3.2 Lösning 5b - Versionshistorik

Taifun den 13 december 2014 kl. 20.20

2014-12-13T20:20:16Z

Taifun den 13 december 2014 kl. 20.17

2014-12-13T20:17:15Z

Taifun den 13 december 2014 kl. 20.13

2014-12-13T20:13:54Z

Taifun den 13 december 2014 kl. 20.12

2014-12-13T20:12:53Z

Taifun den 13 december 2014 kl. 20.06

2014-12-13T20:06:00Z

Taifun den 13 december 2014 kl. 20.00

2014-12-13T20:00:16Z

Taifun den 13 december 2014 kl. 19.55

2014-12-13T19:55:44Z

Taifun den 13 december 2014 kl. 19.55

2014-12-13T19:55:13Z

Taifun: Skapade sidan med 'Derivatans nollställen från 5a) sorterade efter storlek (omnumrerade): ::: $\begin{array}{rcl} x_1 & = & -2 \\ x_2 & = & 0 \\...'$

2014-12-13T19:35:57Z

Skapade sidan med 'Derivatans nollställen från 5a) sorterade efter storlek (omnumrerade): :::<math> \begin{array}{rcl} x_1 & = & -2 \\ x_2 & = & 0 \\...'

Ny sida

Derivatans nollställen från 5a) sorterade efter storlek (omnumrerade):

:::<math> \begin{array}{rcl} x_1 & = & -2 \\
x_2 & = & 0 \\
x_3 & = & 2
\end{array}</math>

Lösning med [[3.2_Maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|andraderivata]]:

::<math> \begin{array}{rcl} f'(x) & = & -9\,x^2 + 36\,x - 27 \\
f''(x) & = & -18\,x + 36
\end{array}</math>

Nollställe 1: <math> {\color{White} x} x_1 = 1 \quad {\color{White} x} </math>

Vi sätter in <math> x_1 = 1 \, </math> i andraderivatan:

::<math> f''(1) \, = \, -18\cdot 1 + 36 = 18 > 0 </math>

Andraderivatan är positiv för <math> x_1 = 1 \, </math>. Slutsats: <math> f(x) \, </math> har ett minimum i <math> x_1 = 1 \, </math>.

Nollställe 2: <math> {\color{White} x} x_2 = 3 \quad {\color{White} x} </math>

Vi sätter in <math> x_2 = 3 \, </math> in i andraderivatan:

::<math> f''(3) \, = \, -18\cdot 3 + 36 = -18 < 0 </math>

Andraderivatan är negativ för <math> x_2 = 3 \, </math>. Slutsats: <math> f(x) \, </math> har ett maximum i <math> x_2 = 3 \, </math>.

Extrempunkternas koordinater:

::<math> f(x) = - 3\,x^3 + 18\,x^2 - 27\,x + 14 </math>

::<math> f(1) = - 3\cdot 1^3 + 18\cdot 1^2 - 27\cdot 1 + 14 = 2 </math>

::<math> f(3) = - 3\cdot 3^3 + 18\cdot 3^2 - 27\cdot 3 + 14 = 14 </math>

Minimipunktens koordinater: <math> {\color{White} x} \quad (1,\, 2) </math>

Maximipunktens koordinater: <math> {\color{White} x} \quad (3,\, 14) </math>

@@ Rad 6: / Rad 6: @@
            \end{array}</math>
-Lösning med [[3.2_Maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">andraderivata</span></strong>]]:
+Lösning med [[3.2_Maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">regler om maxima och minima med andraderivata</span></strong>]]:
 ::<math> \begin{array}{rcl}  f(x) & = & {x^4 \over 4} \, - \, 2\,x^2  \\

← Äldre version		Versionen från 13 december 2014 kl. 20.17
Rad 33:		Rad 33:
	<math> x_3 = 2 \, </math> är en minimipunkt.		<math> x_3 = 2 \, </math> är en minimipunkt.

−	Att dessa är <u>alla</u> extrempunkter och det inte finns fler, beror på att derivatan är ett 3:e gradspolynom som enligt Algebrans fundamentalsats inte kan ha fler än 3 nollställen.	+	Att dessa är <u>alla</u> extrempunkter och det inte finns fler, beror på att derivatan är ett 3:e gradspolynom som enligt [[1.2_Fördjupning_till_Faktorisering_av_Polynom#Algebrans_fundamentalsats\|<strong><span style="color:blue">Algebrans fundamentalsats</span></strong>]] inte kan ha fler än 3 nollställen.

← Äldre version		Versionen från 13 december 2014 kl. 20.13
Rad 33:		Rad 33:
	<math> x_3 = 2 \, </math> är en minimipunkt.		<math> x_3 = 2 \, </math> är en minimipunkt.

−	Att dessa är <u>alla</u> extrempunkter och det inte finns fler, beror på att derivatan är ett 3:e gradspolynom ~~och~~ enligt Algebrans fundamentalsats inte kan ha fler än 3 nollställen.	+	Att dessa är <u>alla</u> extrempunkter och det inte finns fler, beror på att derivatan är ett 3:e gradspolynom som enligt Algebrans fundamentalsats inte kan ha fler än 3 nollställen.

@@ Rad 25: / Rad 25: @@
 <math> f''(2) \, = \, 3\cdot 2^2 - 4 = 8 > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, </math> har ett minimum i <math> x_3 = 2 \, </math>.
-Alla extrempunkter:
+Alla extrempunkter<span style="color:black">:</span>
 <math> x_1 = -2 \, </math> är en minimipunkt.
@@ Rad 32: / Rad 32: @@
 <math> x_3 = 2 \, </math> är en minimipunkt.

@@ Rad 13: / Rad 13: @@
           \end{array}</math>
-<b>Nollställe 1:</b> <math> {\color{White} x} x_1 = -2 \quad {\color{White} x} </math>
+<b>Nollställe 1:</b> <math> {\color{White} x} x_1 = -2 </math>
-<math> f''(-2) \, = \, 3\cdot (-2)^2 - 4 = 8 > 0 \qquad \Rightarrow \qquad f(x) \, </math> har ett minimum i <math> x_1 = -2 \, </math>.
+<math> f''(-2) \, = \, 3\cdot (-2)^2 - 4 = 8 > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, </math> har ett minimum i <math> x_1 = -2 \, </math>.
-<b>Nollställe 2:</b> <math> {\color{White} x} x_2 = 0 \quad {\color{White} x} </math>
+<b>Nollställe 2:</b> <math> {\color{White} x} x_2 = 0 </math>
-Vi sätter in <math> x_2 = 0 \, </math> in i andraderivatan:
+<math> f''(0) \, = \, 3\cdot 0^2 - 4 = -4 < 0 \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, </math> har ett maximum i <math> x_2 = 0 \, </math>.
-::<math> f''(0) \, = \, 3\cdot 0^2 - 4 = -4 < 0 </math>
+<b>Nollställe 3:</b> <math> {\color{White} x} x_3 = 2 </math>
-Andraderivatan är negativ för <math> x_2 = 0 \, </math>. Alltså har <math> f(x) \, </math> ett maximum i <math> x_2 = 0 \, </math>.
+<math> f''(2) \, = \, 3\cdot 2^2 - 4 = 8 > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, </math> har ett minimum i <math> x_3 = 2 \, </math>.
-−
-<b>Nollställe 3:</b> <math> {\color{White} x} x_3 = 2 \quad {\color{White} x} </math>
-−
-Vi sätter in <math> x_3 = 2 \, </math> in i andraderivatan:
-−
-::<math> f''(2) \, = \, 3\cdot 2^2 - 4 = 8 < 0 </math>
-−
-Andraderivatan är positiv för <math> x_3 = 2 \, </math>. Alltså har <math> f(x) \, </math> ett minimum i <math> x_3 = 2 \, </math>.
 Alla extrempunkter:

@@ Rad 15: / Rad 15: @@
 <b>Nollställe 1:</b> <math> {\color{White} x} x_1 = -2 \quad {\color{White} x} </math>
-Vi sätter in <math> x_1 = -2 \, </math> i andraderivatan:
+<math> f''(-2) \, = \, 3\cdot (-2)^2 - 4 = 8 > 0 \qquad \Rightarrow \qquad f(x) \, </math> har ett minimum i <math> x_1 = -2 \, </math>.
-−
-::<math> f''(-2) \, = \, 3\cdot (-2)^2 - 4 = 8 > 0 </math>
-−
-Andraderivatan är positiv för <math> x_1 = -2 \, </math>. Alltså har <math> f(x) \, </math> ett minimum i <math> x_1 = -2 \, </math>.
 <b>Nollställe 2:</b> <math> {\color{White} x} x_2 = 0 \quad {\color{White} x} </math>

← Äldre version		Versionen från 13 december 2014 kl. 19.55
Rad 1:		Rad 1:
−	Derivatans nollställen från 5a) sorterade efter storlek (omnumrerade):	+	Derivatans nollställen från 5a) sorterade efter storlek och omnumrerade:

	:::<math> \begin{array}{rcl} x_1 & = & -2 \\		:::<math> \begin{array}{rcl} x_1 & = & -2 \\

@@ Rad 8: / Rad 8: @@
 Lösning med [[3.2_Maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">andraderivata</span></strong>]]:
-::<math> \begin{array}{rcl} f'(x) & = & -9\,x^2 + 36\,x - 27 \\
+::<math> \begin{array}{rcl}  f(x) & = & {x^4 \over 4} \, - \, 2\,x^2  \\
-                            f''(x) & = & -18\,x  + 36
+                            f'(x) & = & x^3 - 4\,x                    \\
           \end{array}</math>
-<b>Nollställe 1:</b> <math> {\color{White} x} x_1 = 1 \quad {\color{White} x} </math>
+<b>Nollställe 1:</b> <math> {\color{White} x} x_1 = -2 \quad {\color{White} x} </math>
-Vi sätter in <math> x_1 = 1 \, </math> i andraderivatan:
+Vi sätter in <math> x_1 = -2 \, </math> i andraderivatan:
-::<math> f''(1) \, = \, -18\cdot 1 + 36 = 18 > 0 </math>
+::<math> f''(-2) \, = \, 3\cdot (-2)^2 - 4 = 8 > 0 </math>
-Andraderivatan är positiv för <math> x_1 = 1 \, </math>. Slutsats<span style="color:black">:</span> <math> f(x) \, </math> har ett minimum i <math> x_1 = 1 \, </math>.
+Andraderivatan är positiv för <math> x_1 = -2 \, </math>. Alltså har <math> f(x) \, </math> ett minimum i <math> x_1 = -2 \, </math>.
-<b>Nollställe 2:</b> <math> {\color{White} x} x_2 = 3 \quad {\color{White} x} </math>
+<b>Nollställe 2:</b> <math> {\color{White} x} x_2 = 0 \quad {\color{White} x} </math>
-Vi sätter in <math> x_2 = 3 \, </math> in i andraderivatan:
+Vi sätter in <math> x_2 = 0 \, </math> in i andraderivatan:
-::<math> f''(3) \, = \, -18\cdot 3 + 36 = -18 < 0 </math>
+::<math> f''(0) \, = \, 3\cdot 0^2 - 4 = -4 < 0 </math>
-Andraderivatan är negativ för <math> x_2 = 3 \, </math>. Slutsats<span style="color:black">:</span> <math> f(x) \, </math> har ett maximum i <math> x_2 = 3 \, </math>.
+Andraderivatan är negativ för <math> x_2 = 0 \, </math>. Alltså har <math> f(x) \, </math> ett maximum i <math> x_2 = 0 \, </math>.
-Extrempunkternas koordinater:
+<b>Nollställe 3:</b> <math> {\color{White} x} x_3 = 2 \quad {\color{White} x} </math>
-::<math> f(x) = - 3\,x^3 + 18\,x^2 - 27\,x + 14 </math>
+Vi sätter in <math> x_3 = 2 \, </math> in i andraderivatan:
-::<math> f(1) = - 3\cdot 1^3 + 18\cdot 1^2 - 27\cdot 1 + 14 = 2 </math>
+::<math> f''(2) \, = \, 3\cdot 2^2 - 4 = 8 < 0 </math>
-::<math> f(3) = - 3\cdot 3^3 + 18\cdot 3^2 - 27\cdot 3 + 14 = 14 </math>
+Andraderivatan är positiv för <math> x_3 = 2 \, </math>. Alltså har <math> f(x) \, </math> ett minimum i <math> x_3 = 2 \, </math>.
-Minimipunktens koordinater<span style="color:black">:</span> <math> {\color{White} x} \quad (1,\, 2) </math>
+Alla extrempunkter:
-Maximipunktens koordinater<span style="color:black">:</span> <math> {\color{White} x} \quad (3,\, 14) </math>
+<math> x_1 = -2 \, </math> är en minimipunkt.

3.2 Lösning 5b - Versionshistorik

Taifun den 13 december 2014 kl. 20.20

Taifun den 13 december 2014 kl. 20.17

Taifun den 13 december 2014 kl. 20.13

Taifun den 13 december 2014 kl. 20.12

Taifun den 13 december 2014 kl. 20.06

Taifun den 13 december 2014 kl. 20.00

Taifun den 13 december 2014 kl. 19.55

Taifun den 13 december 2014 kl. 19.55

Taifun: Skapade sidan med 'Derivatans nollställen från 5a) sorterade efter storlek (omnumrerade): ::: \begin{array}{rcl} x_1 & = & -2 \\ x_2 & = & 0 \\...'

Taifun: Skapade sidan med 'Derivatans nollställen från 5a) sorterade efter storlek (omnumrerade): ::: $\begin{array}{rcl} x_1 & = & -2 \\ x_2 & = & 0 \\...'$