Visa källkod för Övningar till Rotekvationer och högre gradsekvationer

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom| <<&nbsp;&nbsp; Tillbaka till Polynom]]}}
{{Not selected tab|[[Ekvationer|Genomgång]]}}
{{Selected tab|[[Övningar till Ekvationer|Övningar]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}


<Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-3</span></Big></Big></Big>


== <b>Övning 1</b> ==
<div class="ovnE">
Lös följande rotekvationer:

a) &nbsp; <math> \sqrt{x} = 9 </math>

b) &nbsp; <math> \sqrt{x} = - 9 </math>

c) &nbsp; <math> 5 - \sqrt{x} = 1 </math>

{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.1 Svar 1a|Lösning 1a|1.1 Lösning 1a|Svar 1b|1.1 Svar 1b|Lösning 1b|1.1 Lösning 1b|Svar 1c|1.1 Svar 1c|Lösning 1c|1.1 Lösning 1c}}</div>


== <b>Övning 2</b> ==
<div class="ovnE">
Lös följande ekvationer med den metod som förklaras i genomgången.

a) &nbsp; <math> 2 \,\cdot \, \sqrt{x} - x = 1 </math>

b) &nbsp; <math> x + \sqrt{5\,x - 1} = 3 </math>

c) &nbsp; <math> 6\,x - 3\,\sqrt{9+x} = -9 </math>

{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.1 Svar 2a|Lösning 2a|1.1 Lösning 2a|Svar 2b|1.1 Svar 2b|Lösning 2b|1.1 Lösning 2b|Svar 2c|1.1 Svar 2c|Lösning 2c|1.1 Lösning 2c}}</div>


== <b>Övning 3</b> ==
<div class="ovnE">
Lös följande rotekvationer:

a) &nbsp; <math> x = \sqrt{x+7} - 1 </math>

b) &nbsp; <big><math> {x + \sqrt{x} \over 7} </math></big> <math> = 6 </math>

c) &nbsp; <math> 2\,(x + 8) = 9\,\sqrt{4\,x} </math>

{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.1 Svar 3a|Lösning 3a|1.1 Lösning 3a|Svar 3b|1.1 Svar 3b|Lösning 3b|1.1 Lösning 3b|Svar 3c|1.1 Svar 3c|Lösning 3c|1.1 Lösning 3c}}</div>




<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 4-8</span></Big></Big></Big>


== <b>Övning 4</b> ==
<div class="ovnC">
Lös rotekvationen

a) &nbsp; <math> \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 </math>

b) &nbsp; Rita graferna till funktionerna <math> y_1 = \sqrt{x^2 + 1} </math> och <math> y_2 = x - 3\, </math> i ett och samma koordinatsystem. Använd följande inställningar för WINDOW i din grafritande räknare: Xmin = -10, Xmax = 10, Xscl = 2, Ymin = -10, Ymax = 10, Yscl = 2. Motivera ditt svar i a) med hjälp av graferna.

c) &nbsp; Rita graferna till funktionerna <math> \displaystyle y_1 = x^2 + 1 </math> och <math> y_2 = (x - 3)^2\, </math> i ett och samma koordinatsystem. Använd följande inställningar för WINDOW i din grafritande räknare: Xmin = -3, Xmax = 6, Xscl = 1, Ymin = 0, Ymax = 10, Yscl = 1. Tolka resultatet. 

{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.1 Svar 4a|Lösning 4a|1.1 Lösning 4a|Lösning 4b|1.1 Lösning 4b|Lösning 4c|1.1 Lösning 4c}}</div>


== <b>Övning 5</b> ==
<div class="ovnC">
a) &nbsp; Modifiera rotekvationen 

<math> \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 </math>

i övning 4 så att den får en lösning genom att titta på grafen som du (förhoppningsvis) ritade i [[1.1 Lösning 4b|övning 4b]]. Rita graferna till funktionerna på bägge leden av den modifierade rotekvationen i ett och samma koordinatsystem så att man ser lösningen grafiskt. Använd samma inställningar för WINDOW i din grafritande räknare som i [[1.1 Lösning 4b|övning 4b]].

b) &nbsp; Lös den modifierade rotekvationen algebraiskt. Ange svaret med 2 decimalers noggrannhet.

{{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.1 Svar 5a|Lösning 5a|1.1 Lösning 5a|Svar 5b|1.1 Svar 5b|Lösning 5b|1.1 Lösning 5b}}</div>


== <b>Övning 6</b> ==
<div class="ovnC">
Lös ekvationen:

::<math> x^4 - 29\;x^2 = -100 </math>

{{#NAVCONTENT:Svar 6|1.1 Svar 6|Lösning 6|1.1 Lösning 6}}</div>


== <b>Övning 7</b> ==
<div class="ovnC">
Lös följande ekvation, som är samma som i övning 2a, här med substitutionen <math> t = \sqrt{x} </math>:

::<math> 2\,\sqrt{x} - x = 1 </math>

{{#NAVCONTENT:Svar 7|1.1 Svar 7|Lösning 7|1.1 Lösning 7}}</div>


== <b>Övning 8</b> ==
<div class="ovnC">
Lös följande ekvation och ange svaret med två decimaler:

::<math> x\,\sqrt{x}\, + 4 = 8 </math>

{{#NAVCONTENT:Svar 8|1.1 Svar 8|Lösning 8|1.1 Lösning 8}}</div>




<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 9-13</span></Big></Big></Big>


== <b>Övning 9</b> ==
<div class="ovnA">
Lös följande rotekvation exakt:

::<math> 2 = - { x \over \sqrt{1-x^2} } </math>

{{#NAVCONTENT:Svar 9|1.1 Svar 9|Lösning 9|1.1 Lösning 9}}</div>


== <b>Övning 10</b> ==
<div class="ovnA">
Lös följande ekvation exakt genom att använda en lämplig substitution:

::<math> {1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}} </math>

{{#NAVCONTENT:Svar 10|1.1 Svar 10|Lösning 10|1.1 Lösning 10}}</div>


== <b>Övning 11</b> ==
<div class="ovnA">
Lös följande 4:e gradsekvation med en lämplig substitution:

::<math> {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 = {3\over2}\,-\,(x^2 + 4\,x + 1) </math>

{{#NAVCONTENT:Svar 11|1.1 Svar 11|Lösning 11|1.1 Lösning 11}}</div>


== <b>Övning 12</b> ==
<div class="ovnA">
Lös ekvationen:

::<math> \sqrt{ x + 2 + \sqrt{2\;x + 7}} = 4 </math>
</div>
<!-- {{#NAVCONTENT:Svar 12|1.1 Svar 12|Lösning 12|1.1 Lösning 12}}
-->


== <b>Övning 13</b> ==
<div class="ovnA">
Undersök om följande ekvation har en lösning. Om ja ange den. Om nej motivera:

::<math> 6\;x = 1 - \sqrt{ 36\;x^2 - {1 \over x} } </math>

{{#NAVCONTENT:Svar 13|1.1 Svar 13|Lösning 13|1.1 Lösning 13}}</div>
<!-- Alternativt:
:<small><small>[[1.1 Svar 13|Svar 13]] | [[1.1 Lösning 13|Lösning 13]]</small></small>


= Facit =

== 1a) ==
<math> \displaystyle 81 </math>

== 1b) ==
Ekvationen saknar lösning.

== 1c) ==
<math> x = 16\, </math>

== 2a) ==
<math> x = 1\, </math>

== 2b) ==
<math> x = 1\, </math>

== 2c) ==
<math> x = 0\, </math>

== 3a) ==
<math> x = 2\, </math>

== 3b) ==
<math> x = 36\, </math>

== 3c) ==
<math> x_1 = 64\, </math>

<math> x_2 = 1\, </math>

== 4a) ==
Ekvationen saknar lösning.

== 4b) ==
Graferna till <math> y_1 = \sqrt{x^2 + 1} </math> och <math> \displaystyle y_2 = x - 3 </math> ritade i samma koordinatsystem:

[[Image: Rotekv_Övn_4bR.jpg]]

Bilden visar att kurvan <math> y_1 = \sqrt{x^2 + 1} </math> (blå) och linjen <math> \displaystyle y_2 = x - 3 </math> (grön) inte skär varandra. Dvs de har ingen gemensam punkt där deras funktionsvärden överensstämmer. 

Detta bekräftar att ekvationen

<math> \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 </math>

saknar lösning vilket visades i lösningen till [[1.1 Lösning 4a|övning 4a]].

== 4c) ==
Graferna till <math> \displaystyle y_1 = x^2 + 1 </math> och <math> \displaystyle y_2 = (x - 3)^2 </math> ritade i samma koordinatsystem:

[[Image: Rotekv_kvadrerad_Övn_4c.jpg]]

Bilden visar att kurvorna <math> \displaystyle y_1 = x^2 + 1 </math> (blå) och <math> \displaystyle y_2 = (x - 3)^2 </math> (grön) skär varandra i en punkt. Detta innebär att ekvationen

<math> \displaystyle x^2 + 1 = (x - 3)^2 </math>

har en lösning som kan avläsas från grafen till ca. <math> \displaystyle x \approx 1,3 </math>. Men denna ekvation uppstår när man kvadrerar den ursprungliga rotekvationen

<math> \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 </math>

Dvs den kvadrerade ekvationen har en lösning som är den ursprungliga rotekvationens falska rot som är exakt <math> \displaystyle x = {4 \over 3} </math> vilket visades i lösningen till [[1.1 Lösning 4a|övning 4a]].

== 5a) ==
Den modifierade ekvationen är:

<math> \sqrt{x^2 + 1} = 3\,x - 3 </math>

== 5b) ==
<math> x = 1,64\, </math>

== 6) ==
Ekvationen

<math> x^4 - 29\;x^2 = -100 </math>

har lösningarna:

<math> x_1 = 5\, </math>

<math> x_2 = -5\, </math>

<math> x_3 = 2\, </math>

<math> x_4 = -2\, </math>

== 7) ==
<math> x = 1\, </math>

== 8) ==
<math> x = 2,52\, </math>

== 9) ==
<math> x = - \; { 2 \over \sqrt{5} } </math>

== 10) ==
<math> x = {1 \over 289} </math>

== 11) ==
<math> x_1\, = 0 </math>

<math> x_2\, = -4 </math>

<math> x_3\, = -2 </math>

== 12) ==
<math> x = 9\, </math>

== 13) ==
<math> x = -{1 \over 4} </math>
 -->







[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.