Rotekvationer och högre gradsekvationer - Versionshistorik

Taifun den 17 maj 2024 kl. 08.06

2024-05-17T08:06:14Z

Taifun den 17 maj 2024 kl. 08.03

2024-05-17T08:03:47Z

Taifun den 17 maj 2024 kl. 08.02

2024-05-17T08:02:18Z

Taifun den 17 maj 2024 kl. 07.53

2024-05-17T07:53:16Z

Taifun den 17 maj 2024 kl. 07.49

2024-05-17T07:49:52Z

Taifun den 17 maj 2024 kl. 07.45

2024-05-17T07:45:36Z

Taifun den 17 maj 2024 kl. 07.42

2024-05-17T07:42:13Z

Taifun den 17 maj 2024 kl. 07.34

2024-05-17T07:34:36Z

Taifun den 17 maj 2024 kl. 07.32

2024-05-17T07:32:51Z

Taifun den 17 maj 2024 kl. 07.31

2024-05-17T07:31:20Z

@@ Rad 28: / Rad 28: @@
 En rotekvation kan ha inga, en eller flera falska rötter. Vilka av de erhållna lösningarna är falska, kan man bara få reda på om man verifierar dem genom prövning, dvs man sätter in dem i den ursprungliga rotekvationen och prövar vilka som uppfyller rotekvationen. De falska rötterna är inte lösningar till rotekvationen utan till den kvadredade ekvationen och måste därför förkastas. Fenomenet med falska rötter beror på att kvadrering som är oundviklig för att eliminera <math> {\color{White}{y=}}\!\!\!\!\!\!\!\!\sqrt{\color{White}x} </math> genererar falska rötter. Men kvadrering är en operation vars inversa (omvända) operation (rotdragning) inte är entydig: 2 kvarderat ger 4, men även -2 kvarderat ger 4.
-== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ==
+== <b><span style="color:#931136">Lösning av rotekvationer</span></b> ==
 <div class="ovnE">
 Första steget i att lösa en rotekvation är att skriva om den till en 2:a gradsekvation. För att göra det isolerar vi först roten på en sida av ekvationen genom att subtrahera 1 från båda leden. Sedan kvadrerar vi båda leden för att eliminera roten, för kvadrering är ju rotdragningens inversa operation. De tar ut varandra.

@@ Rad 20: / Rad 20: @@
 Ekvationer där obekanten <math>x</math> förekommer under roten kallas för <b><span style="color:red">rotekvationer</span></b>. Exempel:
-:::<math> \sqrt{{\color{White}{[}}\!6\,x + 10} \, + \, 1 \, = \, x </math>
+:::::::::<math> \sqrt{{\color{White}{[}}\!6\,x + 10} \, + \, 1 \, = \, x </math>
 De är varken linjära eller kvadratiska. Med ''rot'' menar vi i hela detta avsnitt 2:a dvs kvadratroten. Vi kommer att lösa rotekvationer genom att återföra dem till 2:a gradsekvationer, precis som man återför 2:a gradsekvationer till 1:a gradsekvationer. Man bryter ned den nya, okända typen med stor svårighetsgrad till en lägre, redan känd typ med mindre svårighetsgrad.

@@ Rad 18: / Rad 18: @@
 [[Image:roten_av_x.jpg]]
-Nu ska vi komplettera våra kunskaper om ekvationslösning med ekvationer av en helt ny typ, rotekvationer:
+Ekvationer där obekanten <math>x</math> förekommer under roten kallas för <b><span style="color:red">rotekvationer</span></b>. Exempel:
 :::<math> \sqrt{{\color{White}{[}}\!6\,x + 10} \, + \, 1 \, = \, x </math>
-Sådana ekvationer kallas <b><span style="color:red">rotekvationer</span></b>. De är varken linjära eller kvadratiska. Med ''rot'' menar vi i hela detta avsnitt 2:a dvs kvadratroten. Vi kommer att lösa rotekvationer genom att återföra dem till 2:a gradsekvationer, precis som man återför 2:a gradsekvationer till 1:a gradsekvationer. Man bryter ned den nya, okända typen med stor svårighetsgrad till en lägre, redan känd typ med mindre svårighetsgrad.
+De är varken linjära eller kvadratiska. Med ''rot'' menar vi i hela detta avsnitt 2:a dvs kvadratroten. Vi kommer att lösa rotekvationer genom att återföra dem till 2:a gradsekvationer, precis som man återför 2:a gradsekvationer till 1:a gradsekvationer. Man bryter ned den nya, okända typen med stor svårighetsgrad till en lägre, redan känd typ med mindre svårighetsgrad.
 Förekommer en ekvations obekant <math>x</math> under rotsymbolen <math> {\color{White}{y=}}\!\!\!\!\!\!\!\!\sqrt{\color{White}x} </math> pratar man om en <b><span style="color:red">rotekvation</span></b>. Sådana ekvationer löser man genom att isolera roten (som en faktor) på en sida av ekvationen och kvadrera sedan båda leden för att eliminera roten. Men här uppstår ett fenomen som är typiskt för rotekvationer: Kvadreringen kan generera s.k. <b><span style="color:red">falska rötter</span></b> dvs falska lösningar och tillföra dem till ekvationen.

@@ Rad 27: / Rad 27: @@
 En rotekvation kan ha inga, en eller flera falska rötter. Vilka av de erhållna lösningarna är falska, kan man bara få reda på om man verifierar dem genom prövning, dvs man sätter in dem i den ursprungliga rotekvationen och prövar vilka som uppfyller rotekvationen. De falska rötterna är inte lösningar till rotekvationen utan till den kvadredade ekvationen och måste därför förkastas. Fenomenet med falska rötter beror på att kvadrering som är oundviklig för att eliminera <math> {\color{White}{y=}}\!\!\!\!\!\!\!\!\sqrt{\color{White}x} </math> genererar falska rötter. Men kvadrering är en operation vars inversa (omvända) operation (rotdragning) inte är entydig: 2 kvarderat ger 4, men även -2 kvarderat ger 4.
 == <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ==
-<div class="ovnE"> <!-- exempel1 -->
+<div class="ovnE">
 Första steget i att lösa en rotekvation är att skriva om den till en 2:a gradsekvation. För att göra det isolerar vi först roten på en sida av ekvationen genom att subtrahera 1 från båda leden. Sedan kvadrerar vi båda leden för att eliminera roten, för kvadrering är ju rotdragningens inversa operation. De tar ut varandra.
@@ Rad 55: / Rad 54: @@
 Denna ekvation fick vi när vi kvadrerade rotekvationen ovan. Den ursprungliga rotekvationens lösningar är en del av denna kvadrerade ekvationen. Det kan däremot finnas lösningar här som inte löser rotekvationen, s.k. ''falska rötter''.
-</div> <!-- exempel1 -->
+</div>
 Ovanstående exempel, rotekvationen <math> \sqrt{{\color{White}{[}}\!6\,x + 10} + 1 = x </math> demonstrerar hur man kan lösa rotekvationer och identifiera samt eliminera falska rötter. I exemplet uppstår falska rötter så här:
@@ Rad 72: / Rad 71: @@
 == <b><span style="color:#931136">Falska rötter</span></b> ==
-<div class="ovnC"> <!-- exempel2 -->
+<div class="ovnC">
 Andra steget i att lösa rotekvationen
@@ Rad 108: / Rad 107: @@
 Rotekvationens lösning kan avläsas från grafernas skärningspunkt vid <math> x = 9\, </math>.
-</div> <!-- exempel2 -->
+</div>
@@ Rad 163: / Rad 162: @@
 = <b><span style="color:#931136">4:e gradsekvationer med jämna x-potenser</span></b> =
 == Exempel ==
-<div class="ovnE"> <!-- exempel2 -->
+<div class="ovnE">
 ::::::<math> x^4 - 6\,x^2 - 27 = 0 </math>
@@ Rad 216: / Rad 215: @@
 :[[Image: 4egradsfkt.jpg]]
-</div> <!-- exempel2 -->
+</div>

@@ Rad 161: / Rad 161: @@
-== <b><span style="color:#931136">4:e gradsekvationer med jämna x-potenser</span></b> ==
+= <b><span style="color:#931136">4:e gradsekvationer med jämna x-potenser</span></b> =
-=== Exempel ===
+== Exempel ==
-<big>
 <div class="ovnE"> <!-- exempel2 -->
@@ Rad 217: / Rad 216: @@
 :[[Image: 4egradsfkt.jpg]]
 </div> <!-- exempel2 -->
@@ Rad 227: / Rad 225: @@
-</big>
 [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2024 <b><span style="color:blue">Lieta AB</span></b>. All Rights Reserved.

@@ Rad 159: / Rad 159: @@
 Vi ska nu ta upp en speciell typ av 4:e gradsekvation som går att återföra till en 2:a gradsekvation. Denna speciella typ utmärker sig genom att obekanten <math> x </math> endast förekommer i potenser med jämna exponenter dvs med exponenterna 4, 2 och 0. Dvs ekvationen saknar helt och hållet termer med udda x-potenser.
 </big>
 == <b><span style="color:#931136">4:e gradsekvationer med jämna x-potenser</span></b> ==
 <big>
-<div class="ovnA"> <!-- exempel2 -->
+<div class="ovnE"> <!-- exempel2 -->
-==== Exempel ====
 ::::::<math> x^4 - 6\,x^2 - 27 = 0 </math>

@@ Rad 116: / Rad 116: @@
 == <b><span style="color:#931136">Rotbegreppet</span></b> ==
-<big>
+<div class="ovnA">
 Vill vi t.ex. lösa följande 2:a gradsekvationen måste vi dra roten ur båda leden:
@@ Rad 148: / Rad 148: @@
 ----
 Sammanhanget avgör vilken betydelse som gäller just i den aktuella kontexten. När vi nu i fortsättningen pratar om en rotekvations falska rötter menar vi falska lösningar.
-</big>
+</div>