Visa källkod för 2.4 Lösning 7

Tangenten är en rät linje. Räta linjens ekvation i <math>\,k</math>-form är:

::<math> y \, = \, k\,x \, + \, m </math>

Tangenten till kurvan &nbsp;&nbsp; <math> y = f(x) = x^2 + 5 x - 1\, </math> &nbsp;&nbsp; i &nbsp;&nbsp; <math> x = -1 </math> &nbsp;&nbsp; har samma lutning <math>\,k</math> som själva kurvan i denna punkt. Kurvans lutning i &nbsp; <math> x = -1 </math> &nbsp; är &nbsp; <math> f\,'(-1) </math>&nbsp;:

::<math> k \, = \, f\,'(-1) </math>

Därför bildar vi derivatan <math> f\,'(x) </math> och beräknar <math> f\,'(-1) </math>&nbsp;:

:<math> f(x) \,=\, x^2 + 5 x - 1\, </math>

:<math> f\,'(x) \,=\, 2\,x + 5 </math>

:<math> f\,'(-1) \,=\, 2 \cdot (-1) + 5 \,=\, -2 + 5 \,=\, 3 </math>

Således är &nbsp; <math> k = 3\, </math> &nbsp; och tangentens ekvation blir:

::<math> y \, = \, 3\,x \, + \, m </math>

För att få fram <math> m\, </math> beräknar vi beröringspunktens koordinater:

::<math> x = -1 </math>
::<math> y = f(-1) = (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 1 = 1 - 5 - 1 = -5 </math>

Eftersom beröringspunkten ligger på tangenten sätter vi in beröringspunktens koordinater i tangentens ekvation:

:<math>\begin{array}{rcl}  y & = & 3\,x \, + \, m           \\
                          -5 & = & 3 \cdot (-1) \, + \, m   \\
                          -5 & = & -3 \, + \, m             \\
                      -5 + 3 & = & m                        \\
                         - 2 & = & m
       \end{array}</math>

Tangentens ekvation:

::<math> y \, = \, 3\,x \, - \, 2 </math>