Visa källkod för Kapitel 4 Integraler

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
{{Not selected tab|[[Matte 3 Kapitel 3 Användning av derivata| <<&nbsp;&nbsp;Förra kapitel]]}}
{{Selected tab|[[Kapitel 4 Integraler|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3 Integ.pdf|Formelsamling Integraler]]}}
{{Not selected tab|[[Matte 3c Planering|Planering Matte 3c]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}

<big>
<br>
F.o.m. detta kapitel finns kursens övningar inte på webben (pga tidsbrist). Därför:

Läs igenom genomgångarna här, men för att göra övningar använd boken <i>Matematik 5000</i>.

== <b><span style="color:#931136">Utdrag ur planeringen:</span></b> ==
<br>
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 30px;"> [[Image: Planering Integraler Rubrik2018_800.jpg]] </div>
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 30px;"> [[Image: Planering Integraler2018_800.jpg]] </div>


== <b><span style="color:#931136">Lektion 29: &nbsp; 4.1 Primitiva funktioner <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 175</small></small></span></b> ==

'''Hittills:''' En funktion är given. Vi söker funktionens derivata. Nu vänder vi på steken och ställer upp det omvända problemet:

'''Nu:''' &nbsp;&nbsp;<div class="border-divblue">Derivatan är given. Istället söker vi den ursprungliga funktionen till den givna derivatan.</div>

'''OBS!&nbsp;&nbsp;Byte av beteckning<span style="color:black">:</span>'''

<math> \; f\,(x) \, </math> är inte längre den ursprungliga funktionen utan en känd derivata av en okänd funktion som vi kallar för <math> \, F\,(x) \, </math>.

<div class="ovnE">
<b><span style="color:#931136">Exempel 1:</span></b>
----
<u>Givet:</u> <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, 2\,x  \, = \, </math> <small> Derivatan av någon funktion </small>

<u>Sökt:</u> <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = 2\,x </math>

<u>Lösning:</u> <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle x\,^2 \, + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

<u>Kontroll:</u> <math> \;\; F\,'(x) = 2\,x + 0 \, = \, 2\,x \, = \, f\,(x) </math>
</div>


<div class="border-divblue"><math>F\,(x) = x\,^2 + C \, </math> kallas för <b><span style="color:#931136">primitiv funktion</span></b> till <math> \, f\,(x) = 2\,x </math>. <math> \, C \, </math> kallas för <b><span style="color:#931136">integrationskonstanten</span></b>.
----
Att hitta en primitiv funktion kallas för <b><span style="color:#931136">integration</span></b>.<math> \qquad\;\;\, </math> <b><span style="color:red">Primitiv funktion = "Anti"derivata</span></b></div>


<table>
<tr>
  <td><div class="ovnE">
<b><span style="color:#931136">Exempel 2:</span></b>
----
<u>Givet:</u> <math> \quad\;\; f\,(x) \, = \, x\,^3 + 5  \, = \, </math> <small> Derivatan av någon funktion </small>

<u>Sökt:</u> <math> \quad\;\;\, F(x) \quad </math> så att <math> \quad F\,'(x) = x\,^3 + 5 </math>

<u>Lösning:</u> <math> \;\; F(x) = \boxed{\textstyle \frac{1}{4} x\,^4 + 5 \, x + C\,} \, , \;\; C={\rm const.} </math>

<u>Kontroll:</u> <math> \;\; F\,'(x) = \frac{4}{4} x\,^3 + 5 + 0 \, = \, x\,^3 + 5 \, = \, f\,(x) </math>
</div></td>
  <td><math> \quad </math></td>
  <td><div class="border-divblue">
<b><span style="color:#931136">Allmän definition:</span></b>
----
<u>Givet:</u> <math> \quad f\,(x) </math>

<u>Sökt:</u> <math> \quad </math> En funktion <math> \;\; F\,(x) \;\; </math> så att<span style="color:black">:</span>

<math> \qquad\qquad\quad\; \boxed{F\,'\,(x) = f\,(x)} </math>

Funktionen <math> \, F\,(x) \, </math>  kallas för <b><span style="color:#931136">primitiv funktion</span></b>.
</div></td>
</tr>
</table>


:<big>&nbsp;&nbsp; Integration är deriveringens <b><span style="color:red">inversa</span></b> (omvända) operation. Därför:</big>

:<big>&nbsp;&nbsp; Integrationsregler för olika funktionstyper följer genom att vända om deriveringsreglerna. T.ex.:</big>

<table>
<tr>
  <td><div class="border-divblue">
<b><span style="color:#931136">Integrationsregeln för en potens:</span></b>
----
Om <math> f(x) = x\,^n \qquad {\rm där} \qquad\, n = {\rm const.} \neq -1</math>

då <math>\; F(x) = \boxed{\frac{x\,^{n+1}}{n+1} \, + \, C\;} \;, C = </math> <b><span style="color:#931136">integrationskonstanten</span></b>

</div></td>
  <td><math> \quad </math></td>
  <td>

<div class="ovnE">
<b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b>
----
För <math> \, f(x) \, = \, x^4 \; </math> blir den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{x^5}{5} + C \, = \, \frac{1}{5} \, x^5 + C</math>
</div>

</td>
</tr>
</table>


:<big>&nbsp;&nbsp; Bevis<span style="color:black">:</span></big> <math> \, F\,'(x) = \displaystyle \frac{(n+1) \, x\,^{n+1-1}}{n+1} \, + \, 0 \, = \, \frac{(n+1) \, x\,^{n}}{n+1} = x\,^n = f\,(x) \qquad </math> <big>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Exempel<span style="color:black">:</span></big> <math> \;\; F\,'(x) \, = \, \displaystyle \frac{5}{5} \, x\,^4 \, + \, 0 \, = \, x\,^4 \, = \, f\,(x) \qquad </math>

:<big>&nbsp;&nbsp; Regeln ovan gäller inte bara för positiva <math> \, n \, </math> utan även för negativa (undantaget <math> -1 </math>) och rationella exponenter.</big>

:<big>&nbsp;&nbsp; Ytterligare regler om primitiva funktioner anges [[Kap_4_Integraler#Integrationsregler_för_exponentialfunktioner|<b><span style="color:blue">senare</span></b>]].</big>


<big><b>Fysikalisk tolkning:</b></big>

<table>
<tr>
  <td><math> \quad </math></td>
  <td>[[Image: 0 Hastighetsmatare_60.jpg]]</td>
  <td> <big><b> <math> \quad </math> Hastighetsmätaren <span style="color:red">deriverar</span>. <math> \;\; </math>


<math> \quad </math> Trippmätaren <span style="color:red">integrerar</span>, dvs<span style="color:black">:</span>


<math> \quad </math> summerar den körda sträckan. </b></big>









</td>
  <td><math> \quad </math> [[Image: 0 Diff vs Integr_h257.jpg]]</td>
</tr>
</table>


<div class="border-divblue">
Integration är den <b><span style="color:red">inversa</span></b> operationen till derivering. <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Primitiv funktion = "Anti"derivata</span></b>

::{|class="wikitable"
!&nbsp;&nbsp;&nbsp;           &nbsp;&nbsp;&nbsp;!!&nbsp;&nbsp;&nbsp;Derivata&nbsp;&nbsp;&nbsp;!!&nbsp;&nbsp;&nbsp;Integral&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|-
|align="left"|&nbsp;&nbsp;Fysikalisk tolkning:&nbsp;&nbsp;||align="center"|&nbsp;&nbsp;Hastighet&nbsp;&nbsp;||align="center"|&nbsp;&nbsp;Sträcka&nbsp;&nbsp;
|-
|align="left"|&nbsp;&nbsp;Geometrisk tolkning:&nbsp;&nbsp;||align="center"|&nbsp;&nbsp;Kurvans lutning&nbsp;&nbsp;||align="center"|&nbsp;&nbsp;Area under kurvan&nbsp;&nbsp;
|-
|align="left"|&nbsp;&nbsp;Matematisk tolkning:&nbsp;&nbsp;||align="center"|&nbsp;&nbsp;Limes av differenskvot&nbsp;&nbsp;||align="center"|&nbsp;&nbsp;Limes av oändlig summa&nbsp;&nbsp;
|}
</div>


<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;"> [[Image: 1 Primitiva funktioner_496.jpg]] </div>


<big>'''Integrationskonstanten <math> \, C \, </math>:'''</big> 

<div class="border-divblue">
Pga <math> \, C={\rm const.} \, </math> finns det alltid oändligt många primitiva funktioner till en given funktion.

För att få <b><span style="color:red">endast en</span></b> primitiv funktion <math> \, F(x) \, </math> ställs vissa krav på <math> \, F(x) \, </math> som kallas för <b><span style="color:red">villkor</span></b>,

i fysiken: <b><span style="color:red">begynnelsevillkor</span></b>. Villkoren används för att bestämma integrationskonstanten <math> \, C \, </math>. <big><big><math> \; {\bf {\color{Red} {\downarrow}}} </math></big></big>
</div>


== <b><span style="color:#931136">Lektion 30: &nbsp; 4.2 Primitiva funktioner med villkor <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 177</small></small></span></b> ==

I fysikaliska tillämpningar är den typiska formen av villkor <i>begynnelsevillkor</i>. Frågan är:

Vad gällde i början, dvs vilket vägmärke passerades vid <math> \, t = 0 \, </math>. Eller: Vad visade trippmätaren vid <math> \, t = 0 \, </math>?

<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;"> [[Image: 2 Primitiva funktioner med villkor_30.jpg]] </div>


Problemet ovan kallas även för en <i>differentialekvation med begynnelsevillkor</i> som kommer att behandlas i Matte 4 och 5.


<big><b><span style="color:#931136">Geometriskt exempel</span></b> på primitiv funktion med en annan typ av villkor<span style="color:black">:</span></big>


<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;"> [[Image: 2a 177_Uppg_3326_30.jpg]] </div>


== <b><span style="color:#931136">Lektion 31: &nbsp; 4.3 Integral som area under kurvan <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 180</small></small></span></b> ==

<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;"> [[Image: 3 Integraler_25.jpg]] </div>


<div class="border-divblue">
<math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> kallas för <b><span style="color:red">integrationsgränser</span></b> och ersätter integrationskonstanten <math> \, C \, </math>.
</div>


<big><b><span style="color:#931136">Fysikaliskt ex. på </span></b> &nbsp; <span style="color:black">"Area under kurvan"&nbsp;:</span> <math> \quad </math> <b><span style="color:#931136">Likformig rörelse med konstant hastighet 60 km/h </span></b></big>

:::[[Image: Integral = Area_70.jpg]]

:::::<math> \text{Area} \; = \; \int\limits_0^4 {\color{Red} {60}} \; dt \; = \; \left[ \, {\color{Red} {60\,t}} \, \right]_0^4 \; = \; 60\cdot4 \, - \, 60\cdot0 \; = \; 240 </math>

<math> \qquad\; </math>I exemplet<span style="color:black">:</span> <math> \quad </math> Kör man med med <math> \, 60 \, </math> km/h i <math> \, 4 \, </math> timmar har man kört <math> \, 60 \cdot 4 = 240 \, </math> km.

<math> \qquad\; </math>Generellt:

<div class="border-divblue">
Integralen över hastigheten &nbsp; = &nbsp; Arean under hastighetskurvan &nbsp; = &nbsp; Sträckan.
</div>


<big><b><span style="color:#931136">Rörelse med variabel hastighet (konstant acceleration):</span></b></big>

<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;"> [[Image: 3a Integral som area under kurvan_30.jpg]] </div>


== <b><span style="color:#931136">Lektion 32: &nbsp; 4.4 Beräkning av integraler <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 185</small></small></span></b> ==


<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;"> [[Image: 4 Integralberakning_20.jpg]] </div>


När en integral har integrationsgränser finns inga villkor med i uppgiften, eftersom de är inbakade i integrationsgränserna, se exemplen ovan.

En sådan integral kallas för <b><span style="color:red">bestämd integral</span></b>. Dess resultat är ett tal.

En integral utan integrationsgränser kallas för <b><span style="color:red">obestämd integral</span></b>.

En obestämd integrals resultat är inte ett tal, utan oändligt många primitiva funktioner.

För att entydigt bestämma endast en primitiv funktion måste ett villkor vara med.

Fattas villkoret måste alltid en integrationskonstant <math> \, C \, </math> adderas.

=== <b><span style="color:#931136">Integrationsregler för exponentialfunktioner</span></b> ===
<table>
<tr>
  <td><div class="border-divblue">
Om <math> \; f(x) \, = \; e\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{e\,^{k\,x}}{k} \, + \, C\;} \; </math> 
----
Om <math> \; f(x) \, = \; a\,^{k\,x} \qquad {\rm där} \qquad\, a, k = {\rm const.} </math>

då är den primitiva funktionen <math> \;\; F(x) \, = \, \boxed{\frac{a\,^{k\,x}}{k\,\ln a} \, + \, C\;} \; </math>
</div>



</td>
  <td><math> \quad </math></td>
  <td>
<div class="ovnE">
<b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b>
----
Om <math> \, f(x) \, = \, e\,^{4x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{e\,^{4x}}{4} + C \, = \, \frac{1}{4} \, e\,^{4x} + C</math>
----
Om <math> \, f(x) \, = \, 2\,^{3x} \; </math> då är den primitiva funktionen:

::<math> \, F(x) \, = \, \frac{2\,^{3x}}{3\,\ln 2} + C \, = \, \frac{1}{3\,\ln 2} \, 2\,^{3x} + C</math></div></td>
</tr>
</table>
== <b><span style="color:#931136">Lektion 33: &nbsp; 4.5 Användning av integraler <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 188-90</small></small></span></b> ==

<big><b><span style="color:#931136">Fysikaliskt exempel</span></b><span style="color:black">:</span></big> <!-- &nbsp; <b>Uppgift 3438 (3c-boken, sid 190):</b> -->

<math> \quad </math> <div class="smallBoxVariant">
En fallskärmshoppare faller fritt utan att öppna fallskärmen med hastigheten<span style="color:black">:</span>

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

där <math> \, t = \, </math> tiden i sek. Hur långt har hopparen fallit när <math> \, v = 40 \, </math> m/s ?
</div>


<b>Fysikalisk tolkning:</b> <math> \; </math>

<table>
<tr>
  <td><math> \quad </math></td>
  <td>Vi ritar grafen till <math> \, v(t) \, </math> och konstaterar att det finns en maximal hastighet 

<math> v_{max} = 80 </math> m/s som hopparen inte kan överskrida. Algebraiskt<span style="color:black">:</span>

<math> v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, </math>,

eftersom <math> \qquad\;\; \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 0 \quad </math> pga <math> \quad 0,88 \, < \, 1 \; </math>.

När <math> v \, \approx \, v_{max} = \, 80 </math>&nbsp; m/s har vi likformig rörelse med konstant hastighet.

Enligt [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ <b><span style="color:blue">Newtons fösta lag</span></b>]&nbsp; "Ett föremål är i vila eller rör sig med konstant

hastighet, om och endast om summan av alla krafter <math> \, = 0 </math>"&nbsp; måste gälla<span style="color:black">:</span>

&nbsp;&nbsp;&nbsp; Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> Gravitation <math> \quad \Rightarrow \quad </math> <div class="smallBox">Fritt fall med luftmotstånd</div>
</td>
  <td> <math> \;\;\; </math> </td>
  <td>[[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt falla.jpg]]</td>
</tr>
</table>
<b>Uppgiften:</b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <u>Givet:</u> <math> \, s'(t) \, = \, v(t) \, = \, 80\,(1 - 0,88\,^t) </math>

<math> \qquad\qquad\qquad\quad\;\;\, </math> Begynnelsevillkor<span style="color:black">:</span> <math> \, s(0) \, = \, 0 </math>

<math> \qquad\qquad\quad </math> <u>Sökt:</u> <math> \;\; s(t_1) \, </math>, där <math> \; v(t_1) \, = \, 40 \, </math> m/s

<b>Lösningen:</b>

<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 30px;"> [[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt fall_30a.jpg]] </div>


<big><b><span style="color:#931136">Ekonomiskt exempel</span></b><span style="color:black">:</span></big> &nbsp; "Marginal"kostnad som (given) derivata av kostnadsfunktionen (sökt integral).

Jfr. med [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_1_Marginalskatt|<b><span style="color:blue">"marginal"skatt</span></b>]] <math> \, = \, </math> (sökt) derivata av skatten som en (given) funktion av lönen.

<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 30px;"> [[Image: 5 189 Uppg 3433 Marginalkostnad_30.jpg]] </div>


== <b><span style="color:#931136">Appendix: &nbsp; Integral som limes av oändlig summa</span></b> ==
<br>
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 50px;"> [[Image: 4 Int_Limes_Summa_30a.jpg]] </div>

</big>






[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.