3.5 Lösning 8c - Versionshistorik

Taifun den 3 februari 2015 kl. 21.48

2015-02-03T21:48:57Z

Taifun den 3 februari 2015 kl. 21.44

2015-02-03T21:44:27Z

Taifun den 3 februari 2015 kl. 21.42

2015-02-03T21:42:26Z

Taifun den 3 februari 2015 kl. 21.34

2015-02-03T21:34:21Z

Taifun den 3 februari 2015 kl. 21.32

2015-02-03T21:32:13Z

Taifun den 3 februari 2015 kl. 21.29

2015-02-03T21:29:29Z

Taifun den 3 februari 2015 kl. 21.27

2015-02-03T21:27:27Z

Taifun: Skapade sidan med 'Vi deriverar målfunktionen: :: $V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3$ :: $V'(r) \, = \, 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2$ :: $V''(r) \, = \, -\,6\,\p...'$

2015-02-03T21:24:09Z

Skapade sidan med 'Vi deriverar målfunktionen: ::<math> V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 </math> ::<math> V'(r) \, = \, 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 </math> ::<math> V''(r) \, = \, -\,6\,\p...'

Ny sida

Vi deriverar målfunktionen:

::<math> V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 </math>

::<math> V'(r) \, = \, 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 </math>

::<math> V''(r) \, = \, -\,6\,\pi\,r </math>

Derivatans nollställe:

::<math>\begin{array}{rcrcl} V'(r) & = & 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 & = & 0 \\
& & 250 & = & 3\,\pi\,r^2 \\
& & {250 \over 3\,\pi} & = & r^2 \\
& & r_{1, 2} & = & \pm\,\sqrt{250 \over 3\,\pi} \\
& & r & = & 5,15
\end{array}</math>

<math> \, r_2 = -5,15 \, </math> förkastas, för radien kan inte bli negativ: <math> \, r \, > \, 0 \, </math> .

Andraderivatans tecken för <math> \, r = 5,15 \, </math>:

<math> V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot 5,15 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, </math> har ett lokalt maximum för <math> \, r = 5,15 \, </math>.

För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in <math> \, r = 5,15 \, </math> i bivillkoret från a):

<math> h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\cdot 5,15} \, - \, 5,15 \, = \, 10,30 </math>

Cylinderns volym blir maximal för radien <math> \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; </math> och höjden <math> \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; </math>.

@@ Rad 23: / Rad 23: @@
 För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in <math> \, r = 10 \, </math> i bivillkoret från a)<span style="color:black">:</span>
-<math> h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\cdot 5,15} \, - \, 5,15  \, = \, 10,30 </math>
+<math> h \, = \, - \, 2\,r \, + \, 30 \, = \, - \, 2 \cdot 10 \, + \, 30 \, = \, 10   </math>
-Cylinderns volym blir maximal för radien <math> \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; </math> och höjden <math> \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; </math>.
+Cylinderns volym blir maximal för radien <math> \; r = 10 \, {\rm cm} \; </math> och höjden <math> \; h = 10 \, {\rm cm} \; </math>.

@@ Rad 19: / Rad 19: @@
 För <math> \, r_2 = 10 \, </math> ger andraderivatans tecken<span style="color:black">:</span>
-<math> V''(10) = 60\,\pi \, - \, 12\,\pi\cdot 10 = +++\, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, </math> har ett lokalt maximum för <math> \, r = 5,15 \, </math>.
+<math> V''(10) = 60\,\pi \, - \, 12\,\pi\cdot 10 = 60\,\pi \, - \, 120\,\pi \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, </math> har ett lokalt maximum för <math> \, r = 10 \, </math>.
-För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in <math> \, r = 5,15 \, </math> i bivillkoret från a)<span style="color:black">:</span>
+För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in <math> \, r = 10 \, </math> i bivillkoret från a)<span style="color:black">:</span>
 <math> h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\cdot 5,15} \, - \, 5,15  \, = \, 10,30 </math>
 Cylinderns volym blir maximal för radien <math> \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; </math> och höjden <math> \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; </math>.

@@ Rad 15: / Rad 15: @@
          \end{array}</math>
-<math> \, r_2 = -5,15 \, </math> förkastas, för radien kan inte bli negativ<span style="color:black">:</span> <math> \, r \, > \, 0 \, </math> .
+För <math> \, r_1 = 0 \, </math> blir volymen <math> \, V(0) = 0 \, </math> och därmed minimal.
-Andraderivatans tecken för <math> \, r = 5,15 \, </math><span style="color:black">:</span>
+För <math> \, r_2 = 10 \, </math> ger andraderivatans tecken<span style="color:black">:</span>
-<math> V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot 5,15 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, </math> har ett lokalt maximum för <math> \, r = 5,15 \, </math>.
+<math> V''(10) = 60\,\pi \, - \, 12\,\pi\cdot 10 = +++\, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, </math> har ett lokalt maximum för <math> \, r = 5,15 \, </math>.
 För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in <math> \, r = 5,15 \, </math> i bivillkoret från a)<span style="color:black">:</span>

@@ Rad 11: / Rad 11: @@
 ::<math>\begin{array}{rcrcl}  V'(r) & = & 60\,\pi\,r \, - \, 6\,\pi\,r^2 & = & 0    \\
                                      &   & 6\,\pi\,r \cdot (10 \, - \, r) & = & 0    \\
-                                     &   &      {250 \over 3\,\pi} & = & r^2    \\
+                                     &   &                            r_1 & = & 0    \\
-                                     &   &                r_{1, 2} & = & \pm\,\sqrt{250 \over 3\,\pi} \\
+                                     &   &                            r_2 & = & 10
-                                    &   &                       r & = & 5,15
          \end{array}</math>

@@ Rad 9: / Rad 9: @@
 Derivatans nollställe:
-::<math>\begin{array}{rcrcl}  V'(r) & = & 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 & = & 0      \\
+::<math>\begin{array}{rcrcl}  V'(r) & = & 60\,\pi\,r \, - \, 6\,\pi\,r^2 & = & 0      \\
                                      &   &                     250 & = & 3\,\pi\,r^2 \\
                                      &   &      {250 \over 3\,\pi} & = & r^2    \\

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
 Vi deriverar målfunktionen:
-::<math> V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 </math>
+::<math> V(r) \, = \, 30\,\pi\,r^2 \, - 2\,\pi\,r^3 </math>
-::<math> V'(r) \, = \, 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 </math>
+::<math> V'(r) \, = \, 60\,\pi\,r \, - \, 6\,\pi\,r^2 </math>
-::<math> V''(r) \, = \, -\,6\,\pi\,r </math>
+::<math> V''(r) \, = \, 60\,\pi \, - \, 12\,\pi\,r </math>
 Derivatans nollställe: