3.3 Lösning 6a - Versionshistorik

Taifun den 10 januari 2015 kl. 13.52

2015-01-10T13:52:34Z

Taifun den 10 januari 2015 kl. 13.51

2015-01-10T13:51:59Z

Taifun den 10 januari 2015 kl. 13.49

2015-01-10T13:49:41Z

Taifun den 10 januari 2015 kl. 13.43

2015-01-10T13:43:03Z

Taifun den 10 januari 2015 kl. 13.38

2015-01-10T13:38:51Z

Taifun den 10 januari 2015 kl. 13.38

2015-01-10T13:38:03Z

Taifun: Skapade sidan med ': $\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3 \\ f'(x) & = & 12\,x^3 + 12\,x^2 \\ f''(x) & = & 36\,x^2 + 24\,x...'$

2015-01-10T13:31:52Z

Skapade sidan med ':<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3 \\ f'(x) & = & 12\,x^3 + 12\,x^2 \\ f''(x) & = & 36\,x^2 + 24\,x...'

Ny sida

:<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3 \\
f'(x) & = & 12\,x^3 + 12\,x^2 \\
f''(x) & = & 36\,x^2 + 24\,x \\
f'''(x) & = & 72\,x + 24
\end{array}</math>

Derivatans nollställen:

:<math>\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & 12\,x^3 + 12\,x^2 & = & 0 \\
& & 12\,x^2\,(x + 1) & = & 0 \\
& & x_1 & = & 0 \\
& & x_2 & = & -1
\end{array}</math>

Derivatan har två nollställen, ett i <math> x_1 = 0 </math> och ett i <math> x_2 = -1 </math>.

Nollställe 1: <math> {\color{White} x} x_1 = 0 </math>

:Vi sätter in <math> x_1 = 0 \, </math> i andraderivatan:

::<math> f''(0) \, = \, 36\cdot 0^2 + 24\cdot 0 = 0 </math>

:Vi sätter in <math> x_1 = 0 \, </math> i tredjederivatan:

::<math> f'''(0) \, = \, 72\cdot 0 + 24 = 0 + 24 = 24 \, \neq 0 </math>

:Enligt [[3.3_Terasspunkter#Regler_om_terasspunkter_med_h.C3.B6gre_derivator|regeln om terasspunkter med högre derivator]]:

::<math> \, f\,'(0) \, = \, f\,''(0) \, = \, 0, \quad f\,'''(0) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = 0 \;\; {\rm en\;terasspunkt.} </math>

:Terasspunktens <math> \, y</math>-koordinat:

::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3 \\
f(0) & = & 3\cdot 0^4 + 4\cdot 0^3 \, = \, 3\cdot 0 + 4\cdot 0 \, = \, 0
\end{array}</math>

:Terasspunktens koordinater:    <math> (0, 0) </math>

Nollställe 2: <math> {\color{White} x} x_2 = -1 </math>

:Vi sätter in <math> x_2 = -1 \, </math> i andraderivatan:

::<math> f''(-1) \, = \, 36\cdot (-1)^2 + 24\cdot (-1) = 36\cdot 1 - 24 = 36 - 24 = 12 \, > \, 0 </math>

:Enligt [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|regler om maxima och minima med andraderivata]]:

::<math> \, f\,'(-1) \, = 0, \quad f\,''(-1) \, > \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = -1 \;\; {\rm en\;minimipunkt.} </math>

:Minimipunktens <math> \, y</math>-koordinat:

::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3 \\
f(-1) & = & 3\cdot (-1)^4 + 4\cdot (-1)^3 \, = \, 3\cdot 1 + 4\cdot (-1) \, = \, 3 - 4 \, = \, -1
\end{array}</math>

:Minimipunktens koordinater:    <math> (-1, -1) </math>

<math> f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; (0, 0) \;\; {\rm en\;terasspunkt\;och\;i} \;\; (-1, -1) \;\; {\rm en\;minimipunkt.} </math>

@@ Rad 37: / Rad 37: @@
 :Enligt [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">regler om maxima och minima med andraderivata</span></strong>]]<span style="color:black">:</span>
-::<math> \, f\,'(-3) \, = 0, \quad f\,''(-3) \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = -1 \;\; {\rm en\;maximipunkt.} </math>
+::<math> \, f\,'(-3) \, = 0, \quad f\,''(-3) \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = -3 \;\; {\rm en\;maximipunkt.} </math>
 <math> f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = 0 \;\; {\rm en\;terasspunkt\;och\;i} \;\; x = -3 \;\; {\rm en\;maximipunkt.} </math>

@@ Rad 33: / Rad 33: @@
 :Vi sätter in <math> x_2 = -3 \, </math> i andraderivatan:
-::<math> f''(-3) \, = \, -12\cdot (-3)^2 - 24\cdot (-3) = -12\cdot 9 + 24\cdot 3 = -108 + 72 = -36 \, < \, 0 </math>
+::<math> f''(-3) \, = \, -12\cdot (-3)^2 \, - \, 24\cdot (-3) = -12\cdot 9 \, + \, 24\cdot 3 = -108 + 72 = -36 \, < \, 0 </math>
 :Enligt [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">regler om maxima och minima med andraderivata</span></strong>]]<span style="color:black">:</span>
-::<math> \, f\,'(-1) \, = 0, \quad f\,''(-1) \, > \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = -1 \;\; {\rm en\;maximipunkt.} </math>
+::<math> \, f\,'(-3) \, = 0, \quad f\,''(-3) \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = -1 \;\; {\rm en\;maximipunkt.} </math>
 <math> f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = 0 \;\; {\rm en\;terasspunkt\;och\;i} \;\; x = -3 \;\; {\rm en\;maximipunkt.} </math>

@@ Rad 33: / Rad 33: @@
 :Vi sätter in <math> x_2 = -3 \, </math> i andraderivatan:
-::<math> f''(-1) \, = \, -12\cdot (-1)^2 - 24\cdot (-1) = -12\cdot 1 + 24 = -12 + 24 = 12 \, > \, 0 </math>
+::<math> f''(-3) \, = \, -12\cdot (-3)^2 - 24\cdot (-3) = -12\cdot 9 + 24\cdot 3 = -108 + 72 = -36 \, < \, 0 </math>
 :Enligt [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">regler om maxima och minima med andraderivata</span></strong>]]<span style="color:black">:</span>
-::<math> \, f\,'(-1) \, = 0, \quad f\,''(-1) \, > \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = -1 \;\; {\rm en\;minimipunkt.} </math>
+::<math> \, f\,'(-1) \, = 0, \quad f\,''(-1) \, > \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = -1 \;\; {\rm en\;maximipunkt.} </math>
-::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3  \\
+<math> f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = 0 \;\; {\rm en\;terasspunkt\;och\;i} \;\; x = -3 \;\; {\rm en\;maximipunkt.} </math>
-                          f(-1) & = & 3\cdot (-1)^4 + 4\cdot (-1)^3 \, = \, 3\cdot 1 + 4\cdot (-1) \, = \, 3 - 4 \, = \, -1
-       \end{array}</math>
-−
-:Minimipunktens koordinater<span style="color:black">:</span> &nbsp;&nbsp; <math> (-1, -1) </math>
-−
-−
-<math> f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; (0, 0) \;\; {\rm en\;terasspunkt\;och\;i} \;\; (-1, -1) \;\; {\rm en\;minimipunkt.} </math>

@@ Rad 13: / Rad 13: @@
          \end{array}</math>
-Derivatan har två nollställen, ett i <math> x_1 = 0 </math> och ett i <math> x_2 = -1 </math>.
+Derivatan har två nollställen, ett i <math> x_1 = 0 </math> och ett i <math> x_2 = -3 </math>.
 <b>Nollställe 1:</b> <math> {\color{White} x} x_1 = 0 </math>

@@ Rad 19: / Rad 19: @@
 :Vi sätter in <math> x_1 = 0 \, </math> i andraderivatan:
-::<math> f''(0) \, = \, 36\cdot 0^2 + 24\cdot 0 = 0 </math>
+::<math> f''(0) \, = \, -12\cdot 0^2 - 24\cdot 0 = 0 </math>
 :Vi sätter in <math> x_1 = 0 \, </math> i tredjederivatan:
-::<math> f'''(0) \, = \, 72\cdot 0 + 24 = 0 + 24 = 24 \, \neq 0 </math>
+::<math> f'''(0) \, = \, -24\cdot 0 - 24 = 0 - 24 = - 24 \, \neq 0 </math>
 :Enligt [[3.3_Terasspunkter#Regler_om_terasspunkter_med_h.C3.B6gre_derivator|<strong><span style="color:blue">regeln om terasspunkter med högre derivator</span></strong>]]<span style="color:black">:</span>
@@ Rad 29: / Rad 29: @@
 ::<math> \, f\,'(0) \, = \, f\,''(0) \, = \, 0, \quad f\,'''(0) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = 0 \;\; {\rm en\;terasspunkt.} </math>
-:Terasspunktens <math> \, y</math>-koordinat:
+<b>Nollställe 2:</b> <math> {\color{White} x} x_2 = -3 </math>
-::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3  \\
+:Vi sätter in <math> x_2 = -3 \, </math> i andraderivatan:
-                          f(0) & = & 3\cdot 0^4 + 4\cdot 0^3 \, = \, 3\cdot 0 + 4\cdot 0 \, = \, 0
-       \end{array}</math>
-:Terasspunktens koordinater<span style="color:black">:</span> &nbsp;&nbsp; <math> (0, 0) </math>
+::<math> f''(-1) \, = \, -12\cdot (-1)^2 - 24\cdot (-1) = -12\cdot 1 + 24 = -12 + 24 = 12 \, > \, 0 </math>
-−
-<b>Nollställe 2:</b> <math> {\color{White} x} x_2 = -1 </math>
-−
-:Vi sätter in <math> x_2 = -1 \, </math> i andraderivatan:
-−
-::<math> f''(-1) \, = \, 36\cdot (-1)^2 + 24\cdot (-1) = 36\cdot 1 - 24 = 36 - 24 = 12 \, > \, 0 </math>
 :Enligt [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">regler om maxima och minima med andraderivata</span></strong>]]<span style="color:black">:</span>

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-:<math>\begin{array}{rcl} f(x)  & = & 3\,x^4 + 4\,x^3    \\
+:<math>\begin{array}{rcl} f(x)  & = & - x^4 - 4\,x^3    \\
-                           f'(x) & = & 12\,x^3 + 12\,x^2  \\
+                           f'(x) & = & -4\,x^3 - 12\,x^2  \\
-                          f''(x) & = & 36\,x^2 + 24\,x    \\
+                          f''(x) & = & -12\,x^2 - 24\,x    \\
-                       f'''(x)   & = & 72\,x + 24
+                       f'''(x)   & = & -24\,x - 24
         \end{array}</math>
 Derivatans nollställen:
-:<math>\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & 12\,x^3 + 12\,x^2 & = & 0  \\
+:<math>\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & -4\,x^3 - 12\,x^2 & = & 0  \\
-                                   &   & 12\,x^2\,(x + 1)  & = & 0  \\
+                                   &   & -4\,x^2\,(x + 3)  & = & 0  \\
                                    &   &               x_1 & = & 0  \\
-                                   &   &               x_2 & = & -1
+                                   &   &               x_2 & = & -3
          \end{array}</math>

3.3 Lösning 6a - Versionshistorik

Taifun den 10 januari 2015 kl. 13.52

Taifun den 10 januari 2015 kl. 13.51

Taifun den 10 januari 2015 kl. 13.49

Taifun den 10 januari 2015 kl. 13.43

Taifun den 10 januari 2015 kl. 13.38

Taifun den 10 januari 2015 kl. 13.38

Taifun: Skapade sidan med ':\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3 \\ f'(x) & = & 12\,x^3 + 12\,x^2 \\ f''(x) & = & 36\,x^2 + 24\,x...'

Taifun: Skapade sidan med ': $\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3 \\ f'(x) & = & 12\,x^3 + 12\,x^2 \\ f''(x) & = & 36\,x^2 + 24\,x...'$