1.3 Lösning 12b - Versionshistorik

Taifun den 22 september 2012 kl. 17.00

2012-09-22T17:00:17Z

Taifun den 22 september 2012 kl. 16.59

2012-09-22T16:59:26Z

Taifun den 22 september 2012 kl. 16.52

2012-09-22T16:52:13Z

Taifun: Created page with "Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera det 4:e gradspolynomet som var delvis faktoriserat: $P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x)$
2012-09-22T16:40:15Z

Created page with "Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera det 4:e gradspolynomet som var delvis faktoriserat: <math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) </m..."

Ny sida
Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera det 4:e gradspolynomet som var delvis faktoriserat:

<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) </math>

I 11 a) hade vi bestämt <math> Q(x)\, </math> till:

<math> Q(x) = x^2 - 9\,x + 20 </math>

Delfaktoriseringen av <math> P(x)\, </math> blir då:

<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x^2 - 9\,x + 20) </math>

För att fullständigt faktorisera 4:e gradspolynomet måste även <math> Q(x)\, </math> faktoriseras. Därför sätter vi upp ekvationen:

<math> x^2 - 9\,x + 20 = 0 </math>

Vietas formler ger :

<math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-9) = 9 \\
x_1 \cdot x_2 & = 20
\end{align}</math>

Det är enkelt att få lösningarna <math> x_1 = 4\, </math> och <math> x_2 = 5\, </math> ur dessa relationer.

Således kan <math> Q(x)\, </math> faktoriseras så här:

<math> Q(x)= x^2 - 9\,x + 20 = (x - 4) \cdot (x - 5) </math>

Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av 4:e gradspolynomet i början:

<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) </math>

får vi följande fullständig faktorisering av 3:e gradspolynomet:

<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x - 4) \cdot (x - 5) </math>

@@ Rad 5: / Rad 5: @@
         \end{align} </math>
-För en fullständig faktorisering återstår faktoriseringen av polynomet <math> Q(x)\, </math>:
+För en fullständig faktorisering återstår faktoriseringen av polynomet:
 <math> Q(x) = x^2 + 3\,x + 2 </math>

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
 I övning 12a) hade vi fått följande delfaktorisering av <math> P(x)\,</math> :
-<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) </math>
+<math> \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+3)\cdot (x-3) \cdot Q(x) \\
 För en fullständig faktorisering återstår faktoriseringen av polynomet <math> Q(x)\, </math>:

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera det 4:e gradspolynomet som var delvis faktoriserat:
+I övning 12a) hade vi fått följande delfaktorisering av <math> P(x)\,</math> :
-<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) </math>
+<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) </math>
-I 11 a) hade vi bestämt <math> Q(x)\, </math> till:
+För en fullständig faktorisering återstår faktoriseringen av polynomet <math> Q(x)\, </math>:
-<math> Q(x) = x^2 - 9\,x + 20 </math>
+<math> Q(x) = x^2 + 3\,x + 2 </math>
-Delfaktoriseringen av <math> P(x)\, </math> blir då:
+Därför sätter vi upp ekvationen:
-<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x^2 - 9\,x + 20) </math>
+<math> x^2 + 3\,x + 2 = 0 </math>
-−
-För att fullständigt faktorisera 4:e gradspolynomet måste även <math> Q(x)\, </math> faktoriseras. Därför sätter vi upp ekvationen:
-−
-<math> x^2 - 9\,x + 20 = 0 </math>
 Vietas formler ger :
-<math> \begin{align} x_1   +   x_2 & = -(-9) = 9   \\
+<math> \begin{align} x_1   +   x_2 & = -3   \\
-                      x_1 \cdot x_2 & = 20
+                      x_1 \cdot x_2 & = 2
          \end{align}</math>
-Det är enkelt att få lösningarna <math> x_1 = 4\, </math> och <math> x_2 = 5\, </math> ur dessa relationer.
+Det är enkelt att få lösningarna <math> x_1 = -1\, </math> och <math> x_2 = -2\, </math> ur dessa relationer.
 Således kan <math> Q(x)\, </math> faktoriseras så här:
-<math> Q(x)= x^2 - 9\,x + 20 = (x - 4) \cdot (x - 5) </math>
+<math> Q(x)= x^2 + 3\,x + 2 = (x + 1) \cdot (x + 2) </math>
-−
-Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av 4:e gradspolynomet i början:
-−
-<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) </math>
-får vi följande fullständig faktorisering av 3:e gradspolynomet:
+Detta resultat ger den fullständiga faktoriseringen av <math> P(x)\, </math>:
-<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x - 4) \cdot (x - 5) </math>
+<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x + 1) \cdot (x + 2) </math>