Visa källkod för 3.5 Övningar till Extremvärdesproblem

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|<-- Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|Genomgång]]}}
{{Selected tab|[[3.5 Övningar till Extremvärdesproblem|Övningar]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}


<Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-5</span></Big></Big></Big>


<div class="ovnE">
== <b><span style="color:#931136">Övning 1</span></b> ==
<table>
<tr>
  <td>I figuren till höger rör sig punkten <math> \, P \, </math> på den räta linje vars ekvation är:

:::::<math> y = -\,{6 \over 5}\,x + 4 </math>

Vilken position av <math> \, P \, (x, \, y) \, </math> ger maximal area till den skuggade rektangeln?

a) &nbsp; Vad är problemets [[3.5_Extremvärdesproblem#Bivillkor_f.C3.B6r_ett_extremv.C3.A4rdesproblem|<strong><span style="color:blue">bivillkor</span></strong>]]?

b) &nbsp; Ställ upp problemets [[3.5_Extremvärdesproblem#M.C3.A5lfunktion_f.C3.B6r_ett_extremv.C3.A4rdesproblem|<strong><span style="color:blue">målfunktion</span></strong>]] som en funktion av endast en variabel.

c) &nbsp; Bestäm koordinaterna till <math> \, P \, </math> så att rektangelns area blir maximal.

d) &nbsp; Beräkna rektangelns maximala area.
</td>
  <td>&nbsp; [[Image: Ovn 351.gif]]
</td>
</tr>
</table>
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|3.5 Svar 1a|Svar 1b|3.5 Svar 1b|Lösning 1b|3.5 Lösning 1b|Svar 1c|3.5 Svar 1c|Lösning 1c|3.5 Lösning 1c|Svar 1d|3.5 Svar 1d|Lösning 1d|3.5 Lösning 1d}}</div>


<div class="ovnE">
== <b><span style="color:#931136">Övning 2</span></b> ==
<table>
<tr>
  <td>En rektangel har omkretsen <math> \, 12 \, {\rm  cm} \, </math>. Maximera rektangelns area.

a) &nbsp; Formulera problemets bivillkor.

b) &nbsp; Ange problemets målfunktion.

c) &nbsp; Bestäm sidorna <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> så att rektangelns area blir maximal.

d) &nbsp; Vad blir rektangelns maximala area?
</td>
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 352.gif]]
</td>
</tr>
</table>
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|3.5 Svar 2a|Lösning 2a|3.5 Lösning 2a|Svar 2b|3.5 Svar 2b|Lösning 2b|3.5 Lösning 2b|Svar 2c|3.5 Svar 2c|Lösning 2c|3.5 Lösning 2c|Svar 2d|3.5 Svar 2d}}</div>


<div class="ovnE">
== <b><span style="color:#931136">Övning 3</span></b> ==
<table>
<tr>
  <td>En rektangels area är <math> \, 25 \, {\rm  cm}^2 \, </math>. Minimera rektangelns omkrets.

a) &nbsp; Formulera problemets bivillkor.

b) &nbsp; Ange problemets målfunktion.

c) &nbsp; Bestäm sidorna <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> så att rektangelns omkrets blir minimal.

d) &nbsp; Vad blir rektangelns minimala omkrets?
</td>
  <td>&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 352.gif]]
</td>
</tr>
</table>
{{#NAVCONTENT:Svar 3a|3.5 Svar 3a|Lösning 3a|3.5 Lösning 3a|Svar 3b|3.5 Svar 3b|Lösning 3b|3.5 Lösning 3b|Svar 3c|3.5 Svar 3c|Lösning 3c|3.5 Lösning 3c|Svar 3d|3.5 Svar 3d}}</div>


<div class="ovnE">
== <b><span style="color:#931136">Övning 4</span></b> ==
<table>
<tr>
  <td>En rätvinklig triangel är inbunden i en parabel enligt figuren:

Parabeln är definierad genom: 

:::<math> y \, = \, 6 \, x \, - \, x^2 \qquad {\rm med} \qquad 0 \, \leq \, x \, \leq \, 6 </math>

Punkten <math> \, P\,(x,\,y) \, </math> rör sig på parabeln.

Vilken position av <math> \, P \, </math> ger triangeln största möjliga arean <math> \, A \, </math>?

a) &nbsp; Ange problemets bivillkor. 

b) &nbsp; Ställ upp problemets målfunktion som en funktion <math> \, A(x) \, </math>.

c) &nbsp; Bestäm koordinaterna till <math> \, P \, </math> så att triangelns area blir maximal. 

d) &nbsp; Beräkna triangelns maximala area.
</td>
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 354.jpg]]

</td>
</tr>
</table>

{{#NAVCONTENT:Svar 4a|3.5 Svar 4a|Svar 4b|3.5 Svar 4b|Lösning 4b|3.5 Lösning 4b|Svar 4c|3.5 Svar 4c|Lösning 4c|3.5 Lösning 4c|Svar 4d|3.5 Svar 4d|Lösning 4d|3.5 Lösning 4d}}</div>


<div class="ovnE">
== <b><span style="color:#931136">Övning 5</span></b> ==
<table>
<tr>
  <td>En fårherde vill samla sina får under en sommarnatt vid en mur i ett rektan- 

gulärt område som hon/han avgränsar med hjälp av ett rep på <math> \, 9 \; {\rm m} \, </math> (rött)

och pinnar i marken enligt figuren.

Hur ska fårherden välja stängselns mått för att få den största möjliga ytan för

sina får?

a) &nbsp; Formulera problemets målfunktion <math> \, A(x) \, </math>.

b) &nbsp; Ange målfunktionens definitionsmängd.

c) &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att stängselns area blir maximal. 

d) &nbsp; Beräkna stängselns maximala area.

e) &nbsp; Har problemet ett bivillkor? Om ja, ange det.

f) &nbsp; Kan du intuitivt komma på andra geometriska figurer än rektangeln som

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; skulle kunna maximera stängselns area bättre?

</td>
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 355_80.jpg]]

</td>
</tr>
</table>

{{#NAVCONTENT:Svar 5a|3.5 Svar 5a|Lösning 5a|3.5 Lösning 5a|Svar 5b|3.5 Svar 5b|Svar 5c|3.5 Svar 5c|Lösning 5c|3.5 Lösning 5c|Svar 5d|3.5 Svar 5d|Lösning 5d|3.5 Lösning 5d|Svar 5e|3.5 Svar 5e|Lösning 5e|3.5 Lösning 5e|Svar 5f|3.5 Svar 5f}}</div>




<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 6-7</span></Big></Big></Big>


<div class="ovnC">
== <b><span style="color:#931136">Övning 6</span></b> ==
<table>
<tr>
  <td>Du ska bygga en öppen låda av en kvadratisk kartong på <math> \, 10 \times 10 \; {\rm dm} \, </math>.

Det gör du genom att skära ut små kvadrater av längden <math> \, x \, </math> från karton-

gens fyra hörn enligt figuren.

Hur ska du välja <math> \, x \, </math> för att få den största möjliga volymen <math> \, V \, </math> för din

öppna låda?

a) &nbsp; Inför en ny beteckning och ange problemets bivillkor, se [[3.5_Lösning_5e|<strong><span style="color:blue">Lösning 5 e)</span></strong>]].

b) &nbsp; Ställ upp problemets målfunktion <math> \, V(x) \, </math>.

c) &nbsp; Ange målfunktionens definitionsmängd.

d) &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att lådans volym <math> \, V(x) \, </math> blir maximal. 

e) &nbsp; Beräkna lådans maximala volym.

f) &nbsp; Vilka mått har lådan med maximal volym?

Ange dina svar med två decimaler.
</td>
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 356 Oppen lada_1_80.jpg]]

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 356 Oppen lada_2_80.jpg]]
</td>
</tr>
</table>

{{#NAVCONTENT:Svar 6a|3.5 Svar 6a|Lösning 6a|3.5 Lösning 6a|Svar 6b|3.5 Svar 6b|Lösning 6b|3.5 Lösning 6b|Svar 6c|3.5 Svar 6c|Lösning 6c|3.5 Lösning 6c|Svar 6d|3.5 Svar 6d|Lösning 6d|3.5 Lösning 6d|Svar 6e|3.5 Svar 6e|Lösning 6e|3.5 Lösning 6e|Svar 6f|3.5 Svar 6f|Lösning 6f|3.5 Lösning 6f}}</div>


<div class="ovnC">
== <b><span style="color:#931136">Övning 7</span></b> ==
SJ har <math> \, 20\,000 \, </math> passagerare per månad på en viss bansträcka med ett biljettpris på <math> \, 200 \, </math> kr.

En marknadsundersökning visar att varje höjning av biljettpriset med <math> \, 1 \, </math> kr skulle medföra en förlust av <math> \, 80 \, </math> passagerare per månad.

Vilken biljettprishöjning kommer att maximera intäkten per månad?

a) &nbsp; Ange problemets [[3.5_Extremvärdesproblem#Bivillkor_f.C3.B6r_ett_extremv.C3.A4rdesproblem|<strong><span style="color:blue">bivillkor</span></strong>]] om: 

:::<math> x \, = \, {\rm Den\;planerade\;prishöjningen\;i\;kr.} </math>

:::<math> y \, = \, {\rm Antalet\;passagerare\;per\;månad\;efter\;en\;sådan\;prishöjning.} </math>

b) &nbsp; Ställ upp problemets [[3.5_Extremvärdesproblem#M.C3.A5lfunktion_f.C3.B6r_ett_extremv.C3.A4rdesproblem|<strong><span style="color:blue">målfunktion</span></strong>]] <math> \, I(x) \, </math> för SJ:s intäkt per månad.

c) &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att intäkten <math> \, I(x) \, </math> blir så stor som möjligt.

d) &nbsp; Beräkna den maximala intäkten efter en biljettprishöjning på <math> \, x \, </math> kr.

e) &nbsp; För vilka prishöjningar kommer det inte längre att löna sig att höja biljettpriset?
{{#NAVCONTENT:Svar 7a|3.5 Svar 7a|Lösning 7a|3.5 Lösning 7a|Svar 7b|3.5 Svar 7b|Lösning 7b|3.5 Lösning 7b|Svar 7c|3.5 Svar 7c|Lösning 7c|3.5 Lösning 7c|Svar 7d|3.5 Svar 7d|Lösning 7d|3.5 Lösning 7d|Svar 7e|3.5 Svar 7e|Lösning 7e|3.5 Lösning 7e}}</div>




<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 8-9</span></Big></Big></Big>


<div class="ovnA">
== <b><span style="color:#931136">Övning 8</span></b> ==
<table>
<tr>
  <td>En cylinder är placerad inuti en kon enligt figuren. Kons mått är givna: 

:::<math> R \, = \, {\rm Radien\;till\;kons\;bascirkel\;} \, = \, 15 \; {\rm cm} </math>

:::<math> H \, = \, {\rm Kons\;höjd\;} \, = \, 30 \; {\rm cm} </math>

Vilka mått på cylindern maximerar dess volym <math> \, V \, </math>?

a) &nbsp; Formulera problemets bivillkor. Använd den röda triangeln i figuren. 

b) &nbsp; Ställ upp problemets målfunktion <math> \, V(r) \, </math> där <math> r = </math> cylinderns radie.

c) &nbsp; Bestäm cylinderns radie <math> \, r \, </math> och höjd <math> \, h \, </math> så att volymen blir maximal.

d) &nbsp; Beräkna cylinderns maximala volym.

e) &nbsp; Vilket förhållande råder mellan cylinderns radie <math> \, r \, </math> och dess höjd <math> \, h \, </math>

:när volymen maximeras?
</td>
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 358_140.jpg]]
</td>
</tr>
</table>
{{#NAVCONTENT:Svar 8a|3.5 Svar 8a|Lösning 8a|3.5 Lösning 8a|Svar 8b|3.5 Svar 8b|Lösning 8b|3.5 Lösning 8b|Svar 8c|3.5 Svar 8c|Lösning 8c|3.5 Lösning 8c|Svar 8d|3.5 Svar 8d|Lösning 8d|3.5 Lösning 8d|Svar 8e|3.5 Svar 8e|Lösning 8e|3.5 Lösning 8e}}</div>


<div class="ovnA">
== <b><span style="color:#931136">Övning 9</span></b> ==
<table>
<tr>
  <td>För att producera en cylinderformad konservburk har man en viss mängd <math> \, A \, </math>

plåt till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea <math> \, = \, A \; {\rm cm}^2 \, </math>.

I genomgången, [[3.5_Extremvärdesproblem#Exempel_3_Konservburk|<strong><span style="color:blue">Exempel 3 Konservburk</span></strong>]], löstes denna uppgift för <math> \, A = 500</math> .

Här ska du lösa den generellt för en given konstant <math> \, A \, </math>.

Vilka mått på konserven maximerar volymen?

a) &nbsp; Formulera problemets bivillkor.

b) &nbsp; Ställ upp problemets målfunktion.

c) &nbsp; Bestäm cylinderns radie så att burkens volym blir maximal.

d) &nbsp; Bestäm cylinderns höjd när burkens volym maximeras och visa:

:För en cylinder med maximal volym gäller för radien <math> \, r \, </math> och höjden <math> \, h \, </math>:
  </td>
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Konservburk_40a.jpg]]


</td>
</tr>
</table>
:::::::::<math> 2 \; r \; = \; h </math>

{{#NAVCONTENT:Svar 9a|3.5 Svar 9a|Lösning 9a|3.5 Lösning 9a|Svar 9b|3.5 Svar 9b|Lösning 9b|3.5 Lösning 9b|Svar 9c|3.5 Svar 9c|Lösning 9c|3.5 Lösning 9c|Svar 9d|3.5 Svar 9d|Lösning 9d|3.5 Lösning 9d}}</div>








[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.