Visa källkod för 2.5 Deriveringsregler

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
{{Not selected tab|[[2.3 Gränsvärde| <<&nbsp;&nbsp;Förra demoavsnitt]]}}
{{Selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[2.5 Övningar till Deriveringsregler|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|Fördjupning]]}}
{{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|Nästa demoavsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}


[[Media: Lektion 17 Deriveringsregler I Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 17 Deriveringsregler I</span></b>]]

[[Media: Lektion 18 Deriveringsregler II Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 18 Deriveringsregler II</span></b>]]
 
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis hittar man i fliken [[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|<b><span style="color:blue">Fördjupning</span></b>]].
</div> <!-- tolv1 -->

== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en konstant</span></b> ==
<br>
<table>
<tr>
  <td><div class="border-divblue">
<b>'''Regel:''' &nbsp;&nbsp; Derivatan av en konstant är 0.</b>

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Om <math> \;\; f(x) \; = \: c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;då <math> \;\; f\,'(x) \; = \: 0 </math>.

'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<b><span style="color:blue">Fördjupning: Derivatan av en konstant</span></b>]].
</div>



</td>
  <td><math> \qquad </math></td>
  <td><div class="ovnE">
'''Exempel'''

För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \: -5 \; </math> blir derivatan:

:::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \: 0 </math></div></td>
</tr>
</table>

== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en linjär funktion</span></b> ==
<br>
<table>
<tr>
  <td><div class="border-divblue">
<b>'''Regel:''' &nbsp;&nbsp; Derivatan av en linjär funktion är konstant.</b>

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Om <math> \;\; f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } </math>

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; k </math>

'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_linjär_funktion|<b><span style="color:blue">Fördjupning: Derivatan av en linjär funktion</span></b>]].
</div>



</td>
  <td><math> \qquad </math></td>
  <td><div class="ovnE">
'''Exempel'''

För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \; -8\,x + 9 \; </math> blir derivatan:

:::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \; -8 </math>
</div></td>
</tr>
</table>

== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en kvadratisk funktion</span></b> ==
<br>
<table>
<tr>
  <td><div class="border-divblue">
<b>'''Regel:'''

Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion:</b>

Om <math> \;\; f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } </math>

då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b </math>

'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_kvadratisk_funktion|<b><span style="color:blue">Fördjupning: Derivatan av en kvadratisk funktion</span></b>]].
</div>




</td>
  <td><math> \qquad </math></td>
  <td><div class="ovnE">
'''Exempel 1'''

För funktionen <math> \;\, f(x) \; = \; 5\,x^2 - 3\,x + 6 \; </math> blir derivatan:

:::::<math> \;\, f\,'(x) \; = \; 10\,x - 3 </math>

'''Exempel 2'''

För funktionen &nbsp; <math> f(x) \; = \; -25\,x^2 + 16\,x - 90 \; </math> blir derivatan:

:::::<math> f\,'(x) \; = \; 2\cdot (-25)\,x + 16 \; = \; - 50\,x + 16 </math>
</div></td>
</tr>
</table>
== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en potens</span></b> ==
<br>
<!-- '''Viktigt specialfall:''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <big><math> {\color{Red} {a \,=\, }} </math></big><math> {\color{Red} 1}\, </math> -->
<table>
<tr>
  <td><div class="border-divblue"><big>
<b>Regeln om derivatan av en potens:</b>

Om <math> \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} </math>

då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} </math>

</big></div></td>
  <td><math> \qquad </math></td>
  <td>

<div class="ovnE">
'''Exempel 1''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> positivt heltal:

För funktionen <math> f(x) = x^5 \; </math> blir derivatan:

:::::<math> f\,'(x) = 5\,x^4 </math>
</div>

</td>
</tr>
</table>


<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
Denna regel är den <b><span style="color:red">viktigaste formeln</span></b> för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel.

Regeln gäller för <b><span style="color:red">ALLA exponenter</span></b> <big><math> {\color{Red} n} </math></big>, dvs inte bara för positiva (ex. 1) utan även för negativa heltalsexponenter (ex. 2) och t.o.m. för bråktal i exponenten (ex. 3).
</div> <!-- tolv3 -->


<div class="ovnE">
'''Exempel 2''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> negativt heltal:

Derivera funktionen <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> med hjälp av regeln om derivatan av en potens.

Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \displaystyle {1 \over x} </math> till en potens med hjälp av [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]]<span style="color:black">:</span>

<math> \qquad \displaystyle f(x) = {1 \over x} = x^{-1} \; </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;, se [[Potenser#Lagen_om_negativ_exponent_.5C.28_.5Cquad_a.5C.2C.5E.7B-x.7D_.5C.3B_.3D_.5C.3B_.5Cdisplaystyle_.7B1_.5Cover_a.5C.2C.5Ex.7D_.5C.29|<b><span style="color:blue">Lagen om negativ exponent</span></b>]].

Därmed är <math> \,n = -1 </math> och vi kan sätta in <math> \, n = -1 </math> i regeln om derivatan av en potens och får<span style="color:black">:</span>

<math> \qquad \displaystyle f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = \boxed{\,- \, {1 \over x^2}\,} </math>
</div>


<big>
Även i den sista likheten i raden ovan har [[Potenser#Lagen_om_negativ_exponent_.5C.28_.5Cquad_a.5C.2C.5E.7B-x.7D_.5C.3B_.3D_.5C.3B_.5Cdisplaystyle_.7B1_.5Cover_a.5C.2C.5Ex.7D_.5C.29|<b><span style="color:blue">Lagen om negativ exponent</span></b>]] använts.
</big>


<div class="ovnE">
'''Exempel 3''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> bråktal:

Derivera funktionen <math> f(x) = \sqrt{x} </math> med hjälp av regeln om derivatan av en potens.

Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \sqrt{x} </math> till en potens<span style="color:black">:</span>

<math> \qquad \displaystyle f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} \; </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;, se [[Potenser#Lagen_om_kvadratroten_.5C.28_.5Cquad_a.5E.7B1_.5Cover_2.7D_.5C.3B_.3D_.5C.3B_.5Csqrt.7Ba.7D_.5C.29|<b><span style="color:blue">Lagen om kvadratroten</span></b>]].

Därmed är <math> n = {1 \over 2} </math> och vi kan sätta in <math> n = {1 \over 2} </math> i regeln om derivatan av en potens och får<span style="color:black">:</span>

<math> \qquad \displaystyle f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = \boxed{\,{1 \over 2\, \sqrt{x}}\,} </math>
</div>


<big>
Även i den näst sista likheten i raden ovan har [[Potenser#Lagen_om_kvadratroten_.5C.28_.5Cquad_a.5E.7B1_.5Cover_2.7D_.5C.3B_.3D_.5C.3B_.5Csqrt.7Ba.7D_.5C.29|<b><span style="color:blue">Lagen om kvadratroten</span></b>]] använts.
</big>


== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></b> ==
<br>
<table>
<tr>
  <td><div class="border-divblue">
<b>'''Regel:'''

En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:</b>

::Om <math> y     =  a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} </math>

::då <math> y\,'  =  a\cdot f\,'(x) </math>

</div>


</td>
  <td><math> \qquad </math></td>
  <td><div class="ovnE">
'''Exempel'''

För funktionen <math> y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} \; </math> blir derivatan:

:::<math> y\,' \, = \,\, 6\cdot (\sqrt{x})\,' \,= \, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,= \, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} </math>

Här har resultatet från Exempel 3 på [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potens|<b><span style="color:blue">Derivatan av en potens</span></b>]] använts:

::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
</div></td>
</tr>
</table>


<table>
<tr>
  <td><div class="border-divblue">
'''Tillämpning av regeln ovan på en potensfunktion:'''

::Om <math> \;\; y \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } </math>

::då <math> \;\; y\,' \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} </math>

</div></td>
  <td><math> \qquad </math></td>
  <td><div class="ovnE">
'''Exempel'''

För funktionen <math> y = 12\,x^4 \; </math> blir derivatan:

:::::<math> y\,' = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 </math>
</div></td>
</tr>
</table>
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
<b><span style="color:red">OBS! &nbsp; Konstanten</span></b> <big><math> {\color{Red} a} </math></big> tas oförändrad över till derivatan.

Regeln om att [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<b><span style="color:blue">derivatan av en konstant</span></b>]] är <math> \, 0\, </math> får ingen tillämpning här, därför att konstanten <math> a\, </math> inte är en additiv term här utan bunden till produkten <math> a \cdot x\,^n </math> som en <b><span style="color:red">faktor</span></b> framför potensen och därför inte kan separeras från den:
</div> <!-- tolv2 -->


== <b><span style="color:#931136">Konstant faktor vs. additiv konstant</span></b> ==
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> &nbsp; en <b><span style="color:red">konstant faktor</span></b> i funktionsuttrycket.

Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln ovan: "En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering".

I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> en <b><span style="color:red">additiv konstant</span></b> i funktionsuttrycket.

Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 0 \,+\,  \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln om att derivatan av en konstant är <math> \, 0\, </math>.

Att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> innebär <b><span style="color:red">inte</span></b> att derivatan av &nbsp; <math> a\cdot f(x) </math> &nbsp; blir &nbsp; <math> 0\cdot f\,'(x) </math> &nbsp; och därmed <math> 0\, </math>. Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se [[2.5_Deriveringsregler#Produkt_och_kvot_av_funktioner|<b><span style="color:blue">Produkt och kvot av funktioner</span></b>]]. 

[[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<b><span style="color:blue">Regeln om derivatan av en konstant</span></b>]] innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är <math> 0\, </math>. Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:
</div> <!-- tolv5 -->


<table>
<tr>
  <td><div class="border-divblue">
<b>'''Regel:'''

Derivatan av en additiv konstant är <math> 0\, </math>.</b>

Om <math> \; y \; = \; c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>

då <math> \; y' \; = \; 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) </math>.

</div>


</td>
  <td><math> \qquad </math></td>
  <td><div class="ovnE">
'''Exempel'''

För funktionen <math> \; f(x) \; = \; -5 + \displaystyle {1\over x} \; </math> blir derivatan:

:::::<math> \; f\,'(x) \; = \; 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} </math>

Här har resultatet från Exempel 2 på [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potens|<b><span style="color:blue">Derivatan av en potens</span></b>]] använts:

:::Derivatan av &nbsp; <math> y = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
</div></td>
</tr>
</table>

<big>I exemplet ovan användes redan följande regel:</big>


== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en summa av funktioner</span></b> ==
<br>
<table>
<tr>
  <td><div class="border-divblue">
<b>'''Regel:'''

En summa av funktioner kan deriveras termvis.</b>

:::Om <math> \;\; y     =  f(x) + g(x)\, </math>

:::då <math> \;\; y\,'  =  f\,'(x) + g\,'(x) </math>

</div>


</td>
  <td><math> \qquad </math></td>
  <td><div class="ovnE">
'''Exempel 1'''

För polynomfunktionen

<math> \quad f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \; </math> blir derivatan<span style="color:back">:</span>

<math> \quad f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 </math>

Se även [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_ett_polynom|<b><span style="color:blue">Derivatan av ett polynom</span></b>]].
</div></td>
</tr>
</table>


<div class="ovnE">
'''Exempel 2'''

För funktionen <math> \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} \; </math> blir derivatan:

:::::<math> y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math>

Här har resultaten från Exempel 2 och 3 på [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potens|<b><span style="color:blue">Regeln om derivatan av en potens</span></b>]] använts:

:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> &nbsp; och

:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
</div>


== <b><span style="color:#931136">Produkt och kvot av funktioner</span></b> ==
<div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
Regeln ovan tillåter att derivera en summa av funktioner termvis. 

Av detta får inte dras slutsatsen att samma sak kan göras i en produkt eller i en kvot av funktioner:
</div> <!-- tolv7 -->


<table>
<tr>
  <td>
<div class="border-divblue"><big>En&nbsp;produkt&nbsp;av&nbsp;funktioner&nbsp;kan&nbsp;inte&nbsp;deriveras&nbsp;faktorvis.</big></div>


<div class="ovnE">
'''Exempel'''

::<math> y = x \cdot \sqrt x </math>

::<math> y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} \,=\, {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>

'''Rätt:'''
		 
::<math> y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} </math> 

::<math> y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x </math>
</div>



</td>
  <td><math> \qquad\qquad </math></td>
  <td>
<div class="border-divblue"><big>Inte heller i en kvot av funktioner kan täljaren<br>deriveras för sig och nämnaren för sig.</big></div>


<div class="ovnE">
'''Exempel'''

::<math> y \,=\, \displaystyle {x+1 \over x} </math>

::<math> y\,' \,\neq\, {1 + 0 \over 1} \,=\, {1 \over 1} \,=\, 1 </math>

'''Rätt:'''

::<math> y = {x+1 \over x} = {x \over x} + {1 \over x} = 1 + {1 \over x}  = 1 + x^{-1} </math>

::<math> y\,' = 0 + (-1)\cdot x^{-1-1} = - x^{-2} = - {1 \over x^2} </math>
</div></td>
</tr>
</table>


<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. <b><span style="color:red">produkt-</span></b> resp. <b><span style="color:red">kvotregeln</span></b>. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan.
</div> <!-- tolv6 -->


== <b><span style="color:#931136">Tabell över deriveringsregler</span></b> ==

<div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där <math> c,\,a,\,k,\,m,\,n </math> är konstanter medan <math> \, x\, </math> och <math> \, y\, = \, f(x) </math> är variabler:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
! <math> y\, </math> || <math> y\,' </math> 
|-
| align=center| <math> c\, </math> ||align=center| <math> 0\, </math> 
|-
| align=center| <math> x\, </math> ||align=center| <math> 1\, </math>
|-
| align=center| <math> a\; x </math> ||align=center| <math> a\, </math>
|-
| align=center| <math> k\; x \, + \, m </math> ||align=center| <math> k\, </math>
|-
| align=center| <math> x^2\, </math> ||align=center| <math> 2\,x </math>
|-
| align=center| <math> a\,x^2 </math> ||align=center| <math> 2\,a\,x </math> 
|-
| align=center| <math> x^n\, </math> ||align=center| <math> n\cdot x\,^{n-1} </math> 
|-
| align=center| <math> a\,x\,^n </math> ||align=center| <math> a\cdot n\cdot x\,^{n-1} </math> 
|-
| align=center| <math> \displaystyle {1 \over x} </math> ||align=center| <math> \displaystyle - {1 \over x^2} </math> 
|-
| align=center| <math> \sqrt{x} </math> ||align=center| <math> \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math> 
|-
| align=center| <math> a\cdot f(x) </math> ||align=center| <math> a\cdot f\,'(x) </math> 
|-
| align=center| <math> f(x) + g(x)\, </math> ||align=center| <math> f\,'(x) + g\,'(x) </math> 
|}
</div>

De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna. 

Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">Derivatan av exponentialfunktioner</span></b>]].
</div> <!-- tolv7 -->


== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==

http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw

https://www.youtube.com/watch?v=ekESj2A5IiY

https://www.youtube.com/watch?v=hZXusMjayZk

http://www.youtube.com/watch?v=hYKiTPB7jnQ&feature=related








[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.