2.3 Fördjupning till Gränsvärde - Versionshistorik

Taifun den 2 maj 2020 kl. 20.27

2020-05-02T20:27:19Z

Taifun den 7 november 2018 kl. 11.00

2018-11-07T11:00:50Z

Taifun den 7 november 2018 kl. 10.37

2018-11-07T10:37:19Z

Taifun den 7 november 2018 kl. 10.36

2018-11-07T10:36:53Z

Taifun den 7 november 2018 kl. 10.34

2018-11-07T10:34:46Z

Taifun den 22 oktober 2017 kl. 10.10

2017-10-22T10:10:54Z

Taifun den 21 oktober 2017 kl. 15.42

2017-10-21T15:42:56Z

Taifun: Skapade sidan med ' Lektion 14 Gränsvärde === Existens av gränsvärden...'

2017-10-21T15:42:14Z

Skapade sidan med ' Lektion 14 Gränsvärde <big> === Existens av gränsvärden...'

Ny sida

[[Media: Lektion_14_Gransvarde_Rutac.pdf|Lektion 14 Gränsvärde]]

<big>
=== Existens av gränsvärden ===

I genomgången bestämdes [[2.3_Gränsvärde#Gr.C3.A4nsv.C3.A4rde_f.C3.B6r_en_funktion|gränsvärdet]] av <math> \, \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, </math> till <math> \, 0 \, </math> utan att fråga om den överhuvudtaget ''existerade''. Själva bestämmandet av gränsvärdet <math> \, 0 \, </math> bevisade ju existensen. Men det finns faktiskt fall där ett gränsvärde ''inte'' existerar och därför inte heller kan bestämmas.

Som exempel tar vi samma funktion som ovan, men betraktar dess beteende för <math> \; \color{Red} {x \to 2} \; </math>.

<div class="exempel">
==== Exempel på att gränsvärde saknas ====

Funktionen <math> y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} </math> är given: <math> \qquad\qquad\qquad </math> Vad händer med <math> \, y \, </math> när <math> \; x \to 2 \; </math>?
<table>
<tr>
<td>Bestäm <math> \quad \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} </math>

'''Svar:''' <math> \quad\;\; f(x)\, </math> är inte definierad för <math> x = 2\, </math>.

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\quad \Downarrow </math>

<div class="border-divblue"><math> \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} \quad </math> existerar inte   :

<math> \qquad </math> Gränsvärde saknas.
</div>
</td>
<td><math> \qquad </math></td>
<td>[[Image: Ex 2 Gransvarde.jpg]]</td>
</tr>
</table>

Grafen visar att kurvan skjuter upp i höjden å ena sidan och ner i "djupet" å andra sidan av punkten <math> \, x = 2 </math>.

Algebraiskt är <math> \, f(x)\, </math> inte definierad för <math> x = 2\, </math>, för <math> \displaystyle{10 \over x\,-\,2} </math>:s nämnare blir <math> \, 0\, </math> för <math> \, x = 2 </math>.

Dessutom finns det två olika resultat beroende på om <math> \, x </math> går mot <math> \, 2 </math> från höger eller från vänster:

<math> f(x)\, </math> går mot <math> +\, \infty </math> när man närmar sig <math> \, x = 2 </math> från höger och mot <math> -\, \infty </math> när man närmar sig <math> \, x = 2 </math> från vänster. Med pilar:

<math> y \;\; {\rm går\;mot} \, +\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;höger:} \; \qquad\quad y \to +\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^+ </math>

<math> y \;\; {\rm går\;mot} \, -\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;vänster:} \; \qquad\; y \to -\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^- </math>

där <math> x \to 2^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 2 </math> från höger (<math> \, x > 2 </math>) och <math> x \to 2^- </math> att närma sig <math> \, x = 2 </math> från vänster (<math> \, x < 2 </math>).
</div>

Följande modifierad variant av [[2.3_Gränsvärde#Exempel_2|Exempel 2]] (<math> \, {\color{Red} {x \to 0}} \, </math> istället för <math> \, x \to \infty </math>) visar samma sak:
</big>

<div class="ovnE">

==== Exempel 2 a ====

Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {4\,x\,+\,5 \over x} </math>

Lösning:

::<math> \lim_{x \to 0^+}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^+}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, +\infty </math>

::<math> \lim_{x \to 0^-}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^-}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, -\infty </math>

där <math> x \to 0^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 0 </math> från höger (<math> \, x > 0 </math>) och <math> x \to 0^- </math> att närma sig <math> \, x = 0 </math> från vänster (<math> \, x < 0 </math>).

Anmärkning: Sättet att skriva limes som ovan förklaras nedan i [[2.3_Fördjupning_till_Gränsvärde#Ensidiga_och_oegentliga_gr.C3.A4nsv.C3.A4rden|Ensidiga och oegentliga gränsvärden]].

Svar: <math> \qquad\;\; </math> Gränsvärde saknas.
</div>

<big>
Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. mot <math> +\,\infty </math>, för ett visst <math> \, x </math> både från höger och vänster, t.ex. <math> \displaystyle {f(x) = {1 \over x^2}} </math> för <math> \, x = 0 </math>, skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes existerar och är <math> +\,\infty </math>, därför att <math> \infty </math> inte är något värde. Med andra ord:

<div class="border-divblue">Ett gränsvärde måste, för att existera, vara både entydigt och ändligt.</div>

Därför är det matematiskt korrekt att säga: Gränsvärdena <math> \; \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \; </math> och <math> \; \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \;</math> existerar inte.
</big>

<div class="ovnA">
=== Ensidiga och oegentliga gränsvärden ===

Skiljer man närmandet från höger till <math> \, x = 2 \, </math> från närmandet från vänster kan man bilda s.k. ensidiga gränsvärden:

:::<math> \lim_{x \to 2^{+}}\,{10 \over x - 2}\,=\,+\,\infty \qquad\quad \; {\rm och} \; \qquad\quad \lim_{x \to 2^{-}}\,{10 \over x - 2}\,=\,-\,\infty </math>

där <math> x \to 2^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 2 </math> från höger (<math> \, x > 2 </math>) och <math> x \to 2^- </math> att närma sig <math> \, x = 2 </math> från vänster (<math> \, x < 2 </math>).

Man pratar om höger- och vänstergränsvärdet genom att skilja mellan de två sätten att närma sig talet <math> \, 2 </math> på <math> \, x</math>-axeln: från höger <math> x \to 2^+ </math> och från vänster <math> x \to 2^- </math>, därav beteckningen ensidig. I vårt exempel ger de också två olika resultat.

Gränsvärden av funktioner som går mot oändligheten (och därmed strikt talat inte existerar), men ändå skrivs med limessymbolen, kallar man oegentliga gränsvärden.

<div class="exempel">
==== Exempel ====
<table>
<tr>
<td>

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}}\,=\,+\,\infty </math>

Grafen visar att funktionen <math> \displaystyle f(x) = {1 \over x^2} </math> går mot <math> +\,\infty </math> både

när <math> \, x \to 0 </math> från höger (<math> \, x > 0 </math>) och från vänster (<math> \, x < 0 </math>). Visserligen

är gränsvärdet entydigt, men det är oändligt och kallas därför oegentligt.

Däremot är <math> \displaystyle \lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2} </math> varken entydigt eller ändligt. Därför existerar det inte.
</td>
<td><math> \qquad </math></td>
<td>[[Image: y = 1 genom x^2.jpg]]</td>
</tr>
</table>

Att man använder det ovannämnda skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden sker av praktiska skäl. Man ersätter pilarna som vi använde inledningsvis med att beskriva gränsprocessen med limessymbolen istället. Det är bekvämt att använda en enhetlig notation för att beskriva gränsprocesser. Är man medveten om att limes enligt den strikta definitionen inte existerar, är det o.k.

OBS! Av skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden följer fortfarande inte att <math> \; \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \; </math> eller <math> \; \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \; </math> existerar.
</div>

</div>

=== Internetlänkar ===

https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs

https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA

https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

← Äldre version		Versionen från 2 maj 2020 kl. 20.27
Rad 192:		Rad 192:


−	[[Matte:Copyrights\|Copyright]] © ~~2011-2018 Math Online Sweden~~ AB. All Rights Reserved.	+	[[Matte:Copyrights\|Copyright]] © 2020 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

@@ Rad 13: / Rad 13: @@
 <big>
 === <b><span style="color:#931136">Gränsvärde för en funktion</span></b> ===
 <div class="exempel">

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-__TOC__
+__NOTOC__
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-__NOTOC__
+__TOC__
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
@@ Rad 10: / Rad 10: @@
 |}
+<!-- [[Media: Lektion_14_Gransvarde_Rutac.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 14 Gränsvärde</span></b>]] -->
 [[Media: Lektion_14_Gransvarde_Rutac.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 14 Gränsvärde</span></b>]]
 <big>
@@ Rad 191: / Rad 190: @@
-[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

@@ Rad 14: / Rad 14: @@
 <big>
 === <b><span style="color:#931136">Existens av gränsvärden</span></b> ===
-I genomgången bestämdes [[2.3_Gränsvärde#Gr.C3.A4nsv.C3.A4rde_f.C3.B6r_en_funktion|<b><span style="color:blue">gränsvärdet</span></b>]] av <math> \, \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, </math> till <math> \, 0 \, </math> utan att fråga om den överhuvudtaget ''existerade''. Själva bestämmandet av gränsvärdet <math> \, 0 \, </math> bevisade ju existensen. Men det finns faktiskt fall där ett gränsvärde ''inte'' existerar och därför inte heller kan bestämmas.
+I exemplet ovan bestämdes <math> \, \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, </math> utan att fråga om gränsvärdet överhuvudtaget ''existerade''. Att gränsvärdet sedan blev <math> \, 0 \, </math> bevisade ju existensen. Men det finns faktiskt fall där ett gränsvärde ''inte'' existerar och därför inte heller kan bestämmas. Det vore bra om man kunde undersöka det innan man började räkna.
 Som exempel tar vi samma funktion som ovan, men betraktar dess beteende för <math> \; \color{Red} {x \to 2} \; </math>.
@@ Rad 49: / Rad 84: @@
 Dessutom finns det två olika resultat beroende på om <math> \, x </math> går mot <math> \, 2 </math> från höger eller från vänster<span style="color:black">:</span>
 <math> f(x)\, </math> går mot <math> +\, \infty </math> när man närmar sig <math> \, x = 2 </math> från höger och mot <math> -\, \infty </math> när man närmar sig <math> \, x = 2 </math> från vänster.
 <math> y \;\; {\rm går\;mot} \, +\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;höger:} \; \qquad\quad y \to +\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^+ </math>
@@ Rad 59: / Rad 94: @@
-Följande modifierad variant av [[2.3_Gränsvärde#Exempel_2|<b><span style="color:blue">Exempel 2</span></b>]] (<math> \, {\color{Red} {x \to 0}} \, </math> istället för <math> \, x \to \infty </math>) visar samma sak:
+Följande modifierad variant av [[2.3_Gränsvärde#Exempel_2|<b><span style="color:blue">Exempel 2</span></b>]] (<math> \, {\color{Red} {x \to 0}} \, </math> istället för <math> \, x \to \infty </math>) är ytterligare ett exempel på att gränsvärdet saknas:
 </big>

← Äldre version	Versionen från 21 oktober 2017 kl. 15.42
Rad 1:	Rad 1:
	+	__NOTOC__
	+	{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
	+	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|
	+	{{Not selected tab\|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet\| <<  Förra avsnitt]]}}
	+	{{Not selected tab\|[[2.3 Gränsvärde\|Genomgång]]}}
	+	{{Not selected tab\|[[Dessa övningar ingår inte i demon.\|Övningar]]}}
	+	{{Selected tab\|[[2.3 Fördjupning till Gränsvärde\|Fördjupning]]}}
	+	{{Not selected tab\|[[2.5 Deriveringsregler\|Nästa demoavsnitt  >> ]]}}
	+	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|
	+	\|}