2.3 Gränsvärde - Versionshistorik

Taifun den 2 maj 2020 kl. 20.26

2020-05-02T20:26:52Z

Taifun den 13 maj 2019 kl. 17.47

2019-05-13T17:47:25Z

Taifun den 13 maj 2019 kl. 17.45

2019-05-13T17:45:56Z

Taifun den 22 januari 2019 kl. 11.44

2019-01-22T11:44:21Z

Taifun den 22 januari 2019 kl. 11.43

2019-01-22T11:43:55Z

Taifun den 22 januari 2019 kl. 11.43

2019-01-22T11:43:42Z

Taifun den 7 november 2018 kl. 11.57

2018-11-07T11:57:37Z

Taifun den 7 november 2018 kl. 11.40

2018-11-07T11:40:12Z

Taifun den 7 november 2018 kl. 11.22

2018-11-07T11:22:09Z

Taifun den 7 november 2018 kl. 11.02

2018-11-07T11:02:40Z

← Äldre version		Versionen från 2 maj 2020 kl. 20.26
Rad 268:		Rad 268:


−	[[Matte:Copyrights\|Copyright]] © ~~2019~~ [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.	+	[[Matte:Copyrights\|Copyright]] © 2020 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

← Äldre version		Versionen från 13 maj 2019 kl. 17.47
Rad 11:		Rad 11:


−	[[Media: Lektion_14_Gransvarde_Rutac.pdf\|<b><span style="color:blue">Lektion 14 Gränsvärde</span></b>]]	+	<!-- [[Media: Lektion_14_Gransvarde_Rutac.pdf\|<b><span style="color:blue">Lektion 14 Gränsvärde</span></b>]] -->


Rad 268:		Rad 268:


−	[[Matte:Copyrights\|Copyright]] © ~~2011-2018 Math Online Sweden~~ AB. All Rights Reserved.	+	[[Matte:Copyrights\|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

@@ Rad 162: / Rad 162: @@
 ::<math> x^2 - x - 6 = 0 \, </math>
-Enligt [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">Vieta</span></b>]] gäller för lösningarna <math> \, x_1\,</math> och <math> \, x_2 \, </math><span style="color:black">:</span>
+Enligt [[Ekvationer#Vietas_formler|<b><span style="color:blue">Vieta</span></b>]] gäller för lösningarna <math> \, x_1\,</math> och <math> \, x_2 \, </math><span style="color:black">:</span>
 ::<math> \begin{align} x_1   +   x_2 & = -(-1) = 1   \\

← Äldre version		Versionen från 22 januari 2019 kl. 11.44
Rad 12:		Rad 12:

	[[Media: Lektion_14_Gransvarde_Rutac.pdf\|<b><span style="color:blue">Lektion 14 Gränsvärde</span></b>]]		[[Media: Lektion_14_Gransvarde_Rutac.pdf\|<b><span style="color:blue">Lektion 14 Gränsvärde</span></b>]]
		+

	<big>		<big>

@@ Rad 12: / Rad 12: @@
 [[Media: Lektion_14_Gransvarde_Rutac.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 14 Gränsvärde</span></b>]]
 <big>
 Vårt mål i detta kapitel är att förstå begreppet <b><span style="color:red">derivata</span></b>. Men eftersom derivata är ett gränsvärde, måste vi först behandla begreppet gränsvärde.

@@ Rad 65: / Rad 65: @@
 <b>Experiment:</b> &nbsp;Ta upp din miniräknare och slå in<span style="color:black">:</span> <math> \; 0,88\,^{10}, \quad 0,88\,^{100}, \quad 0,88\,^{1000}, \ldots \,  </math>. Vad händer?
-<math> \qquad\qquad\quad </math> Är det ett bevis för <math> \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 0 \, </math>? Nej, men:
+<math> \qquad\qquad\quad </math> Är detta ett bevis för <math> \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 0 \, </math>? Nej, men:
 <b>Generellt:</b> <math> \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(a\,^t)} \, = \, 0 \, </math>, om <math> \, a \, < \, 1 \,</math>. Kan bevisas.

@@ Rad 61: / Rad 61: @@
 <math> v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} - \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, - \, 0 \, = \, \color{Red} {80} \, </math>,
-eftersom <math> \qquad\;\; \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} \cdot \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 80 \cdot 0 \, = \, 0 \quad </math> pga <math> \quad 0,88 \, < \, 1 \; </math>.
+eftersom <math> \qquad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} \cdot \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 80 \cdot 0 \, = \, 0 \quad </math> pga <math> \quad 0,88 \, < \, 1 \; </math>.
-<b>Experiment:</b>
+<b>Experiment:</b> &nbsp;Ta upp din miniräknare och slå in<span style="color:black">:</span> <math> \; 0,88\,^{10}, \quad 0,88\,^{100}, \quad 0,88\,^{1000}, \ldots \,  </math>. Vad händer?
 &nbsp;Ta upp din miniräknare och slå in<span style="color:black">:</span> <math> \; 0,88\,^{10}, \quad 0,88\,^{100}, \quad 0,88\,^{1000}, \ldots \,  </math>. Vad händer?
-<math> \qquad\qquad\quad </math> Är det en bekräftelse för <math> \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 0 \, </math>?
+<math> \qquad\qquad\quad </math> Är det ett bevis för <math> \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 0 \, </math>? Nej, men:
 </big>

@@ Rad 26: / Rad 26: @@
 <math> \qquad\quad\;\; </math> <div class="smallBoxVariant"><math> v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math></div>
-där <math> \, t = \, </math> tiden i sek. Finns det en maximal hastighet
+där <math> \, t = \, </math> tiden i sek. I praktiken vet vi att det finns en
-<math> \, v_{max} \, </math> som hopparen inte kan överskrida?
+maximal hastighet <math> \, v_{max} \, </math> som hopparen inte kan över-
-Om ja, bestäm den. Tips: Rita grafen till <math> v(t) </math>.</small>
+skrida. Bestäm denna gränshastighet matematiskt.</small>
 </div>
 </td>
@@ Rad 46: / Rad 46: @@
 <i>När ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet är summan av alla krafter <math> \, = 0 \, </math> (och omvänt).</i>
-Därav följer<span style="color:black">:</span> <math> \qquad </math> Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> gravitation <math> \quad </math> dvs <math> \quad </math> rörelsen är ett fritt fall med luftmotstånd.
+Därav följer<span style="color:black">:</span> <math> \qquad </math> Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> gravitation <math> \quad </math> dvs <math> \quad </math> rörelsen är ett <b><span style="color:red">fritt fall med luftmotstånd</span></b>.
 <b>Matematisk beskrivning:</b>
@@ Rad 57: / Rad 57: @@
 </small></div>
-<b>Limes kan beräknas:</b>
+<b>Limes kan <span style="color:red">beräknas</span> utan graf:</b>
 <math> v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} - \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, - \, 0 \, = \, \color{Red} {80} \, </math>,
@@ Rad 67: / Rad 67: @@
 <math> \qquad\qquad\quad </math> Är det en bekräftelse för <math> \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 0 \, </math>?
 </big>

← Äldre version		Versionen från 7 november 2018 kl. 11.02
Rad 67:		Rad 67:

	<math> \qquad\qquad\quad </math> Är det en bekräftelse för <math> \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 0 \, </math>?		<math> \qquad\qquad\quad </math> Är det en bekräftelse för <math> \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 0 \, </math>?
−
−	Limesbegreppet är centralt inom <b><span style="color:red">Analys</span></b><math>-</math> den gren av matematiken som [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton <b><span style="color:blue">Newton</span></b>] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz <b><span style="color:blue">Leibniz</span></b>] på 1700-talet la grunden till, även kallad <b><span style="color:red">Differential- och Integralkalkyl</span></b>, på engelska <b><span style="color:red">Calculus</span></b>. Det är därför vi numera använder begreppet "analytiskt" istället för "algebraiskt".

	I detta kapitel kommer vi att använda limes för att definiera derivatan analytiskt som ett gränsvärde. För att kunna göra det måste vi lära oss att <b><span style="color:red">beräkna</span></b> gränsvärden.		I detta kapitel kommer vi att använda limes för att definiera derivatan analytiskt som ett gränsvärde. För att kunna göra det måste vi lära oss att <b><span style="color:red">beräkna</span></b> gränsvärden.