3.4 Lösning 6b - Versionshistorik

Taifun den 28 maj 2016 kl. 12.23

2016-05-28T12:23:26Z

Taifun den 28 maj 2016 kl. 12.22

2016-05-28T12:22:15Z

Taifun den 28 maj 2016 kl. 11.48

2016-05-28T11:48:12Z

Taifun den 28 maj 2016 kl. 11.47

2016-05-28T11:47:22Z

Taifun den 28 maj 2016 kl. 09.11

2016-05-28T09:11:33Z

Taifun den 14 februari 2016 kl. 12.59

2016-02-14T12:59:30Z

Taifun den 23 januari 2015 kl. 15.35

2015-01-23T15:35:37Z

Taifun den 23 januari 2015 kl. 15.34

2015-01-23T15:34:22Z

Taifun den 23 januari 2015 kl. 15.33

2015-01-23T15:33:43Z

Taifun: Skapade sidan med '::: $\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \\ f'(x) & = & 3\,x^2 - 24\,x + 45 \\ f''(x) & =...'$

2015-01-23T15:20:23Z

Skapade sidan med ':::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \\ f'(x) & = & 3\,x^2 - 24\,x + 45 \\ f''(x) & =...'

Ny sida

:::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \\
f'(x) & = & 3\,x^2 - 24\,x + 45 \\
f''(x) & = & 6\,x - 24
\end{array}</math>

'''Steg 2'''   Sätt derivatan till <math> \, 0 </math>:

:::<math>\begin{array}{rcl} 3\,x^2 - 24\,x + 45 & = & 0
\end{array}</math>

'''Steg 3'''   Lös ekvationen som uppstår (beräkna derivatans nollställen):

:::<math>\begin{array}{rcl} 3\,x^2 - 24\,x + 45 & = & 0 \\
x^2 - 8\,x + 15 & = & 0 \\
\end{array}</math>

:::<math> \begin{array}{rcl} {\rm Vieta:} \quad x_1 \cdot x_2 & = & 15 \\
x_1 + x_2 & = & -(-8) = 8 \\
&\Downarrow& \\
x_1 & = & 3 \\
x_2 & = & 5
\end{array}</math>

::Dessa är <math> x</math>-koordinater till eventuella lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.

'''Steg 4'''   Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan<span style="color:black">:</span>

<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_1 = 3} \, </math><span style="color:black">:</span>

:::<math> f''(x) \, = \, 6\,x - 24 </math>

:::<math> f''(3) \, = \, 6\cdot 3 - 24 = -6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math>

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
 ::<math>\begin{array}{rcl}  f(x) & = & x^4\, (1 \, - \, x) \, = \, x^4 \, - \, x^5     \\
                              f'(x) & = & 4\,x^3 \, - \, 5\,x^4  \\
           \end{array}</math>

@@ Rad 13: / Rad 13: @@
             \end{array}</math>
-::<math> \Rightarrow \; f(x) \; {\rm har\;en\;kritisk\;punkt\;till:} \; x_2 = 0,8 \; {\rm .}</math>
+::<math> \Rightarrow \; f(x) \; {\rm har\;en\;kritisk\;punkt\;till:} \;\; x_2 = 0,8 \; {\rm .}</math>
 ::<math> f''(x) \, = \, 12\,x^2 - 20\,x^3 </math>

@@ Rad 12: / Rad 12: @@
                                                 x_2 & = & 0,8
             \end{array}</math>
 ::<math> \Rightarrow \; f(x) \; {\rm har\;en\;kritisk\;punkt\;till:} \; x_2 = 0,8 \; {\rm .}</math>

← Äldre version		Versionen från 28 maj 2016 kl. 11.47
Rad 18:		Rad 18:

	:::<math> \Longrightarrow \quad x_2 = 0,8 \quad {\rm är\;en\;maximipunkt.} </math>		:::<math> \Longrightarrow \quad x_2 = 0,8 \quad {\rm är\;en\;maximipunkt.} </math>
		+
		+	::<math> \Rightarrow \; f(x) \; {\rm har\;en\;kritisk\;punkt\;till:} \; x_2 = 0,8 \; {\rm .}</math>
		+
		+	::<math> f''(x) \, = \, 12\,x^2 - 20\,x^3 </math>
		+
		+	::<math> f''(0,8) \, = \, 12 \cdot 0,8^2 - 20 \cdot 0,8^3 = -2,56 < 0 </math>
		+
		+	::<math> \Rightarrow \quad x_2 = 0,8 \quad {\rm är\;en\;maximipunkt} {\rm .}</math>.

← Äldre version		Versionen från 28 maj 2016 kl. 09.11
Rad 17:		Rad 17:
	::<math> f''(0,8) \, = \, 12 \cdot 0,8^2 - 20 \cdot 0,8^3 = -2,56 < 0 </math>		::<math> f''(0,8) \, = \, 12 \cdot 0,8^2 - 20 \cdot 0,8^3 = -2,56 < 0 </math>

−	:::<math> \Longrightarrow \quad x_2 = 0,8 \quad {\rm ~~lokalt~~\;~~maximum~~.} </math>	+	:::<math> \Longrightarrow \quad x_2 = 0,8 \quad {\rm är\;en\;maximipunkt.} </math>

← Äldre version		Versionen från 14 februari 2016 kl. 12.59
Rad 15:		Rad 15:
	::<math> f''(x) \, = \, 12\,x^2 - 20\,x^3 </math>		::<math> f''(x) \, = \, 12\,x^2 - 20\,x^3 </math>

−	::<math> f''(0,8) \, = \, 12 \cdot 0,8^2 - 20 \cdot 0,8^3 = -2,56 < 0 ~~\quad~~ \Longrightarrow \quad x_2 = 0,8 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math>	+	::<math> f''(0,8) \, = \, 12 \cdot 0,8^2 - 20 \cdot 0,8^3 = -2,56 < 0 </math>
		+
		+	:::<math> \Longrightarrow \quad x_2 = 0,8 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math>

@@ Rad 9: / Rad 9: @@
 \,- \, 5\,x_2  & = & 0    \\
 & = & 5\,x_2 \\
-                                       {4 \over 5} & = & x_2    \\
+/ 5 & = & x_2    \\
                                                 x_2 & = & 0,8
             \end{array}</math>

← Äldre version		Versionen från 23 januari 2015 kl. 15.34
Rad 1:		Rad 1:
−	~~::<math> \, f(x) \, = \, x^4\, (1 \, - \, x) \, = \, x^4 \, - \, x^5 </math>~~
−
−	~~::<math> \, f\,'\,(x) \, = \, 4\,x^3 \, - \, 5\,x^4 \, </math>~~
−
−
−
−
	::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^4\, (1 \, - \, x) \, = \, x^4 \, - \, x^5 \\		::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^4\, (1 \, - \, x) \, = \, x^4 \, - \, x^5 \\
	f'(x) & = & 4\,x^3 \, - \, 5\,x^4 \\		f'(x) & = & 4\,x^3 \, - \, 5\,x^4 \\

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-:::<math>\begin{array}{rcl}  f(x) & = & x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44     \\
+::<math> \, f(x) \, = \, x^4\, (1 \, - \, x) \, = \, x^4 \, - \, x^5 </math>
-                            f'(x) & = & 3\,x^2 - 24\,x + 45  \\
-                           f''(x) & = & 6\,x - 24
-         \end{array}</math>
-'''Steg 2'''&nbsp;&nbsp; Sätt derivatan till <math> \, 0 </math>:
+::<math> \, f\,'\,(x) \, = \, 4\,x^3 \, - \, 5\,x^4 \, </math>
-:::<math> \begin{array}{rcl} {\rm Vieta:} \quad x_1 \cdot x_2 &     =    & 15         \\
+::<math>\begin{array}{rcl}  f(x) & = & x^4\, (1 \, - \, x) \, = \, x^4 \, - \, x^5     \\
-                              x_1   +   x_2 &     =    & -(-8) = 8 \\
+                            f'(x) & = & 4\,x^3 \, - \, 5\,x^4  \\
-                                            &\Downarrow&           \\
+                           f''(x) & = & 12\,x^2 - 20\,x^3
-                                        x_1 &     =    & 3         \\
+         \end{array}</math>
-                                        x_2 &     =    & 5
             \end{array}</math>
-::Dessa är <math> x</math>-koordinater till eventuella lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.
+::<math> f''(x) \, = \, 12\,x^2 - 20\,x^3 </math>
-−
-'''Steg 4'''&nbsp;&nbsp; Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan<span style="color:black">:</span>
-−
-<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_1 = 3} \, </math><span style="color:black">:</span>
-−
-:::<math> f''(x) \, = \, 6\,x - 24 </math>
-:::<math> f''(3) \, = \, 6\cdot 3 - 24 = -6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math>
+::<math> f''(0,8) \, = \, 12 \cdot 0,8^2 - 20 \cdot 0,8^3 = -2,56 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 0,8 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math>