1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner - Versionshistorik

Taifun den 12 april 2021 kl. 17.22

2021-04-12T17:22:44Z

Taifun den 12 april 2021 kl. 17.21

2021-04-12T17:21:13Z

Taifun den 12 april 2021 kl. 17.16

2021-04-12T17:16:11Z

Taifun den 12 april 2021 kl. 17.14

2021-04-12T17:14:39Z

Taifun den 12 april 2021 kl. 17.05

2021-04-12T17:05:05Z

Taifun den 12 april 2021 kl. 17.01

2021-04-12T17:01:35Z

Taifun den 30 januari 2019 kl. 15.21

2019-01-30T15:21:43Z

Taifun den 30 januari 2019 kl. 15.19

2019-01-30T15:19:06Z

Taifun den 27 september 2018 kl. 09.21

2018-09-27T09:21:30Z

Taifun den 26 september 2018 kl. 18.31

2018-09-26T18:31:44Z

← Äldre version		Versionen från 12 april 2021 kl. 17.22
Rad 35:		Rad 35:


−	Läs den ~~tredje~~ raden i definitionen så här<span style="color:black">:</span> <math> \; {\rm " }f(x) \, </math> går mot <math> f(a)\, </math> när <math> x\, </math> går mot <math> a \, {\rm "} </math>.	+	Läs den andra raden i definitionen så här<span style="color:black">:</span> <math> \; {\rm " }f(x) \, </math> går mot <math> f(a)\, </math> när <math> x\, </math> går mot <math> a \, {\rm "} </math>.

	Observera att definitionen är punktvis, dvs den talar om när en funktion är kontinuerlig <b><span style="color:red">för ett visst</span></b> <math> {\color{Red} x}\, </math><b><span style="color:red">-värde</span></b> nämligen för <math> {\color{Red} {x = a}}\, </math>.		Observera att definitionen är punktvis, dvs den talar om när en funktion är kontinuerlig <b><span style="color:red">för ett visst</span></b> <math> {\color{Red} x}\, </math><b><span style="color:red">-värde</span></b> nämligen för <math> {\color{Red} {x = a}}\, </math>.

@@ Rad 25: / Rad 25: @@
 <div class="border-divblue">
-En funktion <math> \, y = f(x) \, </math> är &nbsp; <b><span style="color:red">kontinuerlig för</span></b> <math> {\color{Red} {x = a}} </math>
+En funktion <math> \, y = f(x) \, </math> är &nbsp; <b><span style="color:red">kontinuerlig för</span></b> <math> {\color{Red} {x = a}} </math> &nbsp; om den är definierad för <math> \, x = a \, </math> och om<span style="color:black">:</span>
-−
 om den är definierad för <math> \, x = a \, </math> och om<span style="color:black">:</span>
 ::::<math> f(x) \to f(a) \quad {\rm när} \quad x \to a </math>
-Om <math> \, f(x) \, </math> är definierad för <math> \, x = a \, </math> men <math> f(x) </math> <b><span style="color:red">inte</span></b> <math> \to f(a) \; {\rm när} \; x \to a </math>
+Om däremot <math> \, f(x) \, </math> är definierad för <math> \, x = a \, </math>, men <math> f(x) </math> <b><span style="color:red">inte</span></b> <math> \to f(a) \; {\rm när} \; x \to a </math>
 är funktionen <b><span style="color:red">diskontinuerlig i <math> \, x = a </math></span></b>.

@@ Rad 56: / Rad 56: @@
 <b><span style="color:#931136">a)</span></b> &nbsp; Är denna funktion kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math> enligt definitionen ovan?
-Vi ersätter <big><math> \, {\color{Red} a} \, </math></big> med <math> \, {\color{Red} 1} </math> i definitionen. Där stär:
+Vi ersätter <big><math> \, {\color{Red} a} \, </math></big> med <math> \, {\color{Red} 1} </math> i definitionen. Där stär: "... om den (funktionen) är definierad för <math> \, x = a \, </math> OCH ... ."
-"... om den (funktionen) är definierad för <math> \, x = a \, </math> OCH ... ." Men <math> f(x) \, = \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1}</math> är inte definierad för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math>. Därför kan den inte heller vara kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math>.
+Men <math> f(x) \, = \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1}</math> är inte definierad för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math>. Därför kan den inte heller vara kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math>.
 <!--
 Definitionen säger<span style="color:black">:</span> <math> \, f(x) = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, </math> är kontinuerlig för <math> \, {\color{Red} {x = 1}}\, </math> om <math> \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \to f(1) \quad {\rm när} \quad x \to 1 </math>.

@@ Rad 56: / Rad 56: @@
 <b><span style="color:#931136">a)</span></b> &nbsp; Är denna funktion kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math> enligt definitionen ovan?
-Vi ersätter <big><math> \, {\color{Red} a} \, </math></big> med <math> \, {\color{Red} 1} </math> i definitionen.
+Vi ersätter <big><math> \, {\color{Red} a} \, </math></big> med <math> \, {\color{Red} 1} </math> i definitionen. Där stär:
-I definitionen står: "om den är definierad för <math> \, x = a \, </math> OCH ... ." Men <math> f(x) \, = \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1}</math> är inte definierad för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math>. Därför kan den inte heller vara kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math>.
+"... om den (funktionen) är definierad för <math> \, x = a \, </math> OCH ... ." Men <math> f(x) \, = \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1}</math> är inte definierad för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math>. Därför kan den inte heller vara kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math>.
 <!--
 Definitionen säger<span style="color:black">:</span> <math> \, f(x) = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, </math> är kontinuerlig för <math> \, {\color{Red} {x = 1}}\, </math> om <math> \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \to f(1) \quad {\rm när} \quad x \to 1 </math>.

@@ Rad 56: / Rad 56: @@
 <b><span style="color:#931136">a)</span></b> &nbsp; Är denna funktion kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math> enligt definitionen ovan?
-I definitionen ersätter vi <big><math> \, {\color{Red} a} \, </math></big> med <math> \, {\color{Red} 1} </math> och <math> \, f(x) \, </math> med <math> \displaystyle{5 \over x \, - \, 1}</math>.
+Vi ersätter <big><math> \, {\color{Red} a} \, </math></big> med <math> \, {\color{Red} 1} </math> i definitionen.
-I definitionen står: "om den är definierad för <math> \, x = a \, </math> OCH ... ." Men <math> f(x) \, = \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1}</math> är inte definierad för <math> \, x = 1 \, </math>. Därför kan den inte heller vara kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math>.
+I definitionen står: "om den är definierad för <math> \, x = a \, </math> OCH ... ." Men <math> f(x) \, = \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1}</math> är inte definierad för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math>. Därför kan den inte heller vara kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 1}} \, </math>.
 <!--
 Definitionen säger<span style="color:black">:</span> <math> \, f(x) = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, </math> är kontinuerlig för <math> \, {\color{Red} {x = 1}}\, </math> om <math> \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \to f(1) \quad {\rm när} \quad x \to 1 </math>.

@@ Rad 58: / Rad 58: @@
 I definitionen ersätter vi <big><math> \, {\color{Red} a} \, </math></big> med <math> \, {\color{Red} 1} </math> och <math> \, f(x) \, </math> med <math> \displaystyle{5 \over x \, - \, 1}</math>.
 Definitionen säger<span style="color:black">:</span> <math> \, f(x) = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, </math> är kontinuerlig för <math> \, {\color{Red} {x = 1}}\, </math> om <math> \, \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \to f(1) \quad {\rm när} \quad x \to 1 </math>.
@@ Rad 65: / Rad 67: @@
 <b><span style="color:#931136">Slutsats:</span></b> &nbsp; Funktionen <math> \, y = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \, </math> är inte kontinuerlig för <math> \, x = 1 </math>.
 </div>

@@ Rad 2: / Rad 2: @@
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
-{{Not selected tab|[[1.1 Polynom| <<&nbsp;&nbsp;Förra demoavsnitt]]}}
+{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen| <<&nbsp;&nbsp;Förra demoavsnitt]]}}
 {{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Genomgång]]}}
 {{Not selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}}

@@ Rad 6: / Rad 6: @@
 {{Not selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}}
 {{Selected tab|[[1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Fördjupning]]}}
-{{Not selected tab|[[2.1 Introduktion till derivata|Nästa demoavsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
+{{Not selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Nästa demoavsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 | style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 |}

@@ Rad 15: / Rad 15: @@
 I genomgången sades att kontinuerlig betydde sammanhängande.
-Definitionsmängder till kontinuerliga funktioner är kontinuerliga mängder som t.ex. de rationella eller de reella talen. Som [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_2_Kontinuerlig_funktion|<b><span style="color:blue">exempel</span></b>]] på en kontinuerlig funktion ritades grafen till en linjär funktion med en genomdragen rät linje. Kontinuerliga funktioners grafer kan man rita utan att lyfta pennan. Allt detta är fortfarande sant, men alla dessa resonemang är intuitiva.
+Som [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_2_Kontinuerlig_funktion|<b><span style="color:blue">exempel</span></b>]] på en kontinuerlig funktion ritades grafen till en linjär funktion med en sammanhängande rät linje. Kontinuerliga funktioners grafer kan man rita utan att lyfta pennan. Allt detta är fortfarande sant, men sådana resonemang är intuitiva.
 Här följer en mer exakt matematisk definition för när en funktion är kontinuerlig och när den är diskontinuerlig:

@@ Rad 92: / Rad 92: @@
 	-webkit-border-radius: 5px;
 	-moz-border-radius: 5px;
-	border-radius: 5px;"> Funktionen <math> \; y = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \; </math> är kontinuerlig för alla <math> \, x \, </math> där den är definierad.
+	border-radius: 5px;"> Funktionen <math> \; y = \displaystyle{5 \over x \, - \, 1} \; </math> är kontinuerlig för alla <math> \, x \, </math> där den är definierad, dvs för alla <math> \, x \, \neq \, 1 \, </math>.
 </div>
-Grafen visar samma resultat: Endast i <math> \, x \, = \, 1 \, </math> där funktionen inte är deifinierad, skenar kurvorna iväg mot oändligheten, den ena mot <math> \, + \infty\, </math>, den andra mot <math> \, - \infty\, </math>. I funktionens definitionsområde är kurvan sammanhängande.
+Grafen visar samma resultat: Endast i <math> \, x \, = \, 1 \, </math> där funktionen inte är deifinierad, skenar kurvorna iväg mot oändligheten, den ena mot <math> \, + \infty\, </math>, den andra mot <math> \, - \infty\, </math>. I funktionens definitionsområde (alla <math> \, x \, \neq \, 1 \, </math>) är kurvan sammanhängande.
 </div> <!-- ovnE Exempel 1 -->
@@ Rad 102: / Rad 102: @@
 <div class="ovnC">
-==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ====
+==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Teckenfunktionen</span></b> ====
-−
-Inom matematisk analys definieras en funktion som heter [https://sv.wikipedia.org/wiki/Signumfunktionen <b><span style="color:blue">Signumfunktionen</span></b>]:
 <div class="border-div"><math>  y \, = \, sgn(x) \, = \, \begin{cases} -1                 & \mbox{om } x < 0    \\
                  & \mbox{om } x = 0 \qquad x \;\mbox{reellt tal}   \\