Visa källkod för 2.3 Gränsvärde

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
{{Not selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[2.3 Gränsvärde|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[Dessa övningar ingår inte i demon.|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[2.3 Fördjupning till Gränsvärde|Fördjupning]]}}
{{Not selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Nästa demoavsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}

<!-- [[Media: Lektion_14_Gransvarde_Rutac.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 14 Gränsvärde</span></b>]] -->

<big>
Vårt mål i detta kapitel är att förstå begreppet <b><span style="color:red">derivata</span></b>. Men eftersom derivata är ett gränsvärde, måste vi först behandla begreppet gränsvärde.

Limesbegreppet är centralt inom <b><span style="color:red">Analys</span></b><math>-</math> den gren av matematiken som [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton <b><span style="color:blue">Newton</span></b>] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz <b><span style="color:blue">Leibniz</span></b>] på 1700-talet la grunden till, även kallad <b><span style="color:red">Differential- och Integralkalkyl</span></b>, på engelska <b><span style="color:red">Calculus</span></b>. Det är därför vi numera använder begreppet "analytiskt" istället för "algebraiskt".


<big><b><span style="color:#931136">Introduktion till gränsvärde</span></b></big> <!-- &nbsp; <b>Uppgift 3438 (3c-boken, sid 190):</b> -->
<table>
<tr>
<td><div class="ovnE0"> 
<small>En fallskärmshoppare faller fritt med hastigheten

<math> \qquad\quad\;\; </math> <div class="smallBoxVariant"><math> v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math></div>

där <math> \, t = \, </math> tiden i sek. I praktiken vet vi att det finns en

maximal hastighet <math> \, v_{max} \, </math> som hopparen inte kan över-

skrida. Bestäm denna gränshastighet matematiskt.</small>
</div>
</td>
  <td><math> \quad </math></td>
  <td>[[Image: 5_186_Uppg_3438_Fritt_fall_250.jpg]]
</td>
</tr>
</table>
<b>Fysikalisk tolkning:</b>

Grafen till <math> \, v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet som hopparen inte kan överskrida:

Efter ca. 40 sek blir hopparens hastighet konstant<span style="color:black">:</span> <math> \;\; v \, \approx \, v_{max} = 80 </math> m/s. <math> \;\; </math> [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ <b><span style="color:blue">Newtons fösta lag</span></b>]: 

<i>När ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet är summan av alla krafter <math> \, = 0 \, </math> (och omvänt).</i>

Därav följer<span style="color:black">:</span> <math> \qquad </math> Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> gravitation <math> \quad </math> dvs <math> \quad </math> rörelsen är ett <b><span style="color:red">fritt fall med luftmotstånd</span></b>.

<b>Matematisk beskrivning:</b>

<div class="border-divblue"><small><b><span style="color:red">Gränsvärdet</span></b>&nbsp; för <math> \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, </math>,&nbsp; då <math> \,t \, </math> går mot <math> \, \infty \; </math>,&nbsp; <b><span style="color:red">är <math> \, 80</math></span></b>.<br>Man skriver<span style="color:black">:</span> <math> \quad </math> <div class="smallBoxVariant"><math> \displaystyle {\color{Red} {\lim_{t \to \infty}}}\,{\left(80\,(1 - 0,88\,^t)\right)} \color{Red} { \; = \; 80} </math></div> <math> \quad </math> och läser<span style="color:black">:</span> 

<math> \qquad\;\; </math> Limes av <math> \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, </math>, då <math> t </math> går mot <math> \infty \, </math>, är <math> 80 </math>.

<math> \quad\;\;\, {\color{Red} {\lim}} \, </math> står för det latinska ordet <math> \, {\color{Red} {\rm limes}} \, </math> som betyder gräns.
</small></div>

<b>Limes kan <span style="color:red">beräknas</span> utan graf:</b>

<math> v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} - \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, - \, 0 \, = \, \color{Red} {80} \, </math>,

eftersom <math> \qquad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} \cdot \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 80 \cdot 0 \, = \, 0 \quad </math> pga <math> \quad 0,88 \, < \, 1 \; </math>.

<b>Experiment:</b> &nbsp;Ta upp din miniräknare och slå in<span style="color:black">:</span> <math> \; 0,88\,^{10}, \quad 0,88\,^{100}, \quad 0,88\,^{1000}, \ldots \,  </math>. Vad händer?

<math> \qquad\qquad\quad </math> Är detta ett bevis för <math> \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 0 \, </math>? Nej, men: 

<b>Generellt:</b> <math> \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(a\,^t)} \, = \, 0 \, </math>, om <math> \, a \, < \, 1 \,</math>. Kan bevisas.
</big>


== <b><span style="color:#931136">Beräkning av gränsvärden</span></b> ==

<big>
I princip kan limes av en funktion beräknas genom att sätta in i funktionsuttrycket det värde som <math> \,x \, </math> ska gå emot. Men ofta ger detta odefinierade uttryck.

Därför måste man först <b><span style="color:red">förenkla uttrycket</span></b>, ev. flera gånger. Sedan sätts in det värde som <math> \,x \, </math> ska gå emot, i funktionsuttrycket.
</big>


<div class="ovnE">
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ====

Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} </math>

<b>Lösning:</b>

För <math> \, x = 0 \, </math> är uttrycket <math> \, \displaystyle{x^2 + 7\,x \over x} \, </math> inte definierat därför att nämnaren blir <math> \, 0 </math>. 

Därför måste vi förenkla uttrycket.

Vi faktoriserar uttryckets täljare för att kolla om man ev. kan förkorta.

Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut <math> x \, </math>:

::<math> \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \, = \, \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\:(x + 7) \over {\color{Red} x}} \, = \, \lim_{x \to 0}\, (x + 7) \, = \, 0 + 7 \, = \, 7 </math>
</div>


<div class="ovnE">
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ====

Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} </math>

<b>Lösning:</b>

När <math> x \to \infty </math> går uttrycket i limes <math> \displaystyle \to \frac{\infty}{\infty} </math> som är odefinierat. Därför:

Vi förenklar uttrycket i limes genom att separera summan:

::<math> {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} </math>

::<math> \displaystyle{5 \over x} \; {\rm går\;mot\;} 0  \quad {\rm när} \quad x \to \infty \quad {\rm dvs} \quad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 </math>

:Se [[2.3_Fördjupning_till_Gränsvärde#Gr.C3.A4nsv.C3.A4rde_f.C3.B6r_en_funktion|<b><span style="color:blue">Gränsvärde för en funktion</span></b>]]: Samma typ av gränsvärde.

Därför kan vi bestämma limes för hela uttrycket:

::<math> \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, 4\,+\,0 \,= \, 4 \;\, </math>
</div>


<div class="ovnE">

==== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ====

Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} </math>

<b>Lösning:</b>

Insättningen av <math> \, x = 2 \, </math> i uttrycket ger det odefinierade uttrycket <math> \, \displaystyle{0 \over 0} </math>. Därför:

Vi faktoriserar både täljaren och nämnaren för att kolla om man ev. kan förkorta.

Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:

::<math> x^2\,-\,4 = (x\,+\,2)\cdot(x\,-\,2) </math>

::<math> 5\,x - 10 = 5\,(x\,-\,2) </math>

Nu kan vi förkorta uttrycket och beräkna limes:

::<math> \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} </math>
</div>


<div class="ovnC">

==== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ====

Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} </math>

<b>Lösning:</b>

Insättningen av <math> \, x = 3 \, </math> i uttrycket ger det odefinierade uttrycket <math> \, \displaystyle{0 \over 0} </math>.

För att kunna se om man ev. kan förkorta uttrycket faktoriserar vi täljaren: 

::<math> x^2 - x - 6 = 0 \, </math>

Enligt [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">Vieta</span></b>]] gäller för lösningarna <math> \, x_1\,</math> och <math> \, x_2 \, </math><span style="color:black">:</span>

::<math> \begin{align} x_1   +   x_2 & = -(-1) = 1   \\
                       x_1 \cdot x_2 & = - 6
          \end{align}</math>

Två tal vars produkt är <math> \, -6 \, </math> och deras summa är <math> \, 1 </math>, är <math> \, 3 \, </math> och <math> \, -2 </math>. Därför:

::<math> \begin{align} x_1 & = 3   \\
                       x_2 & = - 2
          \end{align}</math>

Täljarens faktorisering blir då:

::<math> x^2 - x - 6 = (x - 3) \cdot (x + 2) </math>

Nu kan vi förkorta uttrycket mot nämnaren och beräkna limes:

<math> \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, 3 + 2 \, = \, 5 </math>
</div>


<div class="ovnC">

==== <b><span style="color:#931136">Exempel 5</span></b> ====

Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} </math>

<b>Lösning:</b>

För att förenkla uttrycket i limes divideras uttryckets täljare och nämnare med den högsta <math> \,x</math>-potensen, nämligen med <math> \,x^3 </math>:

::<math> \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3/x^3\,-\,2/x^3 \over 2\,x^3/x^3\,+\,3\,x/x^3\,-\,4/x^3} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} </math>


För att förenkla sista uttrycket använder vi:

::<math> \lim_{x \to \infty}\, {\color{Red} {2 \over x^3}} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, {\color{Blue} {3 \over x^2}} \, = \, \lim_{x \to \infty} \, {\color{ForestGreen} {4 \over x^3}} \, = \, 0 </math>

Insatt i det sista uttrycket blir det:

::<math> \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\quad \cdots \quad = \, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \,=\, {1\,-\,{\color{Red} 0} \over 2\,+\,{\color{Blue} 0}\,-\,{\color{ForestGreen} 0}} \,=\, {1 \over 2} </math>
</div>


<div class="ovnA">
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 6</span></b> ====

Funktionen <math> \; f(x) = x^2 \; </math> är given. &nbsp; Bestäm gränsvärdet <math> \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \; </math>.

<b>Lösning:</b>

::<math> f(2+h) \, = \, (2+h)\,^2 \, = \, {\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}} </math>

::<math> f(2) \, = \, 2\,^2  \, = \, {\color{Blue} 4} </math>

::<math> \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}}\,\,-\,\,{\color{Blue} 4} \over h} = \lim_{h \to 0} {4\,h + h^2 \over h} = </math>

::<math> = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(4 + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (4 + h) =  4 </math>
</div>


<div class="ovnA">
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 7</span></b> ====

Funktionen <math> \; f(x) = x^2 \; </math> är given. &nbsp; Bestäm gränsvärdet <math> \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \; </math>.

<b>Lösning:</b>

Eftersom uttrycket i limes involverar två variabler <math> \, x \, </math> och <math> \, h \, </math> kommer limes inte längre vara ett tal utan ett uttryck i <math> \, x </math>.

<math> \displaystyle \lim_{\color{Red} {h \to 0}} \, </math> innebär att gränsvärdet ska bildas för <math> \, {\color{Red} {h \to 0}} </math>. Därför borde <math> \, x\, </math> under gränsprocessen anses som en konstant.

::<math> {\color{Red} {f(x+h)}} \, = \, (x+h)^2 \, = \, {\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} </math> 

::<math> {\color{Blue} {f(x)}} \, = \, {\color{Blue} {x\,^2}} </math>

::<math> \lim_{h \to 0}\,\,{{\color{Red} {f(x+h)}} - {\color{Blue} {f(x)}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \, - \, {\color{Blue} {x\,^2}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = </math>

::<math> = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) =  \boxed{2\,x} </math>

Observera att <b><span style="color:#931136">Exempel 6</span></b> ovan är ett specialfall av detta exempel för <math> x = 2 \, </math>.

Jämför även med förra avsnittets [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_2_Kvadratisk_funktion|<b><span style="color:blue">Exempel 2 Kvadratisk funktion</span></b>]]<span style="color:black">:</span>

<math> y \, = \, \boxed{2\,x} \, </math> är derivatan av <math> \, y \, = \, x^2 \, </math>, se [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">derivatan som en ny funktion</span></b>]].
</div>


=== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ===

https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs

https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA

https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0










[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.