Taifun: Skapade sidan med ''''Lokala maxima och minima''' ::: $\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \\ f'(x) & = & 1 \, - \, x^2...'$

2017-01-21T20:32:08Z

Skapade sidan med ''''Lokala maxima och minima''' :::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \\ f'(x) & = & 1 \, - \, x^2...'

Ny sida

'''Lokala maxima och minima'''

:::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \\
f'(x) & = & 1 \, - \, x^2 \\
f''(x) & = & - 2\,x
\end{array}</math>

Sätter derivatan till <math> \, 0 \, </math> och beräknar derivatans nollställen:

:::<math> \begin{array}{rcl} 1 \, - \, x^2 & = & 0 \\
x^2 & = & 1 \\
&\Downarrow& \\
x_1 & = & 1 \\
x_2 & = & -1
\end{array}</math>

Sätter in derivatans nollställen i andraderivatan<span style="color:black">:</span>

::::<math> \; f''(x) \, = \, - 2\,x </math>

<table>
<tr>
<td><math> \underline{x_1 = 1} \, </math><span style="color:black">:</span>
</td>
<td>
<math> \;\; f''(1) \, = \, - 2 \cdot 1 \, = \, -2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 1 \; </math> lokalt maximum.</td>
</tr>
</table>
<table>
<tr>
<td><math> \underline{x_2 = -1} </math><span style="color:black">:</span>

</td>
<td>
<math> f''(-1) \, = \, - 2 \cdot (-1) \, = \, 2 > 0 \; \Longrightarrow \; x_2 = -1 \; </math> lokalt minimum.
</td>
</tr>
</table>
De lokala maximi- och minimipunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span>

<math> \quad f(x) = \displaystyle x - \frac{x^3}{3} </math>

<math> \quad f(1) = \displaystyle 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \, \Longrightarrow \, \left(1, \frac{2}{3}\right) \, </math> är lokal maximipunkt.

<math> \quad f(-1) = \displaystyle{-1 - \frac{-1}{3} = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}} \, \Longrightarrow \, \left(-1, -\frac{2}{3}\right) </math> är lokal minimipunkt.

'''Globala maxima och minima'''

Beräknar funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter <math> \, -3 \, </math> och <math> \, 3 </math><span style="color:black">:</span>

::<math> f(x) \, = \, \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} </math>

::<math> f(-3) \, = \, \displaystyle -3 \, - \, \frac{(-3)^3}{3} \, = \, -3 \, + \, 9 \, = \, 6 </math>

::<math> f(3) \, = \, \displaystyle 3 \, - \, \frac{3^3}{3} \, = \, 3 \, - \, 9 \, = \, -6 </math>

Jämför dem med de lokala extrempunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span>

Lokala maximivärdet var <math> \, \displaystyle \frac{2}{3} \, </math>, se ovan.

<math> \quad\; \displaystyle 6 \, > \, \frac{2}{3} \quad \Longrightarrow \quad 6 \quad </math> är funktionens största värde: globalt maximum.

Lokala minimivärdet var <math> \, \displaystyle -\frac{2}{3} \, </math>, se ovan.

<math> \quad\; \displaystyle -6 \, < \, -\frac{2}{3} \quad \Longrightarrow \quad -6 \quad </math> är funktionens minsta värde: globalt minimum.

Värdena <math> \, 6 \, </math> och <math> \, -6 </math> antas av funktionen i definitionsintervallets ändpunkter,

eftersom intervallet <math> \, -3 \leq x \leq 3 \, </math> är slutet. Därför är <math> \, 6 \, </math> och <math> \, -6 \, </math> globala extrema.

<math> \quad (-3, 6) \; </math> är global maximipunkt.

<math> \quad (3, -6) \; </math> är global minimipunkt.

3.4 Lösning 2b - Versionshistorik

Taifun: Skapade sidan med ''''Lokala maxima och minima''' :::\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \\ f'(x) & = & 1 \, - \, x^2...'

Taifun: Skapade sidan med ''''Lokala maxima och minima''' ::: $\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \\ f'(x) & = & 1 \, - \, x^2...'$