3.4 Lösning 4a - Versionshistorik

Taifun den 22 januari 2015 kl. 10.26

2015-01-22T10:26:03Z

Taifun den 22 januari 2015 kl. 10.17

2015-01-22T10:17:57Z

Taifun den 22 januari 2015 kl. 10.16

2015-01-22T10:16:42Z

Taifun den 22 januari 2015 kl. 10.15

2015-01-22T10:15:12Z

Taifun den 22 januari 2015 kl. 10.06

2015-01-22T10:06:31Z

Taifun den 22 januari 2015 kl. 10.05

2015-01-22T10:05:57Z

Taifun den 22 januari 2015 kl. 10.02

2015-01-22T10:02:49Z

Taifun den 22 januari 2015 kl. 09.53

2015-01-22T09:53:51Z

Taifun den 22 januari 2015 kl. 09.47

2015-01-22T09:47:58Z

Taifun den 22 januari 2015 kl. 09.47

2015-01-22T09:47:03Z

@@ Rad 27: / Rad 27: @@
 <math> {\color{White} x} \quad \underline{x_2 = 3} \, </math><span style="color:black">:</span>
-::<math> f''(3) \, = \, -2\cdot 3 + 4 = -2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 5 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math>
+::<math> f''(3) \, = \, -2\cdot 3 + 4 = -2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math>
 ::<math> f''(1) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(3) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} </math>

@@ Rad 17: / Rad 17: @@
           \end{array}</math>
-Typ av kritiska punkter:
+Typ av kritiska punkter<span style="color:black">:</span>
-:<math> {\color{White} x} \quad \underline{x_1 = 1} \, </math><span style="color:black">:</span>
+<math> {\color{White} x} \quad \underline{x_1 = 1} \, </math><span style="color:black">:</span>
 ::<math> f''(x) \, = \, -2\,x \, + \, 4 </math>

@@ Rad 19: / Rad 19: @@
 Typ av kritiska punkter:
-<math> {\color{White} x} \quad \underline{x_1 = 1} \, </math><span style="color:black">:</span>
+:<math> {\color{White} x} \quad \underline{x_1 = 1} \, </math><span style="color:black">:</span>
 ::<math> f''(x) \, = \, -2\,x \, + \, 4 </math>

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
 ::<math>\begin{array}{rcl}  f(x)&=&-\,{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 \\
                             f'(x)&=&-\,x^2 \, + \, 4\,x \, - \, 3  \\
                            f''(x)&=&-2\,x \, + \, 4
          \end{array}</math>
 ::<math>\begin{array}{rcl} -\,x^2 \, + \, 4\,x \, - \, 3 & = & 0   \\
@@ Rad 15: / Rad 16: @@
                                                           x_2 &     =    & 3
           \end{array}</math>
 <math> {\color{White} x} \quad \underline{x_1 = 1} \, </math><span style="color:black">:</span>
@@ Rad 27: / Rad 30: @@
 ::<math> f''(1) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(3) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} </math>
 ::<math> f(x) \, = \, -\,{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 </math>

← Äldre version		Versionen från 22 januari 2015 kl. 10.06
Rad 32:		Rad 32:
	::<math> f(1) \, = \, -\,{1^3 \over 3} \, + \, 2\cdot 1^2 \, - \, 3\cdot 1 \, + \, 1 = -\,{1 \over 3} \quad \Longrightarrow \quad (1, -\,{1 \over 3}) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math>		::<math> f(1) \, = \, -\,{1^3 \over 3} \, + \, 2\cdot 1^2 \, - \, 3\cdot 1 \, + \, 1 = -\,{1 \over 3} \quad \Longrightarrow \quad (1, -\,{1 \over 3}) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math>

−	::<math> f(3) \, = \, -\,{3^3 \over 3} \, + \, 2\cdot 3^2 \, - \, 3\cdot 3 \, + \, 1 = 1 \quad \Longrightarrow \quad (3, 1) \quad {\rm är\;lokal\;~~minimipunkt~~.} </math>	+	::<math> f(3) \, = \, -\,{3^3 \over 3} \, + \, 2\cdot 3^2 \, - \, 3\cdot 3 \, + \, 1 = 1 \quad \Longrightarrow \quad (3, 1) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} </math>

@@ Rad 30: / Rad 30: @@
 ::<math> f(x) \, = \, -\,{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 </math>
-::<math> f(1) \, = \, -\,{1^3 \over 3} \, + \, 2\cdot 1^2 \, - \, 3\cdot 1 \, + \, 1 = 10 \quad \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} </math>
+::<math> f(1) \, = \, -\,{1^3 \over 3} \, + \, 2\cdot 1^2 \, - \, 3\cdot 1 \, + \, 1 = -\,{1 \over 3} \quad \Longrightarrow \quad (1, -\,{1 \over 3}) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math>
-::<math> f(5) \, = \, 5^3 - 12\cdot 5^2 + 45\cdot 5 - 44 = 6 \quad \Longrightarrow \quad (5, 6) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math>
+::<math> f(3) \, = \, -\,{3^3 \over 3} \, + \, 2\cdot 3^2 \, - \, 3\cdot 3 \, + \, 1 = 1 \quad \Longrightarrow \quad (3, 1) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math>

@@ Rad 16: / Rad 16: @@
           \end{array}</math>
-<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_1 = 1} \, </math><span style="color:black">:</span>
+<math> {\color{White} x} \quad \underline{x_1 = 1} \, </math><span style="color:black">:</span>
 ::<math> f''(x) \, = \, -2\,x \, + \, 4 </math>
@@ Rad 22: / Rad 22: @@
 ::<math> f''(1) \, = \, -2\cdot 1 + 4 = 2 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 1 \quad {\rm lokalt\;minimum.} </math>
-<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_2 = 3} \, </math><span style="color:black">:</span>
+<math> {\color{White} x} \quad \underline{x_2 = 3} \, </math><span style="color:black">:</span>
-::<math> f''(3) \, = \, -2\cdot 3 + 4 = 6 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 5 \quad {\rm lokalt\;minimum.} </math>
+::<math> f''(3) \, = \, -2\cdot 3 + 4 = -2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 5 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math>
-::<math> f''(3) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(5) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} </math>
+::<math> f''(1) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(3) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} </math>
-'''Steg 5'''&nbsp;&nbsp; Beräkna de lokala extrempunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span>
+::<math> f(x) \, = \, -\,{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 </math>
-::<math> f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 </math>
+::<math> f(1) \, = \, -\,{1^3 \over 3} \, + \, 2\cdot 1^2 \, - \, 3\cdot 1 \, + \, 1 = 10 \quad \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} </math>
-−
-::<math> f(3) \, = \, 3^3 - 12\cdot 3^2 + 45\cdot 3 - 44 = 10 \quad \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} </math>
 ::<math> f(5) \, = \, 5^3 - 12\cdot 5^2 + 45\cdot 5 - 44 = 6 \quad \Longrightarrow \quad (5, 6) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math>

@@ Rad 12: / Rad 12: @@
                                                 x_1   +   x_2 &     =    & -(-4) = 4 \\
                                                               &\Downarrow&           \\
-                                                          x_1 &     =    & 3         \\
+                                                          x_1 &     =    & 1         \\
-                                                          x_2 &     =    & 5
+                                                          x_2 &     =    & 3
-          \end{array}</math>
+         \end{array}</math>
-::Dessa är <math> x</math>-koordinater till eventuella lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.
+<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_1 = 1} \, </math><span style="color:black">:</span>
-'''Steg 4'''&nbsp;&nbsp; Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan<span style="color:black">:</span>
+::<math> f''(x) \, = \, -2\,x \, + \, 4 </math>
-<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_1 = 3} \, </math><span style="color:black">:</span>
+::<math> f''(1) \, = \, -2\cdot 1 + 4 = 2 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 1 \quad {\rm lokalt\;minimum.} </math>
-:::<math> f''(x) \, = \, 6\,x - 24 </math>
+<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_2 = 3} \, </math><span style="color:black">:</span>
-:::<math> f''(3) \, = \, 6\cdot 3 - 24 = -6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math>
+::<math> f''(3) \, = \, -2\cdot 3 + 4 = 6 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 5 \quad {\rm lokalt\;minimum.} </math>
-<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_2 = 5} \, </math><span style="color:black">:</span>
+::<math> f''(3) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(5) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} </math>
-−
-:::<math> f''(5) \, = \, 6\cdot 5 - 24 = 6 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 5 \quad {\rm lokalt\;minimum.} </math>
-−
-:::<math> f''(3) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(5) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} </math>
 '''Steg 5'''&nbsp;&nbsp; Beräkna de lokala extrempunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span>
-:::<math> f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 </math>
+::<math> f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 </math>
-:::<math> f(3) \, = \, 3^3 - 12\cdot 3^2 + 45\cdot 3 - 44 = 10 \quad \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} </math>
+::<math> f(3) \, = \, 3^3 - 12\cdot 3^2 + 45\cdot 3 - 44 = 10 \quad \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} </math>
-:::<math> f(5) \, = \, 5^3 - 12\cdot 5^2 + 45\cdot 5 - 44 = 6 \quad \Longrightarrow \quad (5, 6) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math>
+::<math> f(5) \, = \, 5^3 - 12\cdot 5^2 + 45\cdot 5 - 44 = 6 \quad \Longrightarrow \quad (5, 6) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math>