <math> \; 257,4{\color{Red} 6}3 \; \approx \; \underline{257,4{\color{Red} 6}} </math>

<b><span style="color:#931136">c)</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;Heltal.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Lösning<span style="color:black">:</span> Avrundningssiffran är entalet <math> \, {\color{Red} 7} </math>. Siffran efter avrundningssiffran är <math> \, 4 </math>. Därför<span style="color:black">:</span> <math> \; 25{\color{Red} 7},463 \; \approx \; \underline{25{\color{Red} 7}} </math>

<b><span style="color:#931136">d)</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;Tiotal.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Lösning<span style="color:black">:</span> Avrundningssiffran är tiotalet <math> \, {\color{Red} 5} </math>. Siffran efter avrundningssiffran är <math> \, 7 </math>. Därför<span style="color:black">:</span> <math> \; 2{\color{Red} 5}7,463 \; \approx \; \underline{2{\color{Red} 6}0} </math>
</big></div> <!-- exempel2 -->


<big>
Exemplen ovan visar att det även finns andra sätt att hänvisa till avrundningssiffran än med antal decimaler. 

Vid avrundning av heltal, ex. <b><span style="color:#931136">2 c)</span></b>-<b><span style="color:#931136">d)</span></b>, måste avrundningsregeln användas med sunt förnuft. 

Att avrunda till t.ex. heltal, tiotal, hundratal, ...&nbsp;betyder alltid till <strong><span style="color:red">närmaste</span></strong> heltal, tiotal, hundratal, ...&nbsp;. Här två exempel till:
</big>


<div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ==
<big>
Avrunda till hundratal<span style="color:black">:</span>

<b><span style="color:#931136">a)</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> 472 </math>

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Lösning<span style="color:black">:</span> Avrundningssiffran är hundratalet <math> \, {\color{Red} 4} </math>. Siffran efter avrundningssiffran är <math> \, 7 </math>. Därför<span style="color:black">:</span> <math> \; {\color{Red} 4}72 \; \approx \; \underline{{\color{Red} 5}00} </math>

<b><span style="color:#931136">b)</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> 6\,851 </math>

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Lösning<span style="color:black">:</span> Avrundningssiffran är hundratalet <math> \, {\color{Red} 8} </math>. Siffran efter avrundningssiffran är <math> \, 5 </math>. Därför<span style="color:black">:</span> <math> \; 6\,{\color{Red} 8}51 \; \approx \; \underline{6\,{\color{Red} 9}00} </math>
</big></div> <!-- exempel3 -->


<big>
<b>OBS!</b> &nbsp;&nbsp; Nollorna i svaren till ex. <b><span style="color:#931136">2 d)</span></b> och <b><span style="color:#931136">3 a)</span></b>-<b><span style="color:#931136">b)</span></b> är väsentliga ([[1.3.2_Avrundning_och_värdesiffror#V.C3.A4rdesiffror|<strong><span style="color:blue">signifikanta</span></strong>]]) och får inte utelämnas för att bibehålla de andra siffrornas värden. Med andra ord:

<span style="color:white"><b>OBS!</b> &nbsp;&nbsp; </span>Decimaltecknets position får inte rubbas.
</big>


== <b><span style="color:#931136">Värdesiffror</span></b> ==
<big>
Resultatet av en avrundning är ett s.k. <strong><span style="color:red">närmevärde</span></strong>. T.ex. är <math> \, 3,14 \, </math> ett närmevärde till talet [http://www.piday.org/million/ <strong><span style="color:blue"><big><math> \, \pi </math></big></span></strong>] vars exakta värde aldrig kan anges numeriskt, för det har oändligt många decimaler: <strong><span style="color:blue"><big><math> \pi </math></big></span></strong> är ett [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<strong><span style="color:blue">irrationellt tal</span></strong>]].

I regel är de flesta i praktiken använda decimaltal närmevärden. När vi i detta avsnitt pratar om tal menar vi alltid ett närmevärde dvs ett korrekt avrundat tal.
</big>


<div class="border-divblue">
<big>
De siffror i ett tal som är exakta eller korrekt avrundade kallas för&nbsp;&nbsp;

:::*&nbsp;&nbsp;<strong><span style="color:red">värdesiffror</span></strong> eller

:::*&nbsp;&nbsp;<strong><span style="color:red">gällande siffror</span></strong> eller

:::*&nbsp;&nbsp;<strong><span style="color:red">signifikanta siffror</span></strong>
</big>

</div>


<big>
Värdesiffror är de siffror i ett tal som man kan lita på <math>-</math> ett mått på talets noggrannhet.
</big>


<div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ==
<big>

:::::::{|class="wikitable"
!&nbsp;&nbsp;&nbsp;Tal&nbsp;&nbsp;&nbsp;!!&nbsp;&nbsp;&nbsp;Antal värdesiffror&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|-
|align="left"|<b><span style="color:#931136">a)</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> \, 3,14 \, </math>||align="center"|<b>Tre</b>
|-
|align="left"|<b><span style="color:#931136">b)</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> \, 0,05 \, </math>||align="center"|<b>En</b>
|-
|align="left"|<b><span style="color:#931136">c)</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> \, 0,072 \, </math>||align="center"|<b>Två</b>
|-
|align="left"|<b><span style="color:#931136">d)</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> \, 0,00403 \, </math>||align="center"|<b>Tre</b>
|-
|align="left"|<b><span style="color:#931136">e)</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> \, 1,006 \, </math>||align="center"|<b>Fyra</b>
|}

I tabellen ovan, raderna <b><span style="color:#931136">b)</span></b>-<b><span style="color:#931136">d)</span></b> är de inledande nollorna inga värdesiffror, för de är endast till för att placera decimaltecknet och positionera de andra siffrorna.
</big></div> <!-- exempel4 -->


<big>
<strong><span style="color:#931136">Slutsats:</span></strong>
<div class="border-divblue">

De inledande nollorna i ett decimaltal är inga värdesiffror.

</div>
</big>


<div class="exempel"> <!-- exempel5 -->
== <b><span style="color:#931136">Exempel 5</span></b> ==
<big>
Hur många värdesiffror har talet <math> \; 0,0720 \; </math>? &nbsp;&nbsp; Motivera ditt svar och dra slutasats.

<strong><span style="color:#931136">Svar:</span></strong>

::Tre värdesiffror.

<strong><span style="color:#931136">Motivering:</span></strong>

Nollan i slutet av <math> \, 0,0720 \, </math> är <math>-</math> när den anges <math>-</math> antingen exakt eller resultat av korrekt avrundning.

T.ex kan talet vara resultat av avrundning<span style="color:black">:</span>

:*<math> \; 0,072{\color{Red} 0}1 \; \approx \; 0,072{\color{Red} 0} \; </math> eller

:*<math> \; 0,072{\color{Red} 1}9 \; \approx \; 0,072{\color{Red} 0} \; </math>
</big></div> <!-- exempel5 -->


<big>
<strong><span style="color:#931136">Slutsats:</span></strong>
<div class="border-divblue">

Nollor i slutet av ett korrekt avrundat decimaltal är alltid värdesiffror.

</div>
</big>


<big>Det finns fall där antalet värdesiffror beror på <b>hur</b> talet avrundats.</big>


<div class="exempel"> <!-- exempel6 -->
== <b><span style="color:#931136">Exempel 6</span></b> ==
<big>
Hur många värdesiffror har talet <math> \; 500 \; </math>?

<strong><span style="color:#931136">Svaret</span></strong>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; är inte entydigt utan beror på hur avrundningen har skett.

<strong><span style="color:#F2F2F2">Svaret</span></strong>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <strong><span style="color:#931136">Fall 1:</span></strong>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Om <math> \, 50{\color{Red} 0} \, </math> är avrundat till <strong><span style="color:red">ental</span></strong> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; har talet <strong><span style="color:#931136">tre</span></strong> värdesiffror. Man kan lita på alla tre siffror.

<strong><span style="color:#F2F2F2">Svaret</span></strong>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <strong><span style="color:#931136">Fall 2:</span></strong>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Om <math> \, 5{\color{Red} 0}0 \, </math> är avrundat till <strong><span style="color:red">tiotal</span></strong> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; har talet <strong><span style="color:#931136">två</span></strong> värdesiffror. Man kan lita på de första två siffrorna.

<strong><span style="color:#F2F2F2">Svaret</span></strong>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <strong><span style="color:#931136">Fall 3:</span></strong>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Om <math> \, {\color{Red} 5}00 \, </math> är avrundat till <strong><span style="color:red">hundratal</span></strong> har talet <strong><span style="color:#931136">en</span></strong> värdesiffra. Man kan lita endast på den första siffran.

Avrundningssiffran är markerad med rött.
</big></div> <!-- exempel6 -->


== <b><span style="color:#931136">Till hur många decimaler ska man avrunda ett decimaltal?</span></b> ==
<big>
Svaret på denna fråga beror ofta på praktiska omständigheter. Man borde resonera kring rimligheten utgående från uppgiftens verkliga bakgrund.

Handlar det t.ex. om pengar, är det orimligt att avrunda till fler än två decimaler.

Handlar det om vikten av t.ex. potatis är det kanske rimligt att avrunda till hela kg, medan t.ex. för ost eller skinka skulle man <math>-</math> som det är bruk <math>-</math> avrunda till tiodelar av kg (dvs till hg = hektogram eller hekto = <math> \, 100 \, </math>g).

Exemplet ovan visar att valet av enhet kan vara av betydelse för avrundningsgraden.

Ofta sätter mätinstrument gränser för hur noggrant det är rimligt att ange ett mätresultat. Då borde avrundningsgraden ta hänsyn till denna gräns.

Vid rent numeriska beräkningar borde man se upp att man inte "skänker" bort decimaler i onödan när slutresultatet kräver en viss precision.

Annars ska vi alltid hålla oss till uppgiftens krav på antalet decimaler om ett sådant krav har angetts.
</big>


== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==

http://www.elevspel.se/amnen/matematik/299-avrundning.html

http://www.rasmus.is/sv/t/u/st22k01.HTM

http://matmin.kevius.com/avrund.php

https://www.youtube.com/watch?v=M5A7j77Y3nk








[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.